辽宁省沈阳市法库县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.由个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知与位似，位似中心为点，且：：，则线段：的值为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 3.如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是(    ) A. B. C. D. 4.若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而减小，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.电路上在电压保持不变的条件下，电流与电阻成反比例关系，与的函数图象如图，关于函数解析式是(    ) A. B. C. D. 7.小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量颗 发芽种子数量颗 种子发芽的频率精确到 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为______结果精确到 12.若一元二次方程为常数的一个根是，则另一个根是______． 13.如图，，是的两条中线，连接若，则 ______． 14.如图，矩形的对角线，相交于点，过点作交于点，若，，则的长为______． 15.如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解方程：； 解方程：． 17.本小题分 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． 求证：； 若，求的长． 18.本小题分 在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母代表金属、代表纸板、代表果皮、代表电池，把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片． 请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； 求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率． 19.本小题分 在菱形中，对角线与交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，已知，，求长． 20.本小题分 某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 21.本小题分 如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点． 求反比例函数的表达式． 点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 22.本小题分 如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点． 求证：； 求证：； 过作于点，连，则的值． 23.本小题分 在坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，过点的直线交轴于，点是直线上的一动点． 求直线的解析式； 如图，点在运动过程中，当时，求点的坐标； 若将线段绕点旋转，点落在轴点处，试问平面内是否存在一点，使得以点、、、四点为顶点形成的四边形是正方形，若存在，写出点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：这个组合体的左视图为： 故选：． 根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 2.【答案】  【解析】解：与位似， ∽，， ∽， ：：：， 与相似比为：， ：：． 故选：． 根据位似图形的概念得到∽，，得到∽，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案． 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 3.【答案】  【解析】解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有种， 可配成紫色， 故选：． 作树状图得出所有等可能的结果数以及可配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4.【答案】  【解析】解：反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而减小， ． 故选：． 利用反比例函数的性质判断即可． 本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 5.【答案】  【解析】解：由题可得：在四边形中，， 四边形为菱形， ，， ， ， ． 故选：． 根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由，即可得到的度数，从而得到答案． 本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：当，时， 电压， ． 故选：． 根据电压电流电阻得到稳定电压的值，让即可． 考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值． 7.【答案】  【解析】解：根据题意，可列方程：， 故选：． 设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语和等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 8.【答案】  【解析】解：，， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ，， ∽， ， ， ， 故选：． 由，，求得，则，由菱形的性质得，，则∽，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， ， ． ， ， ∽， ， ， 设， 则， ， ， ， 故选：． 先证，再根据，得出∽，根据相似三角形的性质即可求出的长． 本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断． 【解答】 解：当，，所以∽；故正确； 当，，所以∽；故正确； 当，即：：，，所以∽；故正确； 当，即：：， 而， 所以不能判断和相似，故错误； 能满足与相似的条件是． 故选D． 11.【答案】  【解析】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为， 故答案为：． 在大量重复试验下，利用频率估计概率即可解答． 本题考查利用频率估计概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：设方程的根为：，， 则， 解得． 故答案为：． 利用一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可． 本题考查的是用一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解法一：，是的两条中线， 是的中位线， ，， ∽， ，即， 解得． 解法二：，是的两条中线， ， ， 故答案为：． 解法一：依据是的中位线，即可得到，，再根据∽，即可得到阴影部分的面积； 解法二：依据中线的性质，即可得到的面积，进而得出的面积． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的运用．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 14.【答案】  【解析】解：连接， 四边形是矩形，对角线，相交于点，，， ，，，， 交于点， 垂直平分， ， ，且， ， 解得， 故答案为：． 连接，由矩形的性质得，，，，因为交于点，所以垂直平分，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：作关于直线的对称点，连接， ，， ， 过作于， 在正方形中，有， 四边形， ，， 在中， ， ， 故答案为：． 作关于直线的对称点，连接，则即为所求，过作于，在中，利用勾股定理即可求出的长． 本题考查的是最短线路问题，掌握转化思想和勾股定理是解答此题的关键． 16.【答案】解：， ， ， 或， ，； ， ， 或， ，．  【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； 利用因式分解法，即可得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 17.【答案】证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ．  【解析】连接、，证四边形是平行四边形即可． 注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 18.【答案】解：根据题意画树状图如下： ； 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果和有种， 甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率．  【解析】画树状图，展示所有等可能的结果； 其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查列表法与树状图法，概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】解：取的中点，连接，则， 四边形是菱形，对角线与交于点，， ，， ，，， 点在的延长线上，且， ， ∽， ， ， 的长为．  【解析】取的中点，连接，由菱形的性质得，，则，，，可证明∽，得，求得． 此题重考查菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 20.【答案】解：设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， ． 答：定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元．  【解析】设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件，根据每个月的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】解：，，， ，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 点的坐标为， 反比例函数在第二象限内的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为：； 点是轴上一点，若是直角三角形， 有以下两种情况： 当时，如图所示： ， ， ， 四边形是矩形， ， 设点的坐标为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，， 由，解得：不合题意，舍去， 由，解得：， 点的坐标为； 当时，如图所示： 设， 则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或．  【解析】根据平行四边形的性质可得出点，将点代入之中求出，由此可得反比例函数的表达式； 依题意有以下两种情况，当时，证明四边形是矩形得，设点，则，，然后在中，由勾股定理求出，进而可得点的坐标；当时，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，进而点的坐标，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 22.【答案】证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ≌， ； 证明：延长至，且使，连接、，如图所示： 则， 四边形是矩形， ，，， 在和中，， ≌， ， ，， 为的中点， 为的中位线， ， ； 解：过点作交于，如图所示： 则， ， ， ， ， ，， 由角的互余关系得：， ， 在和中，， ≌， ，， 是等腰直角三角形， ， ．  【解析】根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质即可得到结论； 延长至，且使，则，由证明≌，得出，证出为的中位线，得出，得出，即可得出； 过点作交于，由证明≌，得出，，证出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案； 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 23.【答案】解：直线， 令，则， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， 解得  ， 即直线的解析式为：； 为上一点， 设， ，， ，， ， ， ， 或， 或， 或； 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由题意得：，设点， ，， ， 在和中， ≌， 则，， 解得：或， 则点或， 当时， 则，即点， 由中点坐标公式得，点横坐标，点的纵坐标为， 点； 当点时， 同理可得：点， 综上，点的坐标为：或  【解析】用待定系数法求直线的解析式即可； 设，由题意可得或，求出的值即可求点的坐标； 证明≌，得到，求出点或，进而求解． 本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$