第1章 推理与证明（复习讲义）数学青岛版2024八年级上册

第1章 推理与证明（复习讲义） 1．理解定义、命题、定理和证明的基本概念，能够区分它们之间的不同。 ①理解定义、命题、定理和证明的基本概念；②准确区分定义、命题、定理和证明的不同。 2．掌握反证法的步骤和应用，能够运用反证法进行数学证明。 ①掌握反证法的概念；②掌握反证法的证明步骤；③能够运用反证法进行数学证明。 3．学习并应用直角三角形、平行线的相应定理，并且运用这些定理解决问题。 ①学习并应用直角三角形的判定定理；②能够识别和证明直角三角形；③理解平行线的性质定理和判定定理；④能够运用这些定理解决几何问题。 知识点01 定义与命题 1）定义：能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。 2）定义的作用：定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为性质使用，又可以提供判定依据。 3）命题：对某件事情作出判断的语句叫作命题。 4）命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 5）命题的一般叙述形式是“如果......,那么......”。 6）真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。 7）假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 8）反例：满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。 知识点02 证明 1）基本事实：人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。 2）等量代换：一个量可以用它的等量来替换，即等量代换。 3）在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 4）我们学过的基本事实： (1)两点确定一条直线; (2) 两点之间线段最短; (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5）证明：基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。 6）定理：我们把推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 知识点03 几何证明 1） 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。 2） 逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。 3）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。 4）三角形内角和定理推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 5）辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画作虚线。 6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 7）直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 8）反证法：先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。 9）用反证法证明命题的步骤: ①否定结论-假设命题的结论不成立; ②推出矛盾--从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; ③肯定结论-由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 10）平行线的性质定理： 性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 11）平行线的判定定理： 判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行。 题型一 定义与命题 【例1】下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【解析】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 【变式1-1】把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【解析】解：命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等． 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 【变式1-2】3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 【答案】B 【解析】解：A、所有的直角都是相等的，是真命题； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，是真命题； D、若，则，是真命题； 故选：B． 【变式1-3】4．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【解析】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 题型二 定理与证明 【例2】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【解析】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【解析】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 【变式2-2】“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【解析】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 【变式2-3】数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【解析】解：《几何原本》的作者是：欧几里得， 故选：B． 题型三 平行线的判定 【例3】如图，下列条件中，能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图， A、，， ∴，不能判定，故不符合题意； B、，， ∴，不能判定，故不符合题意； C、，不能判定，故不符合题意； D、∵，， ∴ ∴，故符合题意； 故选：D． 【变式3-1】如图，下列能判定的条件的个数（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：（1）不能判定； （2）， ， 不能判定； （3）， ； （4）， ． 综上，能判定的条件是（3）、（4），共个． 故选：B． 【变式3-2】如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中能够得到的条件有 （填序号）． 【答案】②④ 【解析】解∶ ①∵，∴，故本项错误； ②∵，∴，故本项正确； ③根据无法证明两直线平行， 故本项错误； ④∵，∴，故本项正确； 故能够得到的条件有②④， 故答案为∶ ②④． 【变式3-3】判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 【答案】D 【解析】解：A、根据，可以判定；满足题意； B、根据，可以判定，满足题意； C、根据，可以判定，满足题意； D、根据，可以判定，不满足题意； 故选：D 题型四 逆命题 【例4】下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【解析】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 【变式4-1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 【变式4-2】把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形 【解析】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 【变式4-3】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【解析】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 题型五 三角形的外角的定义及性质 【例5】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由三角形的外角的性质得，， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式5-1】如图，一副三角板两直角底边相互重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 【变式5-2】如图，下列各角是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵图中只有是由过线段的延长线与组成的角，符合三角形外角的定义， ∴是的外角. 故选： D． 【变式5-3】如图，已知，，求的度数． 【答案】 【解析】解：由题意得 ， ． 题型六 直角三角形的两个锐角互余 【例6】在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【解析】解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 【变式6-1】如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ， ， ∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确． 故选：C． 【变式6-2】在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】在中，，，则 ． 【答案】15 【解析】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：15． 题型七 反证法证明中的假设 【例7】“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设． 故选： ． 【变式7-1】用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【解析】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 【变式7-2】用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 【变式7-3】“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设 ． 【答案】两条直线平行 【解析】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列定理中，逆命题错误的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【解析】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 2．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 【答案】B 【解析】解：用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中，三个内角都小于60度， 故选：B． 3．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不能判定，符合题意； B、由，根据内错角相等两直线平行可以判定，不符合题意； C、由，根据同位角相等两直线平行可以判定，不符合题意； D、由，根据同旁内角互补两直线平行可以判定，不符合题意； 故选：A． 4．下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【解析】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 5．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角， 故②正确 ③∵， ∴， ∴， 故③正确 ④∵， ∴， ∴， 故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 故选：D． 二、填空题 6．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 7．“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短 【解析】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短． 所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短． 8．如图，直线a、b被直线c所截，请你填写一个适当的条件： ，使得． 【答案】（或或或） 【解析】解：若，则， 若，则， 若，则， 若，则， 故答案为：（或或或）． 9．将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 【答案】 【解析】如图， ∵， ∵， ， 故答案为：． 10．定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【解析】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 三、解答题 11．下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 【答案】(1)不是，是作图语言，没有判断 (2)不是，是问句 (3)是，能作出判断 (4)不是，是问句 【解析】（1）解：“连接A，B两点”是作图语言，没有判断，不是命题； （2）解：“这本书是你的吗？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； （3）解：“邻补角不相等”是陈述语句，进行了判断，符合命题概念，是命题； （4）解：“小亮今天是不是生病了？”不是陈述语句，没有进行判断，不是命题； 12．用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 13．已知：AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=30°，∠D=60°，请问AB于与CD有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见详解 【解析】解：，理由如下： ∵DE⊥AE， ∴∠CED=90°， ∵∠D=60°， ∴∠ECD=30°， ∵∠A=30°， ∴∠ECD=∠A， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 14．如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【解析】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 且， 是的平分线， ， ． 15．如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【解析】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 2．如图，点在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（   ） 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， ∴，故选项A能判定； ， ∴，故选项B不能判定； ， ∴，故选项C能判定； ，即， ∴，故选项D能判定． 故选：B． 3．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； ③如果直线，直线，那么，真命题； ④同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 4．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【解析】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 5．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】C 【解析】解：、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意； 、每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意； 、每个命题都有逆命题，此选项说法正确，符合题意； 、假命题的逆命题不一定是假命题，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等 【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等， 结论是：那么这两个三角形的对应边相等， ∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等． 故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等． 7．如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：（答案不唯一）． 8．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【解析】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 9．已知，在中，，是边上的高，若，则 ． 【答案】或 【解析】解：分为两种情况：①如图， 为边上的高， ， ， ∴， ∵， ； ②如图， 同理可得：， ∵， ． 故答案为：或． 10．如图所示的是螳螂的简易示意图，，则的度数为 ． 【答案】/73度 【解析】解：延长交于点G，交于点F， ，， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 三、解答题 11．把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 【答案】(1)如果，那么和互余；题设是，结论是和互余 (2)如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角 (3)如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等 【解析】（1）解：如果，那么和互余；题设是，结论是和互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． （3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等． 12．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 【答案】；；；； 【解析】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设． 根据三角形内角和定理，，变形得． 由于是的外角，与组成平角，故，因此． 由上述两步可知，这与假设矛盾． 因此假设不成立，原命题成立． 13．如图． (1)由，可以得到哪两条直线平行？ (2)由，可以得到哪两条直线平行？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵， （内错角相等，两直线平行）． （2）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 14．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则与相等吗？为什么？ 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)相等，理由见解析 【解析】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）相等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【解析】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 推理与证明（复习讲义） 1．理解定义、命题、定理和证明的基本概念，能够区分它们之间的不同。 ①理解定义、命题、定理和证明的基本概念；②准确区分定义、命题、定理和证明的不同。 2．掌握反证法的步骤和应用，能够运用反证法进行数学证明。 ①掌握反证法的概念；②掌握反证法的证明步骤；③能够运用反证法进行数学证明。 3．学习并应用直角三角形、平行线的相应定理，并且运用这些定理解决问题。 ①学习并应用直角三角形的判定定理；②能够识别和证明直角三角形；③理解平行线的性质定理和判定定理；④能够运用这些定理解决几何问题。 知识点01 定义与命题 1）定义：能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。 2）定义的作用：定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为性质使用，又可以提供判定依据。 3）命题：对某件事情作出判断的语句叫作命题。 4）命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 5）命题的一般叙述形式是“如果......,那么......”。 6）真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。 7）假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 8）反例：满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。 知识点02 证明 1）基本事实：人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。 2）等量代换：一个量可以用它的等量来替换，即等量代换。 3）在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 4）我们学过的基本事实： (1)两点确定一条直线; (2) 两点之间线段最短; (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5）证明：基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。 6）定理：我们把推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 知识点03 几何证明 1） 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。 2） 逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。 3）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。 4）三角形内角和定理推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 5）辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画作虚线。 6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。 7）直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 8）反证法：先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。 9）用反证法证明命题的步骤: ①否定结论-假设命题的结论不成立; ②推出矛盾--从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; ③肯定结论-由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 10）平行线的性质定理： 性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 11）平行线的判定定理： 判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行。 题型一 定义与命题 【例1】下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【变式1-1】把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式1-2】3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 【变式1-3】4．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 题型二 定理与证明 【例2】下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【变式2-1】下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【变式2-2】“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【变式2-3】数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 题型三 平行线的判定 【例3】如图，下列条件中，能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，下列能判定的条件的个数（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】如图，给出下列条件：①，②，③，④，其中能够得到的条件有 （填序号）． 【变式3-3】判断两条直线平行有多种方法，老师在黑板上画出了下面的图形，让同学们添加一个条件，使，下面是甲、乙、丙、丁四个学生的方法，错误的是（   ） A．甲同学： B．乙同学： C．丙同学： D．丁同学： 题型四 逆命题 【例4】下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【变式4-1】命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 【变式4-3】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 题型五 三角形的外角的定义及性质 【例5】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，一副三角板两直角底边相互重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，下列各角是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知，，求的度数． 题型六 直角三角形的两个锐角互余 【例6】在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【变式6-1】如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】在中，，，则的度数为 ． 【变式6-3】在中，，，则 ． 题型七 反证法证明中的假设 【例7】“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 【变式7-2】用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列定理中，逆命题错误的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 3．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 5．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 7．“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 8．如图，直线a、b被直线c所截，请你填写一个适当的条件： ，使得． 9．将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 10．定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 三、解答题 11．下列句子是不是命题？为什么？ (1)连接A，B两点； (2)这本书是你的吗？ (3)邻补角不相等； (4)小亮今天是不是生病了？ 12．用反证法证明：已知中，，求证：． 13．已知：AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=30°，∠D=60°，请问AB于与CD有怎样的位置关系，并说明理由． 14．如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 15．如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 2．如图，点在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（   ） 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ A． B． C． D． 3．下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 5．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 二、填空题 6．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 7．如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 8．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 9．已知，在中，，是边上的高，若，则 ． 10．如图所示的是螳螂的简易示意图，，则的度数为 ． 三、解答题 11．把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 12．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 13．如图． (1)由，可以得到哪两条直线平行？ (2)由，可以得到哪两条直线平行？ 14．如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则与相等吗？为什么？ 15．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$