精品解析：湖北省襄阳市第四中学2026届高三上学期开学综合测试数学试卷

襄阳四中2026届高三数学综合测试 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合交集的运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 故选：D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念，复数的除法公式和共轭复数得概念，计算求解. 【详解】由得， 则，虚部为. 故选：C. 3. 在矩形中，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设知，且，则， 所以，即. 故选：C 4. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值. 【详解】 故选: D 5. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 6. 若构成等差数列，公差，且其中三项构成等比数列，设，则下列说法正确的是（ ） A. 一定大于0 B. 可能构成等比数列 C. 若，则为5的倍数 D. 【答案】C 【解析】 【分析】特殊值法判断A，根据等差数列通项公式计算求解并结合已知判断B，应用等差数列求和公式计算判断C，D. 【详解】对于A，取，则为等比数列，，故A错误； 对于B， 若构成等比数列，则， 与公差且矛盾，故B错误； 对于C，若，则为5的倍数，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，即可判断A；令，可得，令，可判断B；令，可判断D；由题意可得，结合，，可得，再根据对数的运算性质及单调性，即可判断C. 【详解】解：对于A，令，则有，即，故A错误； 对于B，令，则有， 又因为，， 所以， 令， 则有，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 令，则有，令，则有， 由B可知， 所以， 所以， 同理可得， 所以，故C正确； 对于D，由B可知， 令，则有，故D错误. 故选：C． 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线的斜率，的中点为M，利用点差法可得，再得到斜率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则， 所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上， 则，，两式作差， 得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出值，再写出的展开式中通项，求出的系数，即可判断A；根据回归直线方程必过样本的中心点，求出，再求出去除异常点后的及，即可判断B；由随机变量，分析出其图象关于对称，找到关于的对称区间，根据正态曲线的对称性得到，即可判断C；根据的计算公式计算即可判断D. 【详解】对于A，将原数据按照从小到大的顺序排序为， 因为上四分位数就是第75百分位数，所以，所以， 因为的二项展开式的通项为 令，解得，所以的展开式中的系数为， 故A正确； 对于B，因为回归直线方程为过样本的中心点， 所以, 所以去除一个异常点后，， 所以新的回归直线必过点，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以其图象关于对称， 所以关于对称轴的对称点为，即， 关于对称轴的对称点为，即， 根据正态曲线的对称性可知 因为，所以， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D，在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则 ， 所以变为原来的3倍，故D错误. 故选：ABC 10. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的4个面均为直角三角形 B. C. 沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即可判断；根据，利用解三角形过程即可求解；判断出圆锥展开为一个半圆，再利用勾股定理求解；得出为直线与平面所成角，设，表示出，得出，根据，利用基本不等式得出最值，根据锥的外接球半径为，点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为，即可求解． 【详解】对于A，根据直线垂直于平面，故，故为直角三角形，半圆锥的底面直径为，为圆弧上任意一点（不包括，两点），，故为直角三角形，，，故平面，得，故为直角三角形，故A正确； 对于B，中，，则； ．B答案正确． 对于C，将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，，则； 即圆锥展开为一个半圆． 又，则，C答案错误． 对于D，过P作于，连接，则面， 故为与面所成的角 设，则， 则， 可得． 设，则上式， 当且仅当，即时取得“”． 又三棱锥的外接球半径为， 点到平面的距离为， 又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为； 则，所以，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则二项式的展开式中含项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】逆用二项式定理化简已知求得，然后求出二项式展开式的通项，由得，代入求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 则二项式的通项， 令，解得，所以含项的系数为. 故答案为： 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 【答案】88 【解析】 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 14. 如图，在中，，点，分别在边，上，线段和的长均不超过9，点在线段上，且平分，，则长度的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，从而化简可得到，令，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，，，由题意可得，且， 因为，所以， 可得，.因为，，所以解得， 所以. 令，因为函数，当且仅当时取等号， 所以由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，则. 由余弦定理可得 ，故， 即长度的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当时,求出，写出当时与的表达式，两式相比得出的表达式，求出的表达式，即可证明结论； （2）求出的表达式，当时求出的表达式，验证当时是否为，即可求出的通项公式. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 当时，，解得， 当时，因为①，则②， 由得， 整理得， 所以， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在等比数列中，首项为，公比为2， ，则， 当时，， 当时，， ∴的通项公式为. 16. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形．，且为的中点． （1）证明：； （2）点是线段上一点，求使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，利用余弦定理可求得，可证，进而可得平面，可证结论； （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可得，进而计算即可. 【小问1详解】 如图，连接，因为底面为边长为4的正三角形，且为的中点，所以， 又，所以，且， 在中，因为，由余弦定理可得， 解得， 在中，因为，所以． 因为平面，且，所以平面， 又平面，故． 【小问2详解】 由（1）知平面，因为，所以， 则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则，， 设平面的法向量为，则，即 取，则，则平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则平面的一个法向量为． 设二面角的平面角为，当时， 由得， 即， 整理得，即， 解得，因为， 故使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度为． 17. 小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. （1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 【答案】（1）的分布列如下： 1 2 的期望为 （2）（ⅰ）证明如下： ① ② ①-②得：. 又， 则， 即. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）需要确定随机变量的取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）（i）通过建立与的递推关系来证明两者相等；（ii）通过一系列递推关系找出的通项公式，从而求出. 【小问1详解】 的可能取值为1和2，且； ， 则的分布列如下： 1 2 则的期望为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）③， ①+②得：. 由③知 又； 则有，其中； 则是以为首项，为公比的等比数列. 可得：；所以 18. 已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）设圆的半径为，根据题意得出，，再由椭圆的定义进行判断即可求解，设为曲线上任意一点，则点在曲线上，代入求解即可得出，不要忘记取值范围； （2）记直线的斜率分别为，设为上一点，得出，设直线，，联立直线与椭圆方程分别求出，，，（ⅰ）由，即，建立关于的等式求解即可；（ⅱ）得出的方程：令，则，从而，存在使得，即可判断三点的横坐标成等比数列． 【小问1详解】 设圆的半径为，点 由于，从而圆与圆内切 又圆与圆外切，与圆内切，则有， 当时，，，从而，矛盾，故不符合题意； 当时，，，从而， 则点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去点） 设，则半焦距为，即，从而， 故 设为曲线上任意一点，则点在曲线上，即，即 故； 【小问2详解】 由题意知直线的斜率存在，从而记直线的斜率分别为 设为上一点，则有，即， 从而 设直线 设 联立，得 有，得，即 同理可得 联立，得，从而，有 （ⅰ）由，即有， 解得，又，则 从而直线的方程：即 （ⅱ）由直线的斜率 则直线的方程： 令，则 又，从而，故存在使得， 即三点的横坐标成等比数列． 19. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数． （1）求双曲正弦函数在处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，，则得到切线方程； （2）方法一：令，求导得到单调性即可证明；方法二：首先证明当时，，令，证明其单调性即可证明； （3）首先利用导数证明，令，代入得到相关不等式组，累加得，再根据（2）得到，最后即可证明原不等式. 【小问1详解】 由已知，， 所以， 又，所以，切线方程为． 【小问2详解】 方法一：令， 则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立． 方法二：先证：当时，， 令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立． 再证：当时，， 令，则， 因此在上单调递增； 所以，故． 综上，当时，． 【小问3详解】 先证：，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，， ，当时取等号， 即， 令，则， 当时，， 即， 则有：， 相加可得：， 因为，则，所以， 即． 又由（2）知，当时，． 所以，． 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2026届高三数学综合测试 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 在矩形中，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5 4. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 5. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 6. 若构成等差数列，公差，且其中三项构成等比数列，设，则下列说法正确的是（ ） A. 一定大于0 B. 可能构成等比数列 C. 若，则为5的倍数 D. 7. 已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍 其中 10. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 11. 如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的4个面均为直角三角形 B. C. 沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则二项式的展开式中含项的系数为______. 13. 成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有__________种. 14. 如图，在中，，点，分别在边，上，线段和的长均不超过9，点在线段上，且平分，，则长度的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式． 16. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形．，且为的中点． （1）证明：； （2）点是线段上一点，求使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度． 17. 小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. （1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 18. 已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交轴与点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数． （1）求双曲正弦函数在处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $