第二章一元二次方程培优卷2025年-2026学年湘教版（2012）九年级数学上册

一元二次方程单元测试卷（培优卷） 时量:120分钟 满分：120分 1. 选择题（每题3分，共30分）。 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）. A. B. C. D. 2.将关于的一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）. A.1,1,-4 B.1,1,-6 C.1,-1,6 D.1,-1,-6 3.用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）. A. B. C. D. 4.若方程有解，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5.方程的根的情况是（ ）. A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（ ）. A. -2 B. 2 C. -1 D.1 7.去年“十一”长假期间某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是0.8万人，第三天的游客人数是3.2万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为，则根据题意可列方程为（ ）. A. B. C. D. 8.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 9.若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）. A. 48 B.24 C.48或 D.24或 10.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解，如图，将四个长为，宽为的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，其内部的小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为=49，边长为7，故得的正数解为.小智按此方法解关于的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则和的值分别为（ ）. A.6,4 B.4,6 C.2,8 D.8,2 二.填空题（每题3分，共24分） 11.已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 . 12. 若是反比例函数，则的值为 . 13.若，则 . 14.确定一个的值： ，使一元二次方程无实数根. 15.设是一元二次方程的两个根，则 . 16.设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 . 17.《九章算术》“勾股”章中有一题：今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程： .(结果化为一般式) 18.下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式 的值是 -1； ②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根； ③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根； ④已知两实数满足，，且，则的值为 -3.其中正确的有 （只需填序号）. 三、解答题（共8小题，共66分）. 19.（6分）用适当的方法解下列方程。 （1） （2） 20. （6分）下面是小聪同学用配方法解方程 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题。 解：移项，得 . ① 二次项系数化为1，得 . ② 配方，得 ，即 . ③ 由此可得 ，④ ∴ ，.⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现错误，并写出正确的完整的解答过程。 21. （8分）已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且满足，求的值. 22. （8分）又是一年脐橙丰收季！小华通过网络平台进行直播销售。已知每箱（小箱）脐橙的成本是30元，如果售价定为每箱40元，那么日销量将达到100箱。市场调查发现，每箱单价每提高1元，日销售量将减少2箱。 （1）若售价定为每箱a元（a40）,请用含a的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价应定为每箱多少元？ 23. （9分）已知平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于的方程的两个实数根。 （1）当为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长。 （2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值。 24. （9分）某商店以每件30元的价格购进一批玩具，计划以每件48元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售。已知这批玩具的销售量（件）与每件的降价金额（元）（）之间满足一次函数关系，其图形如图所示。 （1）求与之间的函数关系式。 （2）当每件玩具降价2元时，商店获利多少元？ （3）若该商店想要获利1680元，且让顾客获得更大实惠，则这批玩具每件应降价多少元？ 25.（10分）某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完。 （1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶； （2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求的值。 26. （10分）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=32,BC=16,一动点P从点C出发沿CB方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿A→C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P,Q两点同时出发，同时停止运动。设运动时间为t秒。 （1）当t为何值时，△ PCQ是等腰直角三角形？ （2）当时，求t的值。 （3）在运动过程中，线段PQ能平分△ABC的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。 一元二次方程单元测试卷（培优卷）参考答案 一、选择题（每题3分，共30分）。 1．B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.D 10.C 二、填空题（每题3分，共24分）。 11.5 12.-1 13.4 14. 1 15.4 16. 17. 18.①②③④ 三、解答题（共66分） 19.（1） （2） 20.解：不正确。第③步开始出现错误。 正确解答过程：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，得 ，即 . 由此可得 ， ∴ ， . 21.证明：（1）原方程可化为： ∵ ∴Δ>0 ∴无论为何值，原方程总有两个不相等的实数根。 （2）∵. ∴ 解得 22.解：（1） （2）依题意可得：, 解得：（元）（不符合题意，舍去） 答：这种脐橙的售价应定为每箱50元。 23.解：（1）当AB=AD时，四边形ABCD为菱形，即原方程有两个相等的实数根，所以Δ==0，解得：，这时菱形的边长为. （2）根据题意可得 ,解得：AD= 所以平行四边形的周长是 （3）∵方程的两个实数根分别为 ∴，代入到，即 解得. 24:解：（1）设与之间的函数关系式为，将（2，90），（4，120）代入得：,解得：, ∴与之间的函数关系式为; (2)由题意得（48-30-2）（15+60）=1440（元）. 答：当每件玩具降价2元时，商场获利1440元； （3）设这批玩具每件应降价元，由题意得：（48-30-）(15)=1680,整理得：， 解得：， 答：这批玩具每件应降价10元。 25.解：（1）设小货车每次运送顶，则大货车每次运送（）顶，根据题意得： 解得： 所以大货车原计划每次运:800+200=1000（顶） 答：小货车每次运送800顶，大货车每次运送1000顶； （2）由题意，得:, 解得： 答：的值为2. 26.解：由运动可知，CP=4t,AQ=8t, ∴CQ=AC-AQ=32-8t, ∵点P从C向点A运动，点Q从点A向点C运动，∴, (1)∵△PCQ是等腰直角三角形, ∠C=90°, ∴CQ=CP,即32-8t=4t,解得：; (2)在Rt△ABC中，AC=32,BC=16, ∴ ∵,即 , ∴,解得 t=2; (3)在运动过程中，线段PQ不能平分△ABC的面积； 理由：假设在运动过程中，线段PQ平分△ABC的面积， 则,由（2）可知， ∴,可得 而 Δ= ∴此方程无实数根，因此在运动过程中，线段 PQ不能平分△ABC的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$