广东省湛江市八校2025-2026学年高三上学期8月联考数学试题

高三数学参考答案 题序 10 11 12 13 14 答案 B D ACD ABD BCD 5 72 评分细则： 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9~11题，全部选对的得6分，每选对一个得2分，有选错的不得分. 【3】第12~14题，凡与答案不符的均不得分 1.B【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养. 因为：产1+i,所以x=-1=一2 2.D【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养。 由x3>x,且x>0,得x>1,所以M∩N={2,3}. 3.B【解析】本题考查平面向量的平行，考查数学运算的核心素养. 因为a∥b,所以一2m=3×4,解得m=一6. 4.A【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养 设圆心C(0,0)到直线EF的距离为d,则d=2=1,所以1EF1=2X√9-了=4反. /3+I 5.C【解析】本题考查函数的性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 因为f(x)=log2(x2一8x十a2)的值域为R,所以△=(-8)2-4a2≥>0，解得-4≤a≤4. 6.D【解析】本题考查应用向量解决实际应用问题，考查直观想象的核心素养与应用意识， 该船沿正北方向行驶10海里记为向量a1一(0,10)，沿北偏东30°的方向行驶10海里记为向 量a2=(5,53),沿北偏东60的方向行驶10海里记为向量a3=(55,5),则MN=a1十a2十a3 =(5+55,5√5+15)，所以M1=√(5+53)+(15+53)2-(103+10)海里 7.C【解析】本题考查应用导数解决实际应用问题，考查数学运算的核心素养 设高度h与时间t的函数关系式为h(t),则h'(t)=v(t)=一9.8t十4.7， 故可设h(t)=-4.9t2+4.71+k,因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+4.7t+10, 则该运动员在t=1秒时离水面的高度为h(1)=一4.9十4.7十10-9.8米. 8.C【解析】本题考查函数的性质，考查直观想象与数学运算的核心素养， 由)-3中3，得)=3+，所以x)+/一)=6，则x的图象关于点 x2+1 (0,3)对称，所以M+m=6. 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 9.ACD【解析】本题考查抛物线的定义与性质，考查直观想象的核心素养 因为△MNF为等边三角形，所以|FM=|FN|,则点F在线段MN的 中垂线上.设MN的中点为P,M,N,P的横坐标分别为xM,xN·xP, 连接FP,则FP⊥MN.因为xN=- 号A正 确.因为∠OFN=∠FNM=60°，所以直线NF的斜率为士√3，C正确. 设直线FN与y轴的交点为Q,直线l与x轴的交点为K,因为OQ儿， 所以架架-号期0Q1=号1NK1将w号代人方程=2加，可得1 3p,从而1OQ1三82B错误因为MN=2p,所以6p=12,解得p=2,D正确 10.ABD【解析】本题考查圆锥中的有关角、侧面积、体积等的计算，考查直观想象的核心素养 对于A,由已知可得PO-OE=OF=3,PO⊥OE,所以PE-PF-32,则圆锥PO的侧面 积S=π·OE·PE=π×3×3√2=9√2π，A正确. 对于B,当OG⊥PF时，OG⊥EF,此时△EFG的面积最大，即三棱锥 P-EFG的体积最大，故B正确. 对于C,设点G关于圆心O的对称点为H,则直线EG与直线PF的夹 角等于直线FH与直线PF的夹角，即∠PFH,所以O<cos∠PFH= FH6 PF 6√262 ② ，则牙<∠PFH<受，C错误， 对于D,可知△PEG和△OEG都是等腰三角形，取EG的中点K,连接PK,OK,可知PK ⊥EG,OK⊥EG,可知∠PKO是二面角P-EGO的平面角，则∠PKO=60°，可以求得OK =5,所以PK=√3+3=2B,EK=√3-3=6，EG=26,故△PEG的面积为2× 26×23=6V2,D正确. 11.PCD【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 对于A.Bf)=如女+n3=2sin受os号·令2n号os音-0，因为r∈0， 7x 0号>0，所以s血号-0，又1<<所以受-x,受-2x7受-x解得-吾 T:= 红，匹一买，A错误，B正确 7x3= 对于C,cosx1十cosx2+cosx3=cos 2+o 4红+cos7 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 sin4红+2sin 纸os4红+2sin π6π 4x十sin7 si 8r一sin7 2x+sin 7 4π 7cos 7 2sin7 2n号 正确， 对于D.因为血x1ns血r,=s血牙m经血停-s血子血子sn吾，8sr号sin号· 7 im5=(1-cos）(1-c0s）(1-cos）=1-E+F-G.其中E=cos牙+os号 6ix F=cos7 7 7 2(osg+oms9）+号(os19+os9)+(om8经+oms7）-cos2牙+cos 十 2π4π cos-E,G=-c0s号osc0s钙 8sin 7cos 7cos 8sin 7 n号如号如停-司放S如吾如等血子-怎D正确 12.5【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养. 因为bsin A=5sinB,所以ba=5b,解得a=5. 13.72【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学建模与数学运算的核心素养. 先排3位女同学，有A种方法，再在3位女同学之间形成的4个空位中任选2个安排男同 学去坐，有A种方法，根据分步乘法计数原理知有AA=72种不同的安排方法. 14.4【解析】本题考查椭圆的性质，考查数学运算的核心素养 由题设知A(0,1),B(0,-1),设C(x1y1),D(x2y2). 因为AC⊥AD,BC⊥BD,所以AC·AD=0,BC.BD=0,所以 x1x2+(y1-1)(y2一1)=0，x1x2十(y1+1)(y2+1)=0,两式相 减得y2=一y1,将y2=-y代入x12+(y1-1)(y2-1)=0, 可得十1--0因为2+y=1,所以行=得 Scm=Sace十5anB=+x:=(1+)lz<a(1+)-平（当且仅当x1 士a时，等号成立.由a+日号解得a=4或a=子因为a>1.所以a=4 15.解：(1)由已知得青年用户的人数为300一150=150，…2分 (3m+n+2m-n=150, 则 解得 m=30, …4分 m十n十m十2n=150, 1n=30. 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 2×2列联表如下： 应用体验 组别 合计 良好 不良好 青年用户 120 30 150 中年用户 60 90 150 合计 180 120 300 …6分 零假设为H。:这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异.…7分 根据表中的数据，计算得到x-300(120×90-30×60) 180×120×150×150 =50>10.828=xa.0m1,…9分 根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即认为这两组不同年龄段的用户 对该软件的应用体验存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.…10分 (②由已知得分层抽样比为点。 …11分 则在这15名青年用户中，应用体验为良好的有12人，为不良好的有3人， …12分 所以从中随机抽取3人，恰有2人的应用体验为不良好的概率是 CC236 C455 …13分 16.解：(1)由ag十a5=2a,=22,得a4=11.… …1分 因为1+2a2=a1,所以a2=5, 2分 1-5=3.a1=2,… 则公差为一2 …3分 所以4n=3n一1.“ …4分 因为6么…所哈期么，是等比数 ，…5分 设其公比为q,因为b2=2b1,b,=b1g3=8,所以q=2,b1=1,则bn=2-1.…6分 (20调为小8-8w十号（点十 1 ,…8分 1 2(3n+2) …10分 (3)因为anbm=(3m-1)2"-1, 所以T=2×1十5×2十8×22十…十(3n-1)×2-1,…11分 所以2Tm=2X2十5X22+8X23十…十(3m-1)X2”,…13分 两式相减得-T.-2+3(21+22+23+…+2-1)-(3m一1)×2"=一4+(4-3m)×2”, 所以T=4十(3一4)2”.…15分 17.(1)解：如图，取BM的中点O,连接AO.由AM=AB,可知AO⊥BM. 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 又因为平面ABM⊥平面BCDM,平面ABM∩平面BCDM =BM,AOC平面ABM,所以AO⊥平面BCDM.·2分 由AM=AB=2,∠BAD=120°，得BM=25,AO=1.… …3分 在直角梯形ABCD中，因为∠BAD=120°，AB=2,所以 B ∠ABC=60°，CD=2Xsin60°=5，…4分 所以四楼锥A-BCDM的体积为×1+)X,E×1=- 2 6 …5分 (2)证明：过点D作BM的平行线交BC于点E,连接PE.因为DE在平面ABM,BMC平 面ABM,所以DE/平面ABM. 6分 因为MDBC,所以四边形DEBM是平行四边形.则DM=BE,所以瓷-子-需 C4 CB' …7分 所以PE∥AB,同理可证PE平面ABM.…8分 因为DE∩PE=E,所以平面PDE平面ABM.…9分 又因为PDC平面PDE,所以PD/平面ABM.…10分 (3)解：取BC的中点H,连接OH.在△BOH中，由BH=2,BO=√3，∠OBH=30°，可得 HO=1.因为OB2十OH2=BH2,所以OH⊥BO.… 11分 以O为原点，OB,OH,OA的方向分别为x,y,:轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,1),B(3,0,0),H(0,1,0),由点B和H的坐标可求得C(一√3,2,0)， 所以市-(3，号-）.店-50，.成-（一后2.1…18分 设平面ABC的法向量为n=(x,y,g), W3x-g=0, 则 取x=1,得n=(15,√5).…14分 -√5x+2y-x=0, 设直线AD与平面ABC所成的角为0.则sin0= AD·n25-2 AD1Inl√8×√7 14 所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值为厘 14· 15分 18.(1)解：因为|MF,I一|MF2|=6<10=|F,F2,所以轨迹C是以F1,F2分别为左、右焦 点的双曲线， 设C的方程为后一若-1a>0,b>0.由2a-6,可得a=3. …3分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 所以b=/25一a=4,… …4分 所以C的方程为一。-1. …5分 (2)证明：设A,B,D,E的坐标分别为(x1y1),(x2y2),(x3y3),(xy1). (mx+ny=1, 由x2y2, 消去y得(16n2-9m2)x2+18m.x-9-144n2=0.…7分 (916=1, 因为直线1与双曲线C相交，所以△=182m2-4(一9一144n2)(16n2一9m2)>0,化简得1十 18m 9+144n2 16m2-9m2>0,所以x1+x=9nm二16mx1xa=9m2-16m …8分 (mx+ny=1, 18m 由x2y 。消去y得(16m2-9m2)x2+18mx-9=0,所以x+x一9nm2-16mxsx4 (916=0, 9 9m2-16n ……10分 所以x1十x2=x3十x4,则AB与DE的中点重合，…11分 所以D,E为线段AB的三等分点等价于AB|=3DE, 12分 又|AB|= 1+x2/ 24v√m+n·√16m-9m+1 16m2-9m21 …14分 同理可得DE 24Vm2+n2 116n2-9m' …15分 所以√16m2-9m+1=3,即16n2-9m2=8,所以x3x= 9 9 9m2-16n2 8 故“D,E为线段AB的三等分点"的充要条件是“D,E两点的横坐标之积为一 9 e 8 …17分 Esin(x+） 19.解：(1)因为f(x)= simx+cos工，所以f'(x)= 2sin z …2分 令f'(x)>0,得sinx<0,解得2kr一r<x<2kπ，k∈Z,令f'(x)<0,得sinx>0,解得 2kr<x<2kπ十π，k∈Z,所以f(x)在(2kπ一π，2kπ)(k∈Z)上单调递增，在(2kπ，2kπ十 π)(k∈Z)上单调递减.… …4分 因为x∈(0,3π)，所以∫(x)在(0，π)，(2π，3π)上单调递减，在（π，2x)上单调递增.当x=元 时，x)的极小值为一怎，当x=2x时，x)的极大值为 ………6分 (2)对于任意的x∈[0，十o∞)，e[f(x)十1]≥a.x十2恒成立，即对于任意的x∈[0，十o∞)， e十sinx十C0sx一a.x一2≥0恒成立.…7分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 令F(x)=e+sinx+cosx一a.x-2,则F'(.x)=e+cosx-sinx-a,再令G(x)= F'(x)=c十cosx-sinx一a,则G'(x)=e5-sinx一c0sx.…9分 由)知，f(x)=血十os工在[0，十∞)上的极大值为(k∈N),所以f(x)= nr十os2在[0，+o∞)上的最大值为1，即n十cosZ≤1在[0，十o∞)上恒成立，于是 e G'(x)=e一sinx一cosx≥0在[0，十o∞)上恒成立，则F'(x)在[0，十oo)上单调递增，从而 F(x)≥F(0)=2-Q.…11分 当a≤2时，F'(x)≥0，因此F(x)在[0，+十o∞)上单调递增，从而F(x)≥F(0)=0在 [0,+o∞)上恒成立，即当a≤2时.e'[(x)+1]≥a.x+2在[0，十∞)上恒成立.…13分 当a>2时，令u(x)-e-x一1(x≥0)，则u'(x)=e-1≥0，所以u(x)在[0，十o∞)上单调 递增，u(x)≥u(0)=0,即当x>≥0时，e≥x+1,于是F'(a+l)=e+1+cos(a+1)-sin(a +1)-a>a+2+Ecos(a+1+不)-a>0.又F'(0)=2-a<0,所以在(0，a+1)内存在 一个零点入，使得F'(入)=0，当x∈(0，A)时，F'(x)<0,F(x)在(0，入)上单调递减，而 F(0)=0,即当x∈(0，入)时，F(x)<0,与已知矛盾.…16分 综上，a≤2，即实数a的取值范围为（一o∞，2]. …17分 ▣▣ 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】高三数学 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数x满足音=1十i,则= A.0 B.-2 C.i D.-2i 2已知集合M=合1,23N=z>x,则MnN A分3 分 C.{1,2,3} D.2.3 3.已知向量a=(4,一m).b=(2,3),且ab,则m= A.6 B.-6 c- 4已知直线y-√3x+2与圆C:x2+y2=9相交于E,F两点，则EF|= A.42 B.52 C.62 D.7√2 5.已知函数f(x)=log(x2一8x十a2)的值域为R,则a的取值范围为 A.[-2,2 B.(-oo,-2]U[2,+o∞) C.[-4,4] D.(-∞，-4]U[4,+∞) 6.某船在海上从M岛（看成质点）出发，沿正北方向行驶10海里，接着沿北偏东30的方向行驶 10海里，最后沿北偏东60°的方向行驶10海里到达N处，则MN= A.(203-10)海里 B.(20+103)海里 C.(103-10)海里 D.(10+10√3)海里 7.某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度（单位：米/秒）与时间1（单位：秒）之间的函 数关系式为v(t)=一9.81十4.7，则该运动员（身高忽略不计）在t一1秒时离水面的高度为 A.9.6米 B.9.7米 C.9.8米 D.9.9米 【高三数学第1页（共4页）】 &已知两数)产的最大值为M,最小值为m:则M十m A.2 B.4 C.6 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,M为抛物线C上一点，MN⊥l,N为 垂足，若△MNF为等边三角形，则 A点M的横坐标为号 B直线FV与y轴交点的纵坐标的绝对值为32 3 C.直线NF的斜率为士√3 D.若△MNF的周长为12，则p=2 10.已知圆锥PO的轴截面为等腰直角三角形，顶点为P,底面圆心为O,EF为底面圆的直径， PO一3，G是底面圆周上异于E,F的一个动点，下列结论正确的是 A.圆锥PO的侧面积为9√2π B.当OG⊥PF时，三棱锥P-EFG的体积最大 C直线G与直线PF夹角的取值范围是（行，） D.若二面角PEGO的大小为60°，则△PEG的面积为6√2 11,已知函数∫(x)=sin4z十sin3x在(0，r)内的三个零点分别为x1,x2,xa(x1<x2<x),则 A∈ B.2x1十x2十x3=2π Cos十os:十osx=-号 7 D.sin risin xasin=8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设△ABC的内角A.B,C的对边分别是a,b,c,若bsin A=5sinB,则a=▲ 13.有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有▲ 种不同的安排方法.（用数字作答） 4已知A,B分别为椭圆下，十y=1(a>)的上，下顶点，C是椭圆T上异于A,B的点，点 17 D在坐标平面内，且AC LAD,BCLBD,若四边形CADB的面积的最大值为，则a- 【高三数学第2页（共4页1】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 随着我国人工智能(AD的突破性发展，近期许多优秀的人工智能(A)应用软件发布并上 线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨 论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能(AI)应用软件，为了测试青 年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得 到如下列联表： 应用体验 组别 合计 良好 不良好 青年用户 3m十月 2m一H 中年用户 加十程 m十2mn 150 合计 300 (1)求出m,n的值，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，请判断这两组不同年龄段的 用户对该软件的应用体验是否存在差异： (2)先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取15人，再从这15人 中随机抽取3人提出进一步改良的建议，求恰有2人的应用体验为不良好的概率. 附：X2= n(ad-bc)? (a+b)(c+d)(aFc)(b+d)'n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 已知等差数列{am}满足ag十a=22,1十2a2=a4,数列{b.}满足b+1=bb.+2,bg一2b1, b.=8. (1)求数列{a.}和{b.}的通项公式： (2)求数列。】}的前n项和5； anan+l (3)求数列{anb.}的前n项和T。· 【高三数学第3页（共4页）】 17.(15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，BC=4,AD=3,∠BAD=120°，点 M在AD上，且AM=AB=2.将△ABM沿BM折起，使得平面ABM⊥平面BCDM,如图2. (1)求四棱锥A-BCDM的体积： (②)若点P在图2中线段AC上，且AC=,证明：PD/平面ABM. (3)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值， M 图1 图2 18.(17分) 在平面直角坐标系Oxy中，已知点F(一5,0)，Fz(5,0),动点M满足|lMF:|一MF:|= 6,记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若直线l:mz十ny=1(n≠0,9m2一16n°≠0)与曲线C交于A,B两点，与曲线C的两条 渐近线分别交于D,E两点，证明：“D,E为线段AB的三等分点"的充要条件是“D,E 9 两点的横坐标之积为一8”： 19.(17分) 2sim(r+别 已知函数f(x)= e (1)求f(x)在(0,3π)上的极值： (2)若对于任意的x∈[0，十o∞)，e[f(x)+1门≥ax+2恒成立，求实数a的取值范围。 【高三数学第4页（共4页）】