甘肃省天水市第一中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试题

天水市一中2024级高二第一学期开学检测考试试卷 数学试题 命题：刘怡 刘雅菲 审核：马小军 （满分100分 考试时间60分钟） 一、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，若，则的值为 A． B． C． D． 5．在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 7．函数（，，）的部分图象如图实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 8．设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 9．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为 四、解答题（本题共3小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 10．在中，内角的对边分别为为钝角，． (1)求； (2)已知，求的面积． 11．如图在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 12．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并给出证明． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 天水市一中2024级高二第一学期开学检测考试试卷 数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A D D BCD AB 1．C 解析因为，所以，所以． 故选：C 2．B 解析， ， ， ， 又， 与的夹角为 故选： 3．B 解析将式子进行齐次化处理得： 故选：B. 4．A 解析试题分析：因为是等差数列，所以成等差数列，又，所以，故选A． 考点：等差数列的性质 5．D 解析在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得. 故选：D 6．D 解析由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为， 所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：. 故选：D. 7．BCD 解析在中，为的中点，为的中点，， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有，C正确； 对于D，依题意，，于是 ，D正确. 故选：BCD 8．AB 解析A．由、关于对称可得，则， ，选项正确； B．由知，，所以，图象过，可得， ，，则图象关于点成中心对称，选项正确； C．函数单调递减， ，，即，，选项错误； D．函数在上，则，则值域为，选项错误． 故选：AB 9． 解析设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 10．(1) (2) （2）解析（1）由题意得， 因为A为钝角， 则．则， 则， 解得， 因为A为钝角，则， （2）选择①，则， 因为，则B为锐角，则，此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为B为三角形内角，则， 则代入得，解得， ， 则． 选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得， 因为C为三角形内角，则， 则 ， 则． 11．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 解析（1）证明：如图，连接，． 在平行四边形中， ∵为的中点， ∴为的中点， 又为的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． （2）证明：∵，且， ∴，即． 又平面，平面， ∴，而，∴平面． （3）取中点，连接， 是中点，，且， 平面，即为直线与平面所成角， ， 是等腰直角三角形，， 则在直角三角形中，， ， . 12．(1)奇函数，证明见解析. (2)在R上单调递增，证明见解析. （2）利用单调性的定义进行证明. 解析（1）的定义域为R. 因为，所以为奇函数. （2）在R上单调递增，下面进行证明： . 任取，则 . 因为在R上单调递增，且，所以，所以， 即. 所以在R上单调递增. 答案第2页，共6页 答案第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$