精品解析：陕西省榆林市第六中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025～2026学年度第一学期开学收心检测卷 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，12，13 D. 3，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义、勾股定理等知识点，掌握勾股数的定义成为解题的关键． 根据勾股数是正整数，同时满足勾股定理，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，是勾股数，不符合题意； B．，是勾股数，不符合题意； C．，是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，符合题意． 故选：D． 3. 下列式子中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，将一个多项式转化为几个整式的积的形式叫作因式分解． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是因式分解，不符合题意； B． ，因式分解错误，不符合题意； C． 属于多项式乘法，不符合题意； D． 是因式分解，符合题意． 故选D． 4. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理．等边对等角求出，进而得到即可．掌握等边对等角，30度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，利用分式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 6. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数图像可得：当时，，即.故选D 考点：一次函数与不等式 7. 若，则的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 8. 如图，的对角线、相交于点，平分交于点，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，证明是等边三角形是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，，，即；根据角平分线的定义可得，则，即是等边三角形，则、，而，即，所以，由即可求得，由平行线的性质进而得，可判断①正确；由，得，所以，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，，可判断③错误；由等腰三角形的性质可得，再结合可得，即可判定④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵的对角线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】因式分解时有公因式先提公因式，然后再考虑用公式法.继续分解. 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键. 10. 如果一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解题关键． 设这个正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：． 11. 如图，将沿方向平移得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接，如果四边形的周长为，则的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等是解题关键． 由平移的性质可知，，，再结合四边形的周长求出的周长，即可得到答案． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴的周长为（）， ∴的周长为． 故答案为：14． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键。 先根据旋转的性质得、，结合可得,然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解： ∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴、， ∴， ∴. 故答案为：60． 13. 世界地球日（The　WorldEarth　Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了______道题． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用.设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有题，根据题意，列出不等式，求解即可得到答案. 【详解】解：设小颖答对了x道题，则他答错或不答的共有题， ． 解得， 答：小颖至少答对了22道题． 故答案为：22． 14. 如图，在中，，，分别以、为边作正三角形、，过点作交延长线于点，连接，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质可得，，从而得到，再由30度角的直角三角形的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵均为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用完全平方公式、算术平方根、乘方进行计算，再求和即可． 【详解】解： . 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并检验． 先确定分式方程的最简公分母，方程两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后检验所得的根是否为增根． 【详解】解：方程两边同时乘， 得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 17. 如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质的应用等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的三个顶点坐标分别为点． （1）把向右平移5个单位长度，得到，请你画出；（点A、、的对应点分别为点、、） （2）把绕原点逆时针旋转后得到，请作出旋转后的．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图、旋转作图等知识点，根据相关性质确定其对应点的位置成为解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点A、、的对应点分别为点、、，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质确定点A、、的对应点分别为点、、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 解不等式组，并写出满足条件的所有正整数解． 【答案】，正整数解为1，2 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，最后求出正整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故满足条件的所有正整数解为1，2． 20. 如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，过点作于点，试判断是否平分？请证明你的结论． 【答案】 平分，证明如下： ，， ，即， 是的中点， ， 平分，，， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解答本题的关键． 根据平行线的性质可得，再由角平分线的判定与性质解答即可． 【详解】略 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外化简分式，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 已知：如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点. 求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， 同理可得：DF=CD， ∴AE=DF， 即AF+EF=DE+EF， ∴AF=DE． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 23. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤成为解题的关键． （1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程求解即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， ， ， 是原方程的增根， ，解得． 【小问2详解】 解： 去分母并整理得， 方程的解为非负数， ，即， ， 又或时，该分式方程无解， 且， 且， 综上所述，的取值范围为且． 24. 如图，在中，点，分别是，边的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：，分别是，边的中点， 是的中位线， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明是的中位线可得，即，再结合即可证明结论； （2）由（1）可知：，四边形为平行四边形，由题意可得，进而得到；根据勾股定理可得，即，解得：，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：，四边形为平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得：， ， ． 25. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多元，用元购进鸡仔饼的盒数是用元购进杏仁饼的盒数的倍． （1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？ （2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共盒，其中鸡仔饼每盒售价元，杏仁饼每盒售价元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利不少于元，则至少购进鸡仔饼多少盒？ 【答案】（1）元/盒；元/盒 （2）盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量是解题的关键． （1）设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，根据“用元购进鸡仔饼的盒数是用元购进杏仁饼的盒数的倍”，列出分式方程即可求解； （2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，根据题意列出一元一次不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：鸡仔饼的进价是元/盒，杏仁饼的进价是元/盒； 【小问2详解】 设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 答：至少购进鸡仔饼盒． 26. 【问题背景】 如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接，且，点为的中点，平分交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）12 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，角平分线的判定及性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据得到，，再由中点可得，从而证得四边形为平行四边形，进而即可得证； （2）取的中点，连接，过点作于点，由等腰三角形的三线合一得到，，由角平分线的性质得到，从而证明，得到，，根据为的中位线，得到，，结合，进而推出，即可得到，，再由中点即可解答． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形， ，， 分别为，的中点， ，， ， 四边形为平行四边形， ． （2）取的中点，连接，过点作于点， ，为的中点，， ，， 平分， ， ，， ， ∵在和中， ， ，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ∵点为的中点， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期开学收心检测卷 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，12，13 D. 3，5，7 3. 下列式子中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 7. 若，则的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 8. 如图，的对角线、相交于点，平分交于点，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 10. 如果一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的边数是_____． 11. 如图，将沿方向平移得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接，如果四边形的周长为，则的周长为______． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为______． 13. 世界地球日（The　WorldEarth　Day）即每年的4月22日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日．学校为提升学生的环保意识，组织了环保知识竞赛，共25道题，规定：答对一题得4分，答错或不答一题扣1分，在这次竞赛中，小颖被评为优秀（85分或85分以上），则小颖至少答对了______道题． 14. 如图，在中，，，分别以、为边作正三角形、，过点作交延长线于点，连接，若，则的长是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解分式方程：． 17. 如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的三个顶点坐标分别为点． （1）把向右平移5个单位长度，得到，请你画出；（点A、、的对应点分别为点、、） （2）把绕原点逆时针旋转后得到，请作出旋转后的．（点、、的对应点分别为点、、） 19. 解不等式组，并写出满足条件的所有正整数解． 20. 如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，过点作于点，试判断是否平分？请证明你的结论． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知：如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点. 求证：. 23. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程的解为非负数，求的取值范围． 24. 如图，在中，点，分别是，边的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的面积． 25. 某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多元，用元购进鸡仔饼的盒数是用元购进杏仁饼的盒数的倍． （1）鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？ （2）该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共盒，其中鸡仔饼每盒售价元，杏仁饼每盒售价元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利不少于元，则至少购进鸡仔饼多少盒？ 26. 【问题背景】 如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接，且，点为的中点，平分交于点，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $