第2章 实数的初步认识 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第2章 实数的初步认识 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．在下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：D． 2．9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义：“设和是实数，若，则叫做的平方根，记作．”是解题的关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的平方根为． 故答案选：D． 3．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，开方运算是解题关键，注意负数没有平方根．根据算术平方根、平方根与立方根的定义进行开方运算即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、不成立，因为负数没有算术平方根，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．如图所示，数轴上点所表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数大小估算，先对四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点表示数的取值范围，即可求出点表示的可能数值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设表示的数为， 由数轴可知， 、由，不符合题意； 、不符合题意； 、由，符合题意； 、由，不符合题意； 故选：． 5．已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性是解题的关键． 根据得，，求出、的值，再代入求解即可． 【详解】解：，，且 ，， ，， ，， ． 故选：D． 6．定义一种新运算：．则的结果为（   ） A． B．3 C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算下的有理数混合运算，准确理解题意并作答是解决问题的关键． 根据题干信息，按照运算顺序代入数值进行计算即可． 【详解】根据定义，运算式为． 将，代入： 1. 计算：； 2. 计算分子：； 3. 计算分母：； 4. 计算分式：； 5. 最后结果为． 故选：B． 7．估计的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小的应用，关键是能求出的范围． 根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：C． 8．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．写一个比2大，比5小的无理数： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较，解题关键是熟练掌握无理数的定义． 先任意写出一个比2大，比5小的无理数即可． 【详解】解：，， ， ， 比2大，比5小的无理数为：， 故答案为：（答案不唯一）． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟记“一个数的立方根只有一个，负数的立方根是负数”是解答本题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】， 故答案为：． 11．比较7 （填＞、＜或＝） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较和求一个数的算术平方根，根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为 12．用四舍五入法对0.0578取近似数，精确到千分位结果是 ． 【答案】0.058 【分析】本题考查了近似数，将万分位数字四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对0.0578取近似数，精确到千分位结果是0.058， 故答案为：0.058． 13．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 14．若与均为一个非负数的平方根，则m的值是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，根据平方根的定义列方程，求出的值即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是一个非负数的平方根， ∴当时， 解得：， 当时， 解得：， 综上可知：m的值是3或7． 故答案为：3或7． 15．若，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质、有理数的乘法、代数式求值，能够根据所给条件求出，的值是解题的关键． 由，可得，，由可知，同号，分情况代入即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，同号， ∴当，时，， 当，，． 故答案为：． 16．如果有一个三位数m，满足百位数字为9，十位数字和个位数字之和也是9，我们把这个三位数称为“归一数”，把m的百位数字和个位数字互换位置得到数．并规定，例如，三位数918，且百位数字是9，是“归一数”，；三位数不是“归一数”．927是一个“归一数”， ．若s和t都是“归一数”，且，并规定，则K的最大值为 ． 【答案】 184 【分析】本题考查新定义、列代数式，根据题目要求求解即可，设，则，求得，同理可得，进而求得，再结合题意得，再分别取值计算即可求解． 【详解】解：∵927是一个“归一数”， ∴， 设，则， ∴， ， ， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵a、b、c、d都是数字（0到9的整数）， ∴， ∴，即， ∴， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， 当，，此时，， ，， ，， ， ∴K的最大值为， 故答案为：184；． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算绝对值，乘方运算，立方根，算术平方根，再合并即可． 【详解】解： ． 18．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题是求解方程中未知数的题目，分别借助平方根、立方根的定义，将方程转化为一元一次方程来求解，是实数运算中利用根式定义解方程的基础题型，能帮助理解数的开方与方程求解的关联： （1）考查平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）考查立方根的定义，式子化为，立方根只有一个，求解即可． 【详解】（1）， ， 或， 解得或； （2））， ， ， ． 19．将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 【答案】； ； ； （每两个1之间依次多一个0 【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：负数集合：{,...}； 分数集合：{，...}； 非正整数集合：{,...}； 无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．} 20．已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根． (1)求x，y，a的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查的是立方根和平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出x的值，进而可得出a、y的值； （2）先求出的值，再由立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵和是a的两个不同的平方根， ∴， 解得； ∴， ∴； ∵是a的立方根， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴的立方根是． 21．小明家买了一张边长是米的正方形新桌子，原有边长是1米的两块正方形台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按如图所示的方法，将两块台布裁剪拼成一块正方形大台布，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？ 【答案】这块大台布能盖住现在的新桌子 【分析】本题考查了算术平方根的应用； 先求出大台布的面积，再根据算术平方根的意义求出大台布的边长，然后可得答案． 【详解】解：根据题意得：大台布的面积为（平方米）， 所以大台布的边长为米． 因为， 所以这块大台布能盖住现在的新桌子． 22．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 23．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 【答案】(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数） (2)①0.1435  ②1435 【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键． （1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可； （2）①根据（1）总结的规律，计算即可； ②根据（1）总结的规律，计算即可； 【详解】（1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）； （2）解：①根据（1）总结规律，； ②根据（1）总结规律，， 故答案为：①0.1435  ②1435． 24．阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的相反数的值． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练地确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出，的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为1，则小数部分为； 故答案为：1；． （2）解：， ， 又x是一个整数，，且， ，， ， 的相反数为． 25．【阅读】 对于数对，若，则称为“轩缘数对”．如：因为，，所以，都是“轩缘数对”． 【理解】 （1）下列数对中，是“轩缘数对”的是_____；（填序号） ①；②；③；④． 【运用】 （2）若是“轩缘数对”，求的值； （3）若是“轩缘数对”，求算式的值． 【答案】（1）①③④ （2） （3）0 【分析】本题考查了新定义“轩缘数对”的理解与应用，解题的关键是紧扣“轩缘数对”的定义，通过代入计算、列方程求解等方式解决问题． （1）根据“轩缘数对”定义，分别验证各数对中两数的和是否等于两数的积； （2）利用定义列出关于x的方程，求解得出x的值； （3）由定义得到，将其代入算式化简求值． 【详解】解：①对于，和等于积，是“轩缘数对”； ②对于，，和不等于积，不是； ③对于，，，和等于积，是“轩缘数对”； ④对于，和等于积，是“轩缘数对”． 故答案为：①③④． （2）解：∵是“轩缘数对”， ∴， 移项得：， 解得． （3）解：∵是“轩缘数对”， ∴． 则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数的初步认识 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．在下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 2．9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 3．下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，数轴上点所表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 6．定义一种新运算：．则的结果为（   ） A． B．3 C．15 D． 7．估计的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 8．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．写一个比2大，比5小的无理数： ． 10．计算： ． 11．比较7 （填＞、＜或＝） 12．用四舍五入法对0.0578取近似数，精确到千分位结果是 ． 13．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 14．若与均为一个非负数的平方根，则m的值是 ． 15．若，，且，则的值为 ． 16．如果有一个三位数m，满足百位数字为9，十位数字和个位数字之和也是9，我们把这个三位数称为“归一数”，把m的百位数字和个位数字互换位置得到数．并规定，例如，三位数918，且百位数字是9，是“归一数”，；三位数不是“归一数”．927是一个“归一数”， ．若s和t都是“归一数”，且，并规定，则K的最大值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．计算：． 18．求下列各式中的值： (1)； (2)． 19．将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 20．已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根． (1)求x，y，a的值． (2)求的立方根． 21．小明家买了一张边长是米的正方形新桌子，原有边长是1米的两块正方形台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按如图所示的方法，将两块台布裁剪拼成一块正方形大台布，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？ 22．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 23．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 24．阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的相反数的值． 25．【阅读】 对于数对，若，则称为“轩缘数对”．如：因为，，所以，都是“轩缘数对”． 【理解】 （1）下列数对中，是“轩缘数对”的是_____；（填序号） ①；②；③；④． 【运用】 （2）若是“轩缘数对”，求的值； （3）若是“轩缘数对”，求算式的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$