第1章 推理与证明 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

参考答案 (部分答案 第1章考点梳理与复习 所以∠DAF+∠AFD=90°，∠CAE+∠AEC=90°。 1.C2.D3.C 所以∠AFD=∠AEC 4.同旁内角互补 因为∠AFD=∠CFE, 5.如果两个角相等，那么它们的余角相等 所以∠CFE=∠AEC,即∠CFE=∠CEF。 6.①②③【解析】①a2>b2,不能判断a与b的大小，故原命 15.解：猜想：9 题是假命题；②两直线平行，内错角相等，故原命题是假命 验证：(1)979-（9+7+9)=954=9×106。 题；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平 (2)(100a+10b+a)-(a+b+a)=99a+96=9(11a+b)。 行，故原命题是假命题；④在同一平面内，过一点有且只有 因为a,b为整数，所以9(11a+b)能被9整除。 一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题。 所以将“对称数”减去其各数位上的数字之和，所得结 7.(答案不唯一)(1)a=1,b=-1,c=0(2)a=1,b=-1 果能够被9整除。 8.D9.C 16.解：(1)①60°【解析】因为BC∥EF,∠DEF=∠DFE=45°， 10.D【解析】A.由EF∥AB,得 所以∠DBC=∠DEF=∠DCB=∠DFE=45°。 ∠ACE=∠A,∠BCF=∠B。 因为∠ABC=90°，∠ACB=60°， 由∠ACE+∠ACB+∠BCF=180°，得 所以∠ABD=45°，∠ACD=15°。所以∠ABD+∠ACD=60°。 ∠A+∠ACB+∠B=180°： ②60°【解析】因为∠BDC=90°， B.由CE∥AB,得∠A=∠ECF,∠B=∠BCE。 所以∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°. 由∠ECF+∠BCE+∠ACB=180°，得 所以∠ABD+∠ACD=180°-∠A-∠DBC-∠DCB=60°。 ∠A+∠B+∠ACB=180°： (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C。证明如下： C.由DE∥BC,得∠ADE=∠B,∠C=∠AED。 如图，过点D作射线AF。 由DF∥AC,得∠EDF=∠AED,∠A=∠BDF, 因为LBDF=∠BAD+∠B 所以∠C=EDF。 ∠CDF=∠C+∠CAD, 由∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，得∠B+∠C+∠A=180°； 又因为∠BDC=∠BDF+∠CDF, D.由CD⊥AB,得∠ADC=∠BDC=90°， ∠BAC=∠BAD+∠CAD, 无法证明三角形的内角和等于180°。 所以∠BDC=∠A+∠B+∠C。 11解：小亮的结论不正确。理由如下： (3)①由(2)，得∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A。 因为a,b都是奇数（已知）， 因为∠A=40°，∠BDC=120°，所以∠ABD+∠ACD=80°。 设a=2m+1,b=2n+1, 因为BE平分∠ABD,CE平分∠ACD, 其中m,n是整数（奇数的定义）。 所以a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)(乘法分配律)。 所以LEBD+LECD= 2ABD+ +2∠ACD=40。 因为m,n是整数（已知）， 因为∠BDC=∠BEC+∠EBD+∠ECD, 所以m+n+1是整数（整数的定义）。 所以LBEC=∠BDC-∠EBD-∠ECD=8O°。 所以2(m+n+1)是偶数（偶数的定义）。 ②30°【解析】设∠ABF,=x°，∠ACF1=y°， 所以a+b是偶数（等量代换）： 则∠ABD=10x°，∠ACD=10y。 所以小亮的结论不正确。 因为∠BDC=110°，∠BF,C=62° 12.解：垂直的定义AFDE同位角相等，两直线平行 所以∠A+10x°+10y°=110°，∠A+4x°+4y°=62°， 两直线平行，同位角相等90°90°∠3 解得x+y=8°。所以∠A=62°-32°=30°。 同角的余角相等内错角相等，两直线平行 17.C 13.解：(1)012±2 18.A小斗提示：由原命题的真假，不能确定其逆命题的真假，必 须要分别判定。 (2)x+z的符号为负。证明如下： 19.D20.B21.D 因为x+y=0,所以x与y互为相反数。 22.解：∠ACD=∠A+∠B。 因为x<y,所以x<0,y>0。所以xy<0。 证明：假设∠ACD≠∠A+∠B。 因为yz>0,所以z<0。所以x+z的符号为负。 因为∠ACB+∠A+∠B=180°， 14.解：(1)△ABC是直角三角形。证明如下： 所以∠ACB=180°-（∠A+∠B)。 因为在△ABC中，CD是高， 所以∠ACB≠180°-∠ACD,即∠ACD+∠ACB≠180°。 所以∠ADC=90°。所以∠A+∠ACD=90°。 根据平角定义，得∠ACD+∠ACB=180°， 因为∠A=∠BCD,所以∠BCD+∠ACD=90° 所以假设不成立。 所以∠ACB=90°。所以△ABC是直角三角形。 所以原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B。 (2)证明：因为AE是△ABC的角平分线， 第1章学业水平测试 所以∠DAF=∠CAE。 1.B2.B3.A4.B5.A6.A7.D 因为∠ADF=90°，∠ACE=90°， 8.C【解析】由题意，得∠E=∠B=90°， 及解析 不唯一) ∠DFE=45°，∠BAC=60°。 故假设不成立，原命题正确， 因为AD⊥AC,所以∠CAE=∠EAG+∠BAC=90°。 即△ABC中至少有两个角是锐角。 所以∠EAG=30°。 19.证明：在△BCE中，∠1=∠B+∠E。 因为∠E+∠EAG+∠AGE=180°， 因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∠B+∠BFG+∠BGF=180°，∠AGE=∠BGF, 所以∠1=∠2。所以∠2=∠B+∠E。 所以LBFG=∠EAG=30°。 在△ACE中，∠BAC=∠E+∠2。 所以∠BFD=∠BFG+∠DFE=75°。 所以∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E(等量代换)。 9.B【解析】因为BO平分∠ABC,CE平分∠ACD, 20.解：(1)因为8-6=2,3-1=2，且8≠3， 所以∠DCE=宁∠ACD,∠DBE=LABC。 所以8631是双减数。 因此V(8631)=86-31=55。 所以L2=∠DC-LDBE=之（∠ACD-LABC)=7∠1. 1 (2)该命题是真命题。理由如下： 设双减数A的千位上的数字为a,十位上的数字为b,且 所以∠1=2∠2。故选项A不符合题意： a≠b, 因为BO,C0分别平分∠ABC,∠ACB, 则该数的百位上的数字为a-2,个位上的数字为b-2。 所以∠0BC=LABC,∠0CB=分LACB。 所以N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)] =11(a-b),即N(A)能被11整除。 所以∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB) 21.(1)6565【解析】因为∠ACB=90°，CD是高， ∠B=40°， =1800-1 (∠ABC+∠ACB)=180°-2(180°-∠1) 所以∠BAC=90°-∠B=50°，∠ACD=90°-∠BAC=40°。 因为AE是△ABC的角平分线， =90°+211=90+L2。 所以LCAF=LDAF= F2∠BAC=25°。 故选项C,D不符合题意，选项B符合题意。 所以∠CFE=∠CAF+∠ACD=65°，∠CEF=∠DAF+∠B=65°。 10.D【解析】如图，过点E作EG∥AB, 过，点F作FH∥CD。 (2)证明：因为∠ACB=90°，CD是高， A、 的 所以∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠BAC。 11 、E 所以∠B=∠ACD。 2 因为AE是△ABC的角平分线，所以∠CAF=∠DAF。 H3公F 因为∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B, C14 所以LCFE=∠CEF。 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EG∥FH。 所以∠1=∠AEG。所以∠GEF=∠2-∠1 (3)45. 2a【解析】因为LACB=90°， 因为EG∥FH,所以∠EFH=180°-∠GEF 所以∠BAG=∠ACB+∠B=90°+a。 =180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1。 因为AF是∠BAG的平分线， 所以∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-(180°-∠2+∠1) =∠3+∠2-∠1-180°。 所以∠6MF=∠BMF=(90°a)=45 2a。 因为FH∥CD,所以∠4=∠3+∠2-∠1-180°。 11.错误不能12.同位角相等，两直线平行 所以LCEF=LBAF-∠B=45- 24。 13.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 22.(1)证明：因为0M⊥0W, 14.如果1al=1,那么a=115.①②④ 所以∠0=90°。所以∠2+∠3=90°。 16.④【解析】①依据为等式的基本性质2； 又因为∠1=∠2，∠3=∠4， ②依据为等式的基本性质1； 所以∠ABC+∠BCD=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4= ③依据为因式分解； 360°-2（∠2+∠3）=180°。所以AB∥CD。 ④依据为等式的基本性质2，但是用法出错。 (2)解：因为∠0=48°，所以∠2+∠3=132°。 17.解：90°垂直的定义EF 由(1)可知，∠ABC+∠BCD=360°-2×132°=96°。 同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补 所以∠BPC=180°-（∠ABC+∠BCD)=84°。 ∠2同角的补角相等CD内错角相等，两直线平行 （3)解：B=2αx。证明如下： 两直线平行，同位角相等 因为∠PBD+∠P=∠0+∠4，∠3=∠4=∠0+∠2， 18.证明：假设△ABC中至多有一个角是锐角， ∠1=∠2=∠PBD 则另两个角为直角或钝角。 所以∠1+B=a+x+∠1。所以B=2a。 故此时三角形内角和超过180°， 选做题 与三角形内角和定理相矛盾， 660【解析】乘坐两人车人均费用为100÷2=50（元）， ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·53· 乘坐四人车人均费用为140÷4=35（元）， 又因为∠B=∠DFE=50°，所以∠CFE=∠BDF。 来坐六人车人均费用为190：6=31号（元）， 因为BD=CF,∠B=∠C,所以△DBF≌△FCE(ASA); 由上可得，乘坐六人车，人均费用最低。 所以费用要想低，依次乘坐六人车，四人车，两人车。 1.6 50 乘坐六人车3辆，两人车1辆， 费用为190×3+100=670（元）； 乘坐六人车2辆，四人车2辆， 图1 图2 费用为190×2+140×2=660（元）。 D.如图2，由选项C可得∠CFE=∠BDF,∠B=∠C, 所以他们的费用最低为660元。 但夹边C℉不一定等于1.6，所以两个三角形不一定全等。 第2章考点梳理与复习 12.BE=CD或∠CBE=∠BCD或∠CBD=∠BCE或AB=AC 1.B2.D3.C 或AD=AE【解析】添加BE=CD可利用“HL”证明Rt 4.25.9 △BCD≌Rt△CBE; 6.解：因为△ABC兰△ABD, 添加∠CBE=∠BCD可利用“AAS”证明△BCD≌△CBE; 所以∠BAC=∠BAD,∠ABD=∠ABC=20°。 添加∠CBD=∠BCE可利用“AAS”证明△BCD≌△CBE; 1 添加AB=AC可利用“AAS”证明△ABD≌△ACE。 所以∠BAD=2∠CAD=45。 添加AD=AE可利用“ASA”证明△ABD≌△ACE。 所以∠D=180°-∠BAD-∠ABD=115°。 13.35【解析】如图，连接AC。 7.解：(1)因为△ABD≌△EBC, [AE=AD. 在△ACE和△ACD中，CE=CD, E 所以BE=BA=3,BD=BC=5。 所以DE=BD-BE=5-3=2。 AC=AC, B∠ (2)AC与BD垂直。理由如下： 所以△ACE≌△ACD(SSS)。 因为△ABD≌△EBC,所以∠ABD=∠EBC。 所以∠AEC=∠D=75°。 因为∠ABD+∠EBC=180°， 因为∠DCE=140°，∠BCE=180°-∠DCE=40°， 所以∠ABD=∠EBC=90°。所以BD⊥AC。 所以∠B=∠AEC-∠BCE=35°。 8.解：(1)因为△ABC≌△CDE,以AC=CE=13。 …小斗总结 所以△ABC的周长=AB+BC+AC=5+12+13=30。 可以通过添加辅助线构造全等三角形。 (2)因为△ABC≌△CDE,所以∠ACB=∠CED。 10 因为∠D=90°，所以∠CED+∠DCE=90°。 143或10【解析】如图，设点Q的运动时间为i秒。 所以∠ACB+∠DCE=90°。所以∠ACE=90°。 因为AB∥CE,所以∠B=∠C。 A Z B 所以△4CE的面积=了X13x13=1。 因为D是BC的中点， 所以BD=CD。 9.C小斗提示：“SSA"是不能判定两个三角形全等的。 r∠B=LC,C∠ 【解析】A.AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, 在△BDP和△CDO中，BD=CD, 符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB; L∠BDP=∠CDQ, B.∠A=LD,∠ABC=∠DCB,BC=CB, 所以△BDP≌△CDQ(ASA)。所以BP=CQ。 符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB: 10 C.∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=CB,不符合全等三角形 当，点P由，点A向点B运动时，10-2=t。解得t=3 的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB; 当点P由点B向，点A运动时，2t-10=t。解得t=10。 D.∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC 符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB。 综上所这，满足题意的点Q的运动时间为9或10行。 10.D【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD。 15.90【解析】如图，过点F,G分别作FM⊥CD于点M, BD=CD GN⊥CD于点N,则∠FM0=∠GNO=90°。 在△BDF和△CDE中，{∠BDF=LCDE, 由题意可知，OF=0G,GN=40cm。 DF=DE, r∠MOF=∠NOG, 所以△BDF≌△CDE(SAS)。 在△FMO和△GNO中， ∠FMO=∠GWO, 所以BF=CE,∠F=∠CED。故选项A正确； OF=0G. 所以BF∥CE。故选项C正确； 所以△FMO兰△GNO(AAS)。所以FM=GN=40cm。 因为BD=CD,点A到BD,CD的距离相等， 又因为，点0到地面的距离为50cm, 所以S△MBD=S△ACD。故选项B正确； 所以小明离地面的高度为50+40=90(cm)。 由题中条件无法出推出∠ACE=∠DCE。故选项D不 小明 一定正确。 小敏 11.D【解析】A.根据SAS推出剪下的两个三角形全等： B.根据SAS推出剪下的两个三角形全等； C.如图1，因为∠DFC=∠DFE+∠CFE=∠B+∠BDF, 54· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 16.解：BC=EF。理由如下： 可判定直线a平行于直线b; 因为EH=DH=AC=2米，DF=2米，AB=4米， C.根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b; 所以AC=DF,AB=DE。 D根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行， [AC=DF. 可判定直线a平行于直线b。 在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF, 23.74° AB=DE, 24.(1)∠B(2)∠ 所以△ABC≌△DEF(SAS)。所以BC=EF。 25.解：(1)①作∠DCE=∠； 17.(1)证明：因为∠ACE+∠DCE=∠BDF+∠CDF=180°， ②在射线CE上截取BC=a; 又因为∠DCE=∠CDF,所以∠ACE=∠BDF。 ③在射线CD上截取AC=b; r∠ACE=∠BDF, ④连接AB。 在△ACE和△BDF中，{∠A=∠B, △ABC就是所求作的三角形。 AE=BF, 所以△ACE≌△BDF(AAS)。 b (2)解：因为△ACE≌△BDF,所以AC=BD=4。 因为AB=16,所以CD=AB-AC-BD=16-4-4=8。 [AB=AC, a 18.证明：(1)在△ABD和△ACD中，BD=CD, LAD=AD. （2)①作∠DAE=90°； 所以△ABD≌△ACD(SSS)。所以∠ABD=∠ACD。 ②在射线AE上截取AC=b; (2)因为△ABD≌△ACD,所以∠BAE=∠CAE。 ③以点C为圆心，a为半径画 AE=AE. 弧，交射线AD于点B; 在△ABE和△ACE中 ∠BAE=∠CAE, ④连接BC。 AB=AC, Rt△ABC就是所求作的直角 所以△ABE≌△ACE(SAS)。所以BE=CE。 三角形。 19.解：(1)因为BD,CE是△ABC的高， 第2章学业水平测试 所以BD⊥AC,CE⊥AB。 1.C2.A3.B4.A 所以∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°。所以∠1=∠2。 5.C【解析】根据图中的尺规作图痕迹可得∠DAE=∠B。 rOC=AB. 故选项A正确； 在△QAC和△APB中，{∠1=∠2， 所以AE∥BC。故选项D正确； [AC=PB, 所以∠CAE=∠C。故选项B正确； 所以△QAC≌△APB(SAS)。所以AQ=PA,∠QAC=∠P。 因为∠C与∠B大小关系不确定， 因为∠P+∠PAD=90°，所以∠QAC+∠PAD=90°。 所以∠DAE与∠CAE大小关系不确定。故选项C错误。 所以∠PAQ=90°，即AQ⊥PA。 6.B【解析】因为AD⊥BC,BE⊥AC, (2)补全图形如图所示，上述结论成立。证明如下： 所以∠ADC=∠BEC=90°。 r∠C=∠C, 在△ACD和△BCE中，{CD=CE, L∠ADC=∠BEC, 0 所以△ACD≌△BCE(ASA)。所以BC=AC=6cm。 因为CD=4cm,所以BD=BC-CD=6-4=2cm。 7.B B 8.C【解析】在△ABC和△EDC中， 因为BD,CE是△ABC的高，所以BD⊥AC,CE⊥AB。 r∠ABC=∠EDC, 所以∠1+∠CAE=∠2+∠BAD=90°。 BC=DC, 因为∠CAE=∠BAD,所以∠1=∠2。 ∠ACB=∠ECD, rQC=AB, 所以△ABC≌△EDC(ASA)。 在△QAC和△APB中，{∠1=∠2， 所以AB=ED=12m,即河的宽度为12m。 AC=PB, 9.B小斗提示：可以利用全等三角形先求出∠1+∠3。 所以△QAC≌△APB(SAS)。 [AC=BE, 所以AQ=PA,∠QAC=∠P。 【解析】在△ABC和△BDE中，{∠ACB=∠BED, 因为∠P+∠PAD=90°。所以∠QAC+∠PAD=90°。 BC=DE, 所以∠PAQ=90°。所以AQ⊥PA。 所以△ABC≌△BDE(SAS)。所以∠1=∠DBE。 20.B21.A 因为∠DBE+∠3=90°，所以∠1+∠3=90°。 22.C【解析】A.根据同位角相等，两直线平行， 因为∠2=45°，所以∠1-∠2+∠3=45°。 可判定直线a平行于直线b: 10.C【解析】因为BE⊥AD,CF⊥AD, B根据内错角相等，两直线平行， 所以∠E=∠CFD=90°。第1章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列语句：①两直线相交，只有一个交点；②过点P作直线AB的垂线；③延长线段AB到点C;④整数 都能被2整除。其中是命题的个数为 拼 A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中，是真命题的是 A.两直线平行，同旁内角相等 B.平行于同一直线的两直线平行 C.同位角互补，两直线平行 D.互补的角是邻补角 3.“两点之间线段最短”是 A.基本事实 B.定理 C.定义 D.待证的命题 4.对于命题：“如果a>0,b>0,那么a+b>0。”下列判断正确的是 A.该命题及其逆命题都是真命题 B.该命题是真命题而其逆命题是假命题 C.该命题及其逆命题都是假命题 D该命题是假命题而其逆命题是真命题 救 5.以下四个例子中，不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是 ( A.设这个角为30°，它的余角为60°，但30°<60° B.设这个角为45°，它的余角为45°，但45°=45° C.设这个角为60°，它的余角为30°，但30°<60°D.设这个角为50°，它的余角为40°，但40°<50° 6.在数学课上，老师画一条直线a,按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺， 画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了 A.平行于同一直线的两条直线平行 B.两直线平行，同位角相等 C.同旁内角相等，两直线平行 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 0 B D 第6题图 第8题图 第9题图 第10题图 7.用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是 A.一个三角形中有两个内角为钝角 B.一个三角形中三个内角都是钝角 C.一个三角形中至少有一个内角为钝角 D.一个三角形中至少有两个内角为钝角 8.一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，AD⊥AC,则∠BFD的度数为 A.45° B.60° C.75° D.80° 都 9.教改题如图，在△ABC中，BO,C0分别平分∠ABC,∠ACB,CE平分∠ACD,交B0的延长线于点E, 记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2。下列结论错误的是 () A.∠1=2∠2 B.∠B0C=3∠2 C.LB0C=90+2∠1 D.∠B0C=90°+∠2 10.如图，AB∥CD,用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的度数为 A.∠1+∠2-∠3 B.∠1+∠3-∠2 C.180°+∠3-∠1-∠2 D.∠2+∠3-∠1-180° 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.如图，小斗观察两个图形后，认为图1中间的圆要比图2中间的圆小，通过测量发现他的判断 是 (填“正确”或“错误”)的，由此可以得出观察 (填“能”或“不能”)作为证明的 依据。 ○ 图1 图2 第11题图 第12题图 12.某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分 别测出∠1=∠2=83°，这种验证方法依据的基本事实是 13.将命题“互为相反数的两个数的和为零”改成“如果…，那么…”的形式： 14.命题“如果a=1,那么|a=1”的逆命题是 15.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥ a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c。其中正确的 是。（填写序号） 16.推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误。 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x,令x=m, 等式两边都乘x,得x2=mx。① 等式两边都减去m2,得x2-m2=mx-m2。② 等式两边分别因式分解，得(x+m)(x-m)=m(x-m)。③ 等式两边都除以x-m,得x+m=m。④ 等式两边都减去m,得x=0。⑤ 所以任意一个实数都等于0。 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）》 17.(8分)如图，已知∠E=90°，AC⊥BE,∠1+∠2=180°。 求证：∠BAF=∠BDC。 请将下面解题过程补充完整： 证明：因为AC⊥BE(已知)， 所以∠ACB=（」 因为∠E=90(已知)， 所以∠E=∠ACB(等量代换)。 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·3· 所以AC∥ 所以∠1+∠CAF=180°( 因为∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠CAF= ( 所以AF∥ 所以∠BAF=∠BDC( 18.(6分)用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角。 19.(6分)新素养〔几何直观〕如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E, 求证：∠BAC=∠B+2∠E。 A 2 I B 20.(8分)新素养〔运算能力〕若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数 字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称 P为“双减数”。将“双减数P”的千位数字和百位数字组成的两位数与十位数字和个位数字组成的 两位数的差记为N(P)。例如：已知四位正整数7564。因为7-5=6-4=2，且7≠6，所以7564是双 减数。因此N(7564)=75-64=11。 (1)判断8631是不是双减数。若是，请求出N(8631)的值；若不是，请说明理由； (2)命题“对于任意双减数A,N(A)都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由。 21.(12分)新考法〔拓展探究〕【感知】(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是△ABC的角平分线， CD是高，AE,CD相交于点F。若∠B=40°，则∠CFE=°，∠CEF=; 【探究】(2)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是△ABC的角平分线，CD是高，AE,CD相交于点 F。求证：∠CFE=∠CEF; 。4· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 【拓展】(3)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长 线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,若∠B=a,则∠CEF= (用含a的代数 式表示)。 G D B 图1 图2 22.(12分)新考法〔跨学科)【生活常识】到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与 平面镜所夹的角相等。如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面的夹角为∠1，反射光线 OB与水平镜面的夹角为∠2，则∠1=∠2。 M M D M B B P 3 入射光线 反射光线 1入K2 2λ人1 21 4K3 M B 0 图1 图2 图3 图4 【应用探究】有两块平面镜OM,ON,入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD。 (1)如图2，若OM⊥ON,试证明AB∥CD; (2)如图3，光线AB与CD相交于点P,若∠O=48°，求∠BPC的度数； (3)如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P,∠O=,∠P=B,试猜想与B之间满足的数量 关系，并证明。 选做题 景区乘坐缆车观光游览的价目表如下： 缆车类型 两人车（限乘2人） 四人车（限乘4人） 六人车（限乘6人） 往返费用 100元 140元 190元 某班20名同学一起到该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最 低为 元。