精品解析：山东省枣庄市山亭区2023-2024 学年上学期 10 月月考八年级数学试题（A卷）

2023-2024学年第一学期10月核心素养评价（A卷） 八年级数学 （满分：120分 时间：100分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（30分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是( ) A. -5是25的平方根 B. 1的平方根与立方根相同 C. (-5)2的算术平方根是5 D. -8的立方根是-2 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥0 B. x≠2 C. x＞0 D. x≥0且x≠2 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC斜边上的高CD的长为（ ） A. 6 cm B. 8.5 cm C. cm D. cm 5. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 6. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短线路是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组数中，互为相反数的一组是(　　　) A. -2与 B. -2和 C. -与2 D. |2|和2 8. 在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 在直角三角形ABC中，斜边AB=5，求AB2+BC2+AC2=（ ） A. 50 B. 25 C. 10 D. 5 10. 如图，是由5个大小相同的正方形组成的图形，则∠BAC的度数是（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 不能确定 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（18分） 11. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为____________． 12. 若y＝+﹣2，则的值是_____． 13. 已知，则的平方根是___________． 14. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，则的值为______． 15. 的平方根是___________，的绝对值是___________． 16. 中，，，高，则的周长是__________． 三、解答题 17. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求： （1）AB的长； （2）△CDF的面积． 18. 计算： （1） （2）． 19. 解方程 （1） （2） 20. 已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为-3． （1）求的值： （2）求的平方根． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，求这块空地铺满草坪共需花费多少元？ 22. 在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图所示，这样不需求C的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上______； （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 23. 规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 24. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． （1）求公路的长度； （2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第一学期10月核心素养评价（A卷） 八年级数学 （满分：120分 时间：100分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（30分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、被开方数x2+1≥1，符合二次根式的定义，故本选项正确； B、当x＜0时，它没有意义，故本选项错误； C、它属于三次根式，故本选项错误； D、当x2﹣1＜0时，它没有意义，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 2. 下列说法不正确的是( ) A. -5是25的平方根 B. 1的平方根与立方根相同 C. (-5)2的算术平方根是5 D. -8的立方根是-2 【答案】B 【解析】 【详解】-5是25的平方根，正确，不符合题意； 1的平方根为±1，而1的立方根为1，故1的平方根与立方根不相同，错误，符合题意； (-5)2的算术平方根是5，正确，不符合题意； -8的立方根是-2，正确，不符合题意. 故选B 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥0 B. x≠2 C. x＞0 D. x≥0且x≠2 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：， 解得：x≥0且x≠2， 故选D． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC斜边上的高CD的长为（ ） A. 6 cm B. 8.5 cm C. cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积计算出长即可． 【详解】解：，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 5. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】被开方数利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握平方差公式是解题的关键． 6. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短线路是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解． 【详解】将台阶展开，如下图， 因为AC=3×3+1×3=12，BC=5， 所以 =169， 所以AB=13（cm）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 7. 下列各组数中，互为相反数的一组是(　　　) A. -2与 B. -2和 C. -与2 D. |2|和2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的性质化简，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】A. =2，故与-2互为相反数，正确； B. =-2，此选项错误； C. -与2不互为相反数，此选项错误； D. |2|=2，此选项错误； 故选A． 【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知相反数的定义． 8. 在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，共2个． 故选：A． 9. 在直角三角形ABC中，斜边AB=5，求AB2+BC2+AC2=（ ） A. 50 B. 25 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据勾股定理求解． 【详解】解：根据题意由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2=25， ∴AB2+BC2+AC2=25+25=50， 故选A ． 【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 10. 如图，是由5个大小相同的正方形组成的图形，则∠BAC的度数是（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设小正方形的边长为1，连接BC，求出AC、BC、AB的长，可判断出△ABC是等腰直角三角形，继而可得出∠BAC的度数． 解：设小正方形的边长为1， 则AC==， AB==， BC==， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°． 故选A． 考点：等腰直角三角形． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（18分） 11. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．据此解答即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=4， S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB ． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，正确把阴影部分面积转换成△ABC三边的长度是解题的关键． 12. 若y＝+﹣2，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据被开方数的非负性得出x的值，从而就出y的值，代入即可． 【详解】解：∵y＝+﹣2， ∴ ， ∴x=3， ∴y=-2， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题考查了算术平方根以及二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键． 13. 已知，则的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负性，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个数的平方根．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值． 14. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，则的值为______． 【答案】49 【解析】 【分析】图中小正方形的边长是，图中直角三角形的面积是，根据面积的和差可得，勾股定理可得，进而根据完全平方公式即可求得答案． 【详解】由题意可知，图中小正方形的边长是，图中直角三角形的面积是，根据已知数量可得： ，， 解得，， ∴. 故答案为：49 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，掌握勾股定理是解题的关键． 15. 的平方根是___________，的绝对值是___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先计算，再求平方根，根据，即可求得的绝对值． 【详解】解：∵ ∴的平方根是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，实数的性质，无理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键． 16. 中，，，高，则的周长是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解． 【详解】 解：如图1，△ABC中，AB=20，AC=13，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=20，AD=12， 由勾股定理得，BD= 在Rt△ADC中AC=13，AD=12， 由勾股定理得，DC= 则BC的长为BD+DC=16+5=21， △ABC的周长为：13+20+21=54； 如图2，同（1）的作法相同，BC=11， △ABC的周长为：13+20+11=44， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论． 三、解答题 17. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求： （1）AB的长； （2）△CDF的面积． 【答案】（1）9；（2）54 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案； （2）由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B=90°， ∴， ∴AB=AE+BE=9； （2）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°， 由折叠的性质可得AD=DF， ∴BC=AD=DF， 设CF=x，则BC=DF=x+3， ∵， ∴， 解得， ∴CF=12， ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算．熟记运算法则，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再根据运算法则，先乘方，再乘法最后进行加法运算即可； （2）先计算算术平方根、立方根，零指数幂，负整数指数幂，最后进行加减法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据平方根的定义求解即可． (2)根据立方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． 20. 已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为-3． （1）求的值： （2）求的平方根． 【答案】（1）-9；（2） 【解析】 【分析】（1）由平方根的性质知和互为相反数，可列式，解之可得，根据立方根定义可得b的值； （2）分别将a、b的值代入，可解答． 【详解】解：（1）某正数的两个平方根分别是和， ， ． 又的立方根为-3， ， ， ． （2）当，时， ， 的平方根是． 【点睛】本题主要考查立方根、平方根，解题关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． 21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，求这块空地铺满草坪共需花费多少元？ 【答案】1200元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理逆定理的应用，解答此题的关键是求出区域面积．连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理求出，求出空地面积，即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在Rt中，，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 该空地面积为：平方米， 即铺满这块空地共需花费元． 22. 在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图所示，这样不需求C的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上______； （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 【答案】（1）3.5； （2）如图所示，△ABC即为所求： ； 3． 【解析】 【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案； （2）利用勾股定理结合网格的特点画出相应的△ABC，同（1）的方法即可得出答案． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）略 ； 答：△ABC的面积为3． 【点睛】本题考查了勾股定理及应用设计与作图，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握． 23. 规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 24. 为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． （1）求公路的长度； （2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】（1）公路的长度是千米 （2）修建公路的费用为万元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，千米，千米， ∴（千米）， ∵千米， ∴（千米）． 答：公路的长度是千米． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵千米，千米，千米， ∴（千米）． ∴修建公路的费用为（万元）． 答：修建公路的费用为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $