精品解析： 河北正定中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025～2026学年高三开学摸底考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据5.2，7.1，8.1，8.3，8.5，8.6，8.8，9.1的第75百分位数为（ ） A. 8.5 B. 8.6 C. 8.7 D. 8.8 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的计算，可得答案. 【详解】因为，所以这组数据第75百分位数为从小到大排列的第6、7两数的平均数，即. 故选：C． 2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，利用复数的几何意义得到关于的不等式组，求解即得. 【详解】因在复平面内所对应的点在第四象限， 所以，解得，故a的取值范围是． 故选：B． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简后根据集合运算求解. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以． 故选：C． 4. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得， 则，解得. 故选：C. 6. 已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 7. 设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 又因为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 当或时，最大 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式进行运算，即可得到判断. 【详解】设等差数列的公差为，则，故B正确； 所以，故A正确； ，故C错误； 由，可得， 由于二次函数的对称轴为，开口向上， 所以当或时，最小，故D错误； 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 只有最大值，无最小值 D. 当时，有三个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性、极值可判断AB，再由函数的单调性及大致图象判断判断C，由图象及函数零点存在性定理判断D. 【详解】由题意得， 所以， 对于A，当时，，所以在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以是函数的极大值点，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 又，的大致图象如图所示， 的值域为，所以有最小值，无最大值，故C错误； 对于D，当时，在上单调递增，因为，所以， ，所以在上有一个零点；当时，在上单调递增， 在上单调递减，又，当时，， ．结合的大致图象，在有一个零点，在上有一个零点． 综上，当时，有三个零点，故D正确． 故选：AD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 当时， C. 若，则的面积为 D. 当时，的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由的关系即可判断；对于B，根据双曲线的定义及勾股定理解方程组即可判断；对于C，根据双曲线的定义，余弦定理及面积公式即可判断；对于D，设直线的方程，与双曲线联立，解出点的坐标，然后利用内切圆的等面积公式即可判断. 【详解】对于A，由，虚轴长为，得，， 所以，故双曲线C的方程为，故A错误； 对于B，由，则， 故，而，所以， 故，得，所以，故B正确； 对于C，由得，根据双曲线定义得． 由余弦定理可得，即， 可得，所以的面积为，故C正确； 对于D，当时，设直线MN的方程为， 联立，消去y得，， 解得，，当时，M点坐标，， ，，，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 13. 若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，则平面， ，平面，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令，得，， 因为平面， 所以，所以， 解得，则， 又， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 【答案】（1），最大值为， （2）单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 当时，取最大值为，此时，，即，； 【小问2详解】 当时，有， 从而时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 综上所述，单调增区间为，单调减区间为. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可； （2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可. 【小问1详解】 由题意得 ，得， 故的方程为； 【小问2详解】 设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且， 所以 ， 故为定值． 17. 如图，已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，． （1）证明：平面PBC； （2）若，，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取PC上的点N，使，可得，则四边形ABNM为平行四边形，据此可完成证明； （2）由题可得平面ABCD，据此可如图建立空间直角坐标系，由此可得及平面PAB的法向量，可得直线AM与平面PAB所成角的正弦值. 【小问1详解】 取PC上的点N，使， 则， 所以四边形ABNM为平行四边形，所以， 又平面PBC，不在平面PBC内，所以平面PBC． 【小问2详解】 取CD中点O，连AO，PO，因为，所以， 由题意得为正三角形，所以，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，， 以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 设为平面PAB的法向量，则， 可取，， 故直线AM与平面PAB所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【小问1详解】 当时，，则， 令，得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，，所以， 所以恒成立， 即在上单调递增； 故单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，， ∴恰有2个正实数根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴上单调递减，在上单调递增，又， 当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】与2025年新课标Ⅱ卷数学真题第18题同步考查函数的单调性、零点及不等式证明；真题卷第18题考查含三次项的函数性质；本题考查指数函数与二次函数结合的函数，分析其单调区间、零点的取值范围及证明零点之和的不等式，零点问题通常转化为函数图象交点的问题；构造函数是解决极值点偏移问题的方法之一. 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． 【答案】（1） （2）①分布列见解析，；②证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数； （2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时，且，则可认为方差． 【小问1详解】 对于n维坐标有两种选择（），故共有种选择，即个顶点 【小问2详解】 ①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种．即，故分布列为： 1 2 … … 数学期望, 倒序相加得，即． ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认方差． I．：当时，有，即． II．，    ， 当n足够大时，有 当时，， 当时，，故． 综上所述，可以认为． 【点睛】思路点睛：要用到立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用知识，关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年高三开学摸底考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据5.2，7.1，8.1，8.3，8.5，8.6，8.8，9.1的第75百分位数为（ ） A 8.5 B. 8.6 C. 8.7 D. 8.8 2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设且，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 7. 设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列等差数列，为其前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 当或时，最大 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 只有最大值，无最小值 D. 当时，有三个零点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 当时， C. 若，则的面积为 D. 当时，的内切圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 13. 若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 17. 如图，已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，． （1）证明：平面PBC； （2）若，，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 在三维空间中，立方体坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $