江苏省南通市海门实验学校2024-2025学高一上学期12月检测数学试题

2024-2025学年第一学期高一年级月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 8. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题，则命题的否定是 B. 与不是同一个函数 C. 定义在上的函数为奇函数的充要条件是 D. “且”是“”的充分不必要条件 10. 若，，且，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求值； （2）若，求的值． 16. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 17. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元． 18. 已知定义在上的函数是奇函数． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围． 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 2024-2025学年第一学期高一年级月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）1 【16题答案】 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【17题答案】 【答案】（1），．，．（2）A产品投入3．75万元，B产品投入6．25万元时，企业获得最大利润为 万元． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 是上的减函数，证明如下： ，设且， ∴， ∵且，∴， ∴，即， ∴是上的减函数． （3） 【19题答案】 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024-2025学年第一学期高一年级月考数学试卷 1、【答案】C 2、【答案】A 3、【答案】C 4、【答案】B 5、【答案】C 6、【答案】B 7、【答案】B 8、【答案】C 9、【答案】BD 10、【答案】ACD 11、【答案】ABD 1 12、【答案】-2 13、【答案】 14、【答案】(21,24) 15、已知函数(x)小 sin(π+x)cos(π-x) sin 2+x )求f八3 7π (2)若f(a)=2,求sina+sins的值 1+cos'a 【答案】(1)5 (2)1 【小问1详解】 (x)-sin(cos(-sin(-cos)ta cos2x 7π 7 3 tan [-tanZ 3 【小问2详解】 由f(a)=tana=2, sin'+sinacosasin+sinacosantn 1+cos'a sin'a+2cos'a 2+tan'a 16、【答案】(1)f(x)=log2x (x>0) ..3分 由f(马<1，得10g: x-1 x+I 1,则0<-1<2 ..…4分 x+1 x+1 解之得x<-3或x>1. .6分 故不等式解集为{x<-3或x>} 7分 (2)g()-(2)=kg.(-8.(-2(g =(log2x)2-l0g2 x-2 9分 令log2x=t,t∈[0,2] 0-r12-)0 12分 综上g(x)的值域为 9 ,0 .13分 4 t=一时函数取到最小值，此时x=√2 14分 1=2时函数取到最大值，此时X=4.15分 17@)6-}太-f≥0.8国-20.②A产品设入8.5 4 万元。8产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为5(4.0625)万元 16 【详解】解析：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x) 万元， 由题设f()=kx,gx)=k2· 由图知f0-子，所以-子又8④-}所以6- 5 4 所以f)=xx≥0.gW=5E,x≥0). 4 (2)设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元， y=f+g00-0+至m-.0≤xs10 所以当：时名 时x=10-空-ξ375 当A产品投入3,75万元.B产品投入625万元时，企业获得最大利润为65即4.0625万 16 元 18、【答案】(1f是定义在R上的奇函数5f0)-b2-0,b-=2…2分 1+1 此时f=20-2 ,f-=21-2.22-D-fx,f(是奇函数，满足题意 1+2 1+2x 2+1 f)s22 1+2 …5分 (2)f0w=2-2” 72二2(22少()在R上是减函数 7分 证明：设x,x2∈R且x<x2, 4442*-2) 则f(x)-f(x2)= 1+21+251+2)1+2) x<x2,25>25,1+25>0,1+2>0, .fx)-f(x2)>0 限即f(X)>f(X2),.f(x)在R上是减函数10分 (3)因为f(x)是奇函数， 故不等式+之+f(x>0即+>-李=+ 11分 四是R上的减函数故十子<kx+kx+)在>0时能成立卫 令1=x+1,(x>0),则1=x+上≥2，当且仅当x=1时取等号 (x+马2-2 故k> 2一212在122时能成立15分 x+ x+ t 2 易得函数h(t)=t-二在[2，+0)为增函数（仅需说明单调性即可，不必再次证明）…16分 t 则h(t)mm=1,故k>1.… 17分 19.(1)答案见解析 (2)①(-0，-4)U(1,+∞)，②36 【详解】(1)因为关于x的不等式a2+bx+c<0的解集为{d-1<x<3} a>0, 〔a>0 所以 1+3= b ,即{b=-2a, a c=-3a -1x3=c Q 所以不等式bx2-a(c-2)x-3a2≥0可转化为-2ar2-a(-3a-2)x-3a2≥0， 又a>0,所以2x2-(3a+2)x+3a≤0，即(2x-3a)x-1)≤0， 当a>l,即a>时.解得1sx≤2a 3 a=1.即a=2时，解得x=1 3 当 2 当，a1,即0<a<时，解得a≤x≤ 综上所述：当a> 时，不笔式的解柴为0 当a号时，不等式的解保为 2 当0<a<二时，不等式的解集为 (2)因为当x=2时，y=2ab+c,所以4a+2b+c=2ab+c 即2a+b=b.所以上+2-1， a b 若存在正实数ab使不等式P+31-a-号>0有解，则+3Q+ a*a++ a+b1+2=2+20+b≥2+22b=4 b 2a Vb 2a 当且仅当b2a 20=b,即a=2,b=4时. b a+= =4 2)min 所以t2+3t>4,解得t<-4或t>1 即1的取值范围是(-o,-4)(L,+w) ②由2a+b=ab,可得(a-1)b-2)=2 所以46+16-4b-2)+8,16a-)+16 `b-2a-1b-2 a-1 20+8a+26-分20+4a+2b-)=4a+20) (a-1)b-2) a2}4+受 =36 a b 当日仅兰2-号即ab3肤，等号成文。 所以始的最小值为的