第1章 推理与证明 重点例题与习题 2025～2026学年青岛版八年级数学上册

回归教材系列 2025～2026学年青岛版八年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：青岛版八年级上册数学第1章 推理与证明 1.阅读证明过程，并在括号内填写推理依据。 如图，点在直线上，与互为余角。求证：。 证明：因为与互为余角              ， 所以              。 因为点在直线上              ， 所以              。 所以              。 所以              。 所以              。 2.阅读证明过程，并在括号内填写推理依据。 如图，，是线段上的两点，且。求证：。 证明：因为              ， 所以              。 所以              。 3.阅读证明过程，并在括号内填写推理的依据。 如图，直线，直线与，分别交于点和，，垂足为点。求证：。 证明：因为              ， 所以              。 因为              ， 所以              。 所以              。 所以              。 4.判断下列命题的真假。如果是假命题，请举出反例。 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 四边形的两条对角线相等； 若，则； 若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于。 5.将下列命题改成“如果，那么”的形式，并指出命题的条件和结论。 平行于同一条直线的两条直线平行； 两个有理数相乘，同号得正。 6.写出下列命题的条件和结论，并判断真假。如果是假命题，请举出反例。 如果，那么或； 两条直线被第三条直线所截，如果两个角是同位角，那么这两个角相等； 对顶角相等； 如果是有理数，那么。 7.如图，直线，相交于点，其中是直角。 求证：，，都是直角。 8.说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被整除，那么这个三位数也能被整除”是真命题。 9.如图，在中，与的角平分线交于点。 求证：。 10.说明下列命题是真命题： 如果是有理数，且，那么； 如果，都是奇数，那么是偶数。 11. 证明：等角的余角相等。 已知：如图，，是的余角，是的余角。 求证：。 12.如图，，和分别是和的平分线。求证：。 13.如图，直线，与直线，分别相交，。求证：。 14.如图，，。求证：。 15.如图，，，。求证：。 16.如图，点，，在同一条直线上，，，与互为余角。求证： ； 。 17. 我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索边形的内角和。 探索：在图中探索与的关系，并证明你的结论； 应用：在图中运用所得的结论，证明四边形的内角和为； 推广：在图中将的思路延伸，说明边形的内角和为。 18. 如图，。求证：。 19.如图，在中，，是边上的一点。过作，，垂足分别为点，。求证：。 20.如图，在中，，，垂足为点。求证：。 21.如图，在中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，。求证：。 22.如图，直线，直线与，分别相交于点，，试写出，，之间的数量关系，并加以证明。 23.如图，在中，，分别作两个锐角的外角平分线，相交于点。试探索的度数，并证明你的结论。 24.如图，在中，是的平分线，，垂足为点。 若，证明：； 如图，是线段上的动点，在点自向运动的过程中，作，垂足为点，与，有什么数量关系？ 答案和解析 1.【答案】已知          余角的定义 已知 平角的定义 等量代换 等式的基本性质 垂直的定义 2.【答案】已知    等式的基本性质 线段和的定义 3.【答案】已知 两直线平行，同位角相等 已知 垂直的定义 等量代换 垂直的定义 4.【答案】【小题】 解：真命题。 【小题】 假命题。反例：一般的四边形的两条对角线不一定相等，如图所示，在四边形中，。 【小题】 假命题。反例：当，时，，但，，所以。 【小题】 假命题。反例：当两个有理数分别为和时，它们的和为，小于，但它们的积为，大于。 5.【答案】【小题】 解：改写：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行。 条件：两条直线都平行于同一条直线； 结论：这两条直线平行。 【小题】 改写：如果两个有理数同号，那么这两个有理数相乘的结果为正。 条件：两个有理数同号； 结论：这两个有理数相乘的结果为正。 6.【答案】【小题】 解：条件：；结论：或。真命题。 【小题】 条件：两条直线被第三条直线所截，两个角是同位角；结论：这两个角相等。假命题。 反例：如图，直线，被直线所截，其中同位角与不相等。 【小题】 先把这个命题改成“如果，那么”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。真命题。 【小题】 条件：是有理数；结论：。假命题。 反例：当时，是有理数，不满足。 7.【答案】证明：因为是直角已知， 所以直角的定义。 因为对顶角相等， 所以等量代换， 所以是直角直角的定义。 因为平角的定义， 所以等式的基本性质， 所以是直角直角的定义。 同理可得是直角。 8.【答案】解：设这个三位数的百位上的数字为且为整数，十位上的数字为且为整数，个位上的数字为且为整数， 那么这个三位数可以表示为。 因为能被整除， 所以可设为整数。 因为， ， 所以 。 因为，，是整数，所以也是整数， 所以能被整除。 故“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被整除，那么这个三位数也能被整除”是真命题。 9.【答案】证明：在中， 因为三角形内角和定理， 所以等式的基本性质。 在中，因为三角形内角和定理， 所以等式的基本性质。 因为，分别是和的平分线， 所以，角平分线的定义， 所以等量代换。 所以等量代换。 所以。 10.【答案】【小题】 解：因为是有理数，且已知， 所以等式的基本性质。 所以除法的运算法则。 【小题】 因为，都是奇数已知， 设，，其中，是整数奇数的定义， 所以乘法分配律。 因为，是整数已知， 所以是整数整数的基本性质。 所以是偶数偶数的定义。 所以是偶数等量代换。 11.【答案】证明：因为是的余角，是的余角已知， 所以，余角的定义。 所以等量代换。 因为已知， 所以等式的基本性质。 12.【答案】证明：因为和分别是和的平分线已知， 所以，角平分线的定义。 因为已知， 所以等量代换。 13.【答案】证明：如图所示， 因为已知， 所以内错角相等，两直线平行。 所以两直线平行，同旁内角互补。 因为，对顶角相等， 所以等量代换。 14.【答案】证明：如图所示，因为已知， 所以两直线平行，同位角相等。 因为已知， 所以两直线平行，同位角相等， 所以等量代换。 15.【答案】证明：在中，因为已知， 所以直角三角形的两个锐角互余。 因为，已知， 所以 。 所以同旁内角互补，两直线平行。 16.【答案】【小题】 证明：因为，，， 所以等量代换。 因为平角的定义， 所以等式的基本性质。 所以垂直的定义。 【小题】 因为，，已知， 所以等式的基本性质。 因为 三角形内角和定理， 所以等式的基本性质。 所以同旁内角互补，两直线平行。 17.【答案】【小题】 解：数量关系：。 证明：因为与分别为的两个外角， 所以，， 所以。 因为三角形的内角和为， 所以， 所以。 【小题】 证明：由知。 在中，， 所以， 所以， 即四边形的内角和为。 【小题】 由知，三角形剪去一个角，变为四边形，其内角和变为。 依次类推，四边形剪去一个内角变为五边形， 其内角和为， ， 边形剪去一个内角变为边形，其内角和为。 故边形的内角和为。 18.【答案】证明：因为已知， 所以同位角相等，两直线平行。 所以两直线平行，同旁内角互补。 19.【答案】证明：因为，已知， 所以，垂直的定义。 因为是的外角已知， 所以三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 因为已知， 所以等量代换。 所以等量代换。 所以等式的基本性质。 因为已知， 所以等量代换。 20.【答案】证明：因为已知， 所以垂直的定义， 所以直角三角形的两锐角互余。 又因为已知， 即。 所以同角的余角相等。 21.【答案】证明：如图所示。 因为，所以直角三角形的两个锐角互余。 因为是边上的高，所以垂直的定义。 所以直角三角形的两个锐角互余。 因为平分已知， 所以角平分线的定义。 所以等角的余角相等。 因为对顶角相等， 所以等量代换。 22.【答案】解：。 证明：因为已知， 所以两直线平行，内错角相等。 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， 平角的定义， 所以等量代换。 所以等式的基本性质。 23.【答案】解：。 证明：因为， 平角的定义， 所以等式的基本性质。 又因为直角三角形的两个锐角互余， 所以等式的基本性质。 因为，角平分线的定义， 所以等式的基本性质。 又因为三角形内角和定理， 所以等式的基本性质。 24.【答案】【小题】 证明：因为，所以， 所以。 在中，， 所以。 又因为平分， 所以， 所以 。 【小题】 方法一：由知， 在中， ， 因为，所以， 所以 。 方法二：如图所示， 过点作于， 因为， 所以， 所以。 由知，， 所以。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$