第1章 推理与证明（知识清单）数学青岛版2024八年级上册

第1章 推理与证明 1.能够说明_____________________________叫作这个概念的定义。定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为____________，又可以____________。 2.____________________________的语句叫作命题。命题通常由________和________两部分组成。条件是_________________，结论是______________________。命题的一般叙述形式是“_____________________”。 3.当条件成立时，___________________的命题叫作真命题。当条件成立时，_____________________的命题叫作假命题。 4.满足命题条件，而______________________________的例子叫作命题的反例。只要能___________________，就可以说明这个命题是假命题。 5.人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些___________________作为基本事实，以基本事实为依据来____________________。 6.一个量可以用它的等量来替换，即_______________。 7.在代数中，可以依据_________、_____________、___________、_______、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 8.我们学过的基本事实： (1)两点____________________; (2) 两点之间_______________; (3)同一平面内，过一点______________________________________________; (4)过直线外一点________________________________________; (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么________________________。 9.基本事实通常作为论证的__________________。从定义、基本事实及已知条件出发，通过_______________的方法证实命题的过程叫作证明。 10.我们把__________________________叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 11.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫作________________。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的__________。如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的______________。 12.三角形内角和定理：______________________________________。 13.三角形的一个外角等于________________________________。三角形的一个外角大于__________________________________。 14.为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作_____________，辅助线通常画作_________。 15.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角_________。 16.直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是___________________。 17.先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发______________，从而__________________的方法叫作反证法。 18.用反证法证明命题的步骤: ①________________-假设命题的结论不成立; ②________________--从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; ③________________-由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 19.平行线的性质定理： 性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，____________________。 性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，_____________________。 性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，_____________________。 20.平行线的判定定理： 判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果____________________，那么这两条直线平行。 判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果____________________，那么这两条直线平行。 平行线的传递性：_____________________________________的两条直线平行。 易错点1 混淆定义、命题、定理和证明的概念 错误：混淆定义、命题、定理和证明的概念，不清楚它们之间的区别而导致错误。 注意：熟练掌握定义、命题、定理和证明的概念，把他们放在一起进行比较总结。 例题1 下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 易错点2 步骤不完整或逻辑不严密 错误：在使用反证法时，步骤不完整或逻辑不严密，导致证明错误。 注意：写证明题一定要严谨，有理有据，不能造条件、条步骤。 例题2 证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 1．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2．下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 3．下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 4．请举出一个关于角相等的定理： ． 5．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 （请填写序号） 6．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 7．请用反证法证明：已知：，求证：． 8．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 9．在中，．求证：．（用反证法证明） 10．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 推理与证明 1.能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为性质使用，又可以提供判定依据。 2.对某件事情作出判断的语句叫作命题。命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题的一般叙述形式是“如果......,那么......”。 3.当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 4.满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。 5.人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。 6.一个量可以用它的等量来替换，即等量代换。 7.在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 8.我们学过的基本事实： (1)两点确定一条直线; (2) 两点之间线段最短; (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 9.基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。 10.我们把推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 11.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。 12.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。 13.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 14.为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画作虚线。 15.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 16.直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 17.先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。 18.用反证法证明命题的步骤: ①否定结论-假设命题的结论不成立; ②推出矛盾--从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; ③肯定结论-由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 19.平行线的性质定理： 性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 20.平行线的判定定理： 判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行。 易错点1 混淆定义、命题、定理和证明的概念 错误：混淆定义、命题、定理和证明的概念，不清楚它们之间的区别而导致错误。 注意：熟练掌握定义、命题、定理和证明的概念，把他们放在一起进行比较总结。 例题1 下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【解析】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 易错点2 步骤不完整或逻辑不严密 错误：在使用反证法时，步骤不完整或逻辑不严密，导致证明错误。 注意：写证明题一定要严谨，有理有据，不能造条件、条步骤。 例题2 证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【解析】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 1．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 3．下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【解析】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 4．请举出一个关于角相等的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 5．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【解析】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 其中是真命题的有①④； 故答案为：①④． 6．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 【答案】见解析 【解析】证明：假设或， 则且或且或且． 当且时，， ， 这与矛盾． 同理可得当且或且时，， 这与矛盾， 假设不成立，因此且． 7．请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【解析】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 8．用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【解析】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 9．在中，．求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析 【解析】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 10．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【解析】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$