专题01 推理与证明十类题型（专项训练）数学青岛版2024八年级上册

专题01 推理与证明（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是命题 1 题型二、写出命题的题设与结论 1 题型三、判断命题真假 2 题型四、写出一个命题的已知、求证及证明过程 2 题型五、两直线平行的判定 3 题型六、写出命题的逆命题 4 题型七、三角形内角和定理 5 题型八、三角形的外角的定义及性质 6 题型九、直角三角形的两个锐角互余 7 题型十、反证法证明中的假设 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是命题 1．下列属于命题的是（   ） A．请你把书递过来！ B．你早餐吃的什么？ C．连接两点 D．是一个负数 2．下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 3．下列语句中是定义的是（   ） A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B．四边相等的四边形是正方形 C．相等的两个角是对顶角 D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 4．下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 题型二、写出命题的题设与结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 7．将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 8．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 9．命题“若，则．”的结论是 ． 10．如果，那么，其条件和结论各是什么？ 题型三、判断命题真假 11．下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 12．下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 13．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 14．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 15．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 题型四、写出一个命题的已知、求证及证明过程 16．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 17．实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 18．如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件 ． 19．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 20．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 题型五、两直线平行的判定 21．如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 22．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 23．如图所示，下列推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 题型六、写出命题的逆命题 26．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 27．把“平方根等于它本身的数是0”这个命题互换条件和结论后得到一个新命题是 ，这个新命题是 命题．（填“真”或“假”） 28．把命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式为 29．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 30．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 题型七、三角形内角和定理 31．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 32．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 33．数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 34．在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．    35．写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 题型八、三角形的外角的定义及性质 36．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 37．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 38．已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求． 39．如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则 ． 40．如图所示，的外角等于，等于，则的度数是 ． 题型九、直角三角形的两个锐角互余 41．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为（   ）度． A． B． C． D． 43．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．在中，，则（　　） A． B． C． D． 45．如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 题型十、反证法证明中的假设 46．已知，，，求证：，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 47．用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 48．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 49．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 50．用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设 ． 1．（2025·湖北武汉·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．等角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角相等 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北沧州·二模）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（   ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“”表示对顶角相等 D．“”表示同角的余角相等 6．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 7．（2025·贵州·二模）命题“如果，，那么”的条件是 ． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，若，，，，则 ． 9．（2025·云南丽江·一模）如图，，，，则的度数为 ． 10．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 推理与证明（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是命题 1 题型二、写出命题的题设与结论 2 题型三、判断命题真假 3 题型四、写出一个命题的已知、求证及证明过程 5 题型五、两直线平行的判定 7 题型六、写出命题的逆命题 10 题型七、三角形内角和定理 11 题型八、三角形的外角的定义及性质 14 题型九、直角三角形的两个锐角互余 17 题型十、反证法证明中的假设 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是命题 1．下列属于命题的是（   ） A．请你把书递过来！ B．你早餐吃的什么？ C．连接两点 D．是一个负数 【答案】D 【解析】解：A、请你把书递过来！不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意； B、你早餐吃的什么？不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意； C、连接、两点，不是对事情事物的判断，故不是命题，不符合题意； D、是一个负数，是命题，则此项符合题意； 故选：D． 2．下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 【答案】A 【解析】解：A，有题设，有结论，是命题； B，有结论，没有题设，不是命题； C，有题设，没有结论，不是命题； D，疑问句，没有结论，不是命题； 故选A． 3．下列语句中是定义的是（   ） A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B．四边相等的四边形是正方形 C．相等的两个角是对顶角 D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 【答案】D 【解析】解：A．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故原说法不正确，不是定义； B．四边相等并且四个角也相等的四边形是正方形，故原说法不正确，不是定义； C．相等的两个角不一定是对顶角，故原说法不正确，不是定义；     D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式，正确，是定义； 故选D． 4．下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：命题是指判断一件事情的语句， ∴①④是命题，②③不是命题， 故选：B． 5．下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【解析】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意； B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意； C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A． 题型二、写出命题的题设与结论 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【解析】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 7．将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【解析】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 8．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【解析】解：由题意得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 9．命题“若，则．”的结论是 ． 【答案】 【解析】解：∵命题“若，则．” ∴该命题的结论是， 故答案为： 10．如果，那么，其条件和结论各是什么？ 【答案】条件是“”．结论是“”． 【解析】解：如果，那么，其条件是“”．结论是“”． 题型三、判断命题真假 11．下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意； B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意； C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意； D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意； 故选：B． 12．下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【解析】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 13．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【解析】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 14．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 【答案】乙 【解析】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 15．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【解析】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 题型四、写出一个命题的已知、求证及证明过程 16．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 【答案】见解析 【解析】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题是真命题． 已知：在中，， 求证：是直角三角形， 证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）． （等式的性质）． 已知， （等量代换）， 是直角三角形． 17．实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 18．如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：当时，可有； 也可以是或． 故答案为：（答案不唯一）． 19．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【解析】已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 20．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【解析】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 题型五、两直线平行的判定 21．如图，下列条件中能判断直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，不能判断，故选项A不符合题意； ∵，且当时，， ∴当时，，故选项B不符合题意； ∵，，不能判断，故选项C不符合题意； 与是直线和被第三条直线所截形成的同旁内角，且， 能判断，选项D正确． 故答案为：D． 22．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（   ） A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦 【答案】D 【解析】解：诗诗：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 麦麦：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 皓皓：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故选：D． 23．如图所示，下列推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】解：A、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意； C、∵， 无法判定，故本选项错误，符合题意； D、∵， ∴，故本选项正确，不符合题意． 故选：C 24．如图，下列条件中，能判断直线的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】解：①由，内错角相等，可得，符合题意； ②由，不能得到，不符合题意； ③由，同位角相等，可得，符合题意； ④由，不能得到，不符合题意； ⑤由，得，内错角相等，即可得到，符合题意； ⑥由，同旁内角互补，即可得到，符合题意； 综上，能判断直线的有4个． 故选：C． 25．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 题型六、写出命题的逆命题 26．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意． 故选：D． 27．把“平方根等于它本身的数是0”这个命题互换条件和结论后得到一个新命题是 ，这个新命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 0的平方根等于它本身 真 【解析】解：命题“平方根等于它本身的数是0” 互换条件和结论后得到的新命题是“0的平方根等于它本身”， 此新命题为真命题． 故答案为∶0的平方根等于它本身；真． 28．把命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式为 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【解析】解：∵ 原命题“内错角相等，两直线平行”的题设是“内错角相等”，结论是“两直线平行”， ∵ 逆命题是交换原命题的题设和结论，即题设为“两直线平行”，结论为“内错角相等”， ∴ 改写成“如果……，那么……”的形式为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 29．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【解析】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题． 故答案为：真． 30．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【解析】解：“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是：如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，是真命题． 故答案为：真． 题型七、三角形内角和定理 31．如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】解： ， ，故①成立； ，故②不一定成立； ，故③成立； 由①知， ，故④成立； 故选D． 32．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 33．数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【解析】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 34．在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．    【答案】证明见解析 【解析】解：已知：． 求证：． 证明：如图，延长到F，过点B作．      ∵， ∴，， ∵， ∴， 即． 35．写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 【答案】，证明过程见解析 【解析】解：求证：， 证明：过点A作， ∵， ∴，， ∵， ∴． 即知三角形三个内角的和等于． 题型八、三角形的外角的定义及性质 36．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：延长，交于点M，如图 ∴， ∴， ∴． 故选C． 37．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 【答案】减少 【解析】解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 38．已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 39．如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则 ． 【答案】/25度 【解析】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 40．如图所示，的外角等于，等于，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：如图， ∵是的外角， ∴， ∵，, ∴， 故答案为：． 题型九、直角三角形的两个锐角互余 41．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， ∵直线， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 42．一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为（   ）度． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ， ∴； 故选：B． 43．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵中，， ， 故选：B． 44．在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在中，， ∴， 故选：B． 45．如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十、反证法证明中的假设 46．已知，，，求证：，用反证法证明这个结论时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：结论的否定为： ∴用反证法证明这个结论时，应先假设， 故选：B． 47．用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设． 故选：B． 48．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 【答案】C 【解析】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时， 第一步应先假设三角形的三个内角都小于， 故选：C． 49．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（ ） A．有一个锐角小于 B．每一个锐角都小于 C．有一个锐角大于 D．每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 50．用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：应先假设． 故答案为：． 1．（2025·湖北武汉·三模）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．等角的补角相等 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】C 【解析】解：、两直线平行，同位角相等，该选项命题是假命题，不合题意； 、两个锐角的和可能是锐角或直角或钝角，该选项命题是假命题，不合题意； 、等角的补角相等，该选项命题是真命题，符合题意； 、两直线平行，同旁内角互补，该选项命题是假命题，不合题意； 故选：． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴，正确，A为真命题，故不符合要求； ∵， ∴，， ∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求； ∵，且，， ∴，整理得，，解得或，错误，C为假命题，故符合要求； ∵，且， ∴，整理得，， ∵， ∴，正确，D为真命题，故不符合要求； 故选：C． 4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：， ， 在中，是的一个外角，则， ∵， ， 故选：C． 5．（2025·河北沧州·二模）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（   ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“”表示对顶角相等 D．“”表示同角的余角相等 【答案】A 【解析】解：由题意得，“”表示邻补角的定义，“”表示同角的补角相等， 故选：A． 6．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 【答案】/100度 【解析】解： 故答案为： 7．（2025·贵州·二模）命题“如果，，那么”的条件是 ． 【答案】， 【解析】解：命题“如果，，那么”的条件是，， 故答案为：，． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，若，，，，则 ． 【答案】/40度 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（2025·云南丽江·一模）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/53度 【解析】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【解析】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$