精品解析：江苏省南通市海门实验学校2024-2025学高一上学期12月检测数学试题

2024-2025学年第一学期高一年级月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可． 【详解】因为函数， 所以，解之可得， 函数的定义域为． 故选：C． 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 3. 若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形的面积公式计算出半径，再由弧长公式求出即可. 【详解】由扇形的面积公式可得，解得， 所以弧长为. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以的大小关系为. 故选：C 6. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 7. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且， 所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 故选：B 8. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. 与不是同一个函数 C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】特称命题的否定需要特称改全称，结果变否定，判断A选项；两个函数如果定义域相同表达式相同则为同一函数，判断B选项；充分必要条件的判定：，则是的充分条件；，则是的必要条件条件；判断C，D选项. 【详解】A选项：命题，则命题的否定是，A选项错误； B选项：定义域：，定义域：，定义域不同，与不是同一个函数，B选项正确； C选项：定义在上的奇函数在0处函数值为0，但在0处函数值为0的函数不一定是奇函数；所以他们不是充要条件的关系，C选项错误； D选项：当且时，成立，满足充分条件；当时，且不成立，例如，，不满足必要条件；所以“且”是“”的充分不必要条件，D选项正确. 故选：BD. 10. 若，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可. 【详解】对A：因为，即（当且仅当即时取“”），故A项正确； 对B：因为（当且仅当即时取“”），故B项错误； 对C：因为， 所以（当且仅当即时取“”），故C项正确； 对D：由， 所以，由B知：成立，故D项正确. 故选：ACD 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：令可得结果；B：令可得结果；先结合奇偶性分析在上的单调性，由此可判断D；根据条件将化简，结合单调性可判断C． 【详解】对于A：令，则，所以，故正确； 对于B：令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确； 对于CD：，则， 因为，所以，所以，所以， 因为， 且， 所以，所以，即， 因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减，故D正确； 又因为，且，所以，故C错误； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合对数函数性质列方程求，由此可得. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数与的图象，进而得到，，且，整理可得，结合二次函数即可得结果. 【详解】当时，开口向上，对称轴为， 且，， 画出与的图象，如下： 则，， 所以， 故，即， 令，解得或6， 故， 其中， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数诱导公式化简解析式，再代入求值即可； （2）以正余弦函数齐次化切法求值即可解决. 【小问1详解】 【小问2详解】 由， 可知． 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 17. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元． 【答案】（1），．，．（2）A产品投入3．75万元，B产品投入6．25万元时，企业获得最大利润为 万元． 【解析】 【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据可得； （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业的利润为万元．则有 ，，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题． 【详解】解析：（1）设投资额为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元， 由题设，． 由图知，所以，又，所以． 所以，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业的利润为万元． ，， 令，则． 所以当时，，此时． 当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为即4.0625万元． 【点睛】本题考查函数模型的应用．已知函数模型，直接设出解析式形式代入已知数据即可得函数解析式．换元法是求得最大值的关键． 18. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 是上的减函数，证明如下： ，设且， ∴， ∵且，∴， ∴，即， ∴是上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据求得的值，然后再检验即可； （2）利用单调性定义判断并证明； （3）根据函数的单调性与奇偶性将问题转化为“在时能成立”，然后通过换元法求解出结果． 【小问1详解】 ∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴． 此时，， ∴是奇函数，满足题意， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是上的奇函数， ∴不等式即为， ∵是上的减函数， ∴在时能成立， 令，则，当且仅当时取等号， 故在时能成立， ∴， 令， ∵在上均单调递增， ∴在上单调递增， ∴， 故． 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一年级月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 8. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. 与不是同一个函数 C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 10. 若，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 17. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元． 18. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $