精品解析：山东省潍坊市临朐县实验中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

高三月考试卷 数学 第I卷 一、单选题 1. 设集合，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（ ） A. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 10. 已知函数的图象关于直线对称，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线只有一个公共点 11. 设过原点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，是双曲线的焦点，若的面积大于，则双曲线的离心率的取值可以是（ ） A. B. C. D. 3 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有_____ 13. 已知，则的值为____________． 14. 如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． （1）求面积的最大值； （2）求与面积之比的最大值． 19. 继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜， 本场比赛结束． （1）若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试自行绘制列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响; （2）设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件： “两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：; ②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于 局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 附：，其中 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三月考试卷 数学 第I卷 一、单选题 1. 设集合，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求函数的值域和函数的定义域，即得集合，从而可确定选项. 【详解】由，，可得，则，故， 又由有意义，可得，即得，故， 则显然有. 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线的方程求解焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线的焦点在轴上，且， 所以，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 3. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部是. 故选：B 4. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数排除AB；再求出函数值域即可判断. 【详解】对于A，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数值域为R，，是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是奇函数， 当时，，求导得，当时，； 当时，，函数在上递增，在上递减，， 而当时，，即函数的值域不是R，C不是； 对于D，函数的定义域为，，是奇函数； 当时，都递减，则函数在上单调递减， 函数在上值域为，在上值域为，因此函数在上的值域是R， 同理函数在上的值域是R，D是. 故选：D 5. 为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（ ） A. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】因为 ， 所以将曲线的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， 再将向右平移个单位长度得到. 故选：C 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于9的情况，即可得到结果. 【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为， 10种情况， 若这三个数之积为偶数有 ，9种情况， 它们之和不小于9共有 ，5种情况， 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数， 若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为． 故选:D． 7. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，内切球的半径为， 因为上下底面面积之比为1：9，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， 所以，得，所以，， 所以，得， 所以该球的表面积为， 故选：A 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数恰有3个零点，等价于方程有三个不等的实数根.分别作出函数和的图象，结合图象即可求解. 【详解】由题意得，方程有三个不等的实数根. 而， 分别作出函数和的图象， 当时， 当时，，对其求导得，所以， 所以曲线在点的切线方程为， 如图，直线与曲线在点相切. 所以的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的样本方差为9，则数据的方差为16 B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C. 已知随机变量 ，若 ，则 D. 运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用方差的性质计算判断A；利用平均数、中位数的意义判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用二项分布的概率最大求解判断D. 【详解】对于A，设样本数据为，则，解得， 数据的方差为，A正确； 对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数，B错误； 对于C，随机变量，由，得，C正确； 对于D，依题意，运动员击中次数，击中次的概率为， 由，解得，因此最有可能击中的次数是8，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的图象关于直线对称，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线只有一个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象关于直线对称得到，从而，由得A选项正确；计算得B选项错误；根据的单调递增区间得到的取值范围，从而C正确；由曲线的切线方程的求法得到直线是的图象的一条切线，再根据图象得到只有一个公共点，从而D正确. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，所以， 验证：当时，取最大值，故的图象关于直线对称，满足题意； ，由，则是奇函数，故A正确； 由，故B错误； ，由，解得， 当时，，由在上单调递增，则，解得，故C正确； 的图象与直线均过点， 由，则， 故直线即与曲线相切， 如图可知的图象与直线有且仅有一个公共点，故D正确. 故选：ACD. 11. 设过原点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，是双曲线的焦点，若的面积大于，则双曲线的离心率的取值可以是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线AB方程与双曲线方程联立，可得交点坐标，据此可表示出的面积，然后结合题意可得答案. 【详解】不妨设是双曲线的右焦点， 如图，由题可知，直线的方程为， 由，得，且， 所以， 因为， 且，所以， 所以， 解得，又因为，则. 解得，所以. 又，，则BC选项满足题意. 故选：BC 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有 2 位女生和 3 位男生站成一排照相，要求女生甲排在两端且 3 位男生中有且只有 2 位相邻，则不同的站法有_____ 【答案】24 【解析】 【分析】根据甲在第一位以及第五位，即可分类求解. 【详解】若甲在第一位，则两个相邻的男生必须站在23位或者45位，此时有, 同理可得甲在第五位，， 因此共有种方法， 故答案位： 13. 已知，则的值为____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以，可得 ， 即， 所以，即， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为，由割线定理可得，连结，与平面相交于点，可得平面，在中，，利用，可求得. 【详解】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为， 根据割线定理知（或根据三角形相似）， 则. 连结，与平面相交于点， 因为，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，又，所以为正的重心， 由，所以， 解得，所以， 由平面，所以. 在中，， 在中，，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：由题意知， 所以， 即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义，即可证明； （2）首先根据（1）的结果求等比数列的通项公式，再求，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 . 16. 已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取三等分点，则，且，故且， 又，，即且， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，故平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取三等分点，由等比例性质可得且，根据已知条件有且，再由平行四边形性质有，最后由线面平行的判定即可证结论. （2）法一：由题设易得平面，则为所求二面角的平面角，进而由已知条件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由平面即平面，且，平面， 所以平面，则为所求二面角的平面角， 在等腰△中，，则， 又，，由，即， 所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为. 法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，若，可得， ，若，可得， 所以，即二面角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数有两个极值点可得方程的有两个不等正根，则有，求得，，将问题转化为可化为对恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可 【小问1详解】 的定义域为， 由，求导得， 令，得，解得，， 所以当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 的定义域为，求导得， 有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根， 所以，所以，， 此时不等式恒成立，等价于对恒成立， 可化为对恒成立， 令，则， 令，得，得或（舍去）， 所以当时，，当时，， 故 所以在恒成立，所以在上单调递减， 所以，所以. 故实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是由有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，从而可求得，，所以将恒成立，进一步转化为对恒成立，然后通过构造函数，利用导数求出函数的最小值即可，考查了数学转化思想和计算能力，属于较难题 18. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． （1）求面积的最大值； （2）求与面积之比的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设定直线的方程，并与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求的长和点到直线的距离，进而表达的面积，求最大值即可； （2）分别设直线和的方程，并分别与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求出两点的纵坐标，表达与面积之比，求最大值即可. 【小问1详解】 设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 所以，， 则， 点到直线的距离为：， 所以， 令， 则，当即时面积取得最大值， 所以面积的最大值为. 【小问2详解】 设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 即 所以，即， 同理可得：， 所以 化简得：， 当时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值. 19. 继 2023 年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024 年国际奥委会宣布首届奥林匹克电子竞技运动会将于 2025 年在沙特阿拉伯王国举办．这意味着电子竞技作为虚拟体育正式成为奥运会项目的一部分．为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻， 甲、乙两俱乐部计划按照现今体育比赛中的赛制举办友谊赛．在体育比赛中有两种常见赛制：一种是局胜制，例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结束; 另一种是局胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一方获胜， 本场比赛结束． （1）若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.9．已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了场比赛，试自行绘制列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响; （2）设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为，且每局比赛都能决出胜负，没有平同： ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件： “甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事件： “两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：; ②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行局，赢得局数大于 局的俱乐部获胜．若甲俱乐部每局比赛获胜的概率，试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理由． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 附：，其中 ． 【答案】（1）依题意列联表如下： 5局3胜 7局4胜 合计 甲胜 乙胜 合计 ，依据小概率值的独立性检验，当时，，赛制对甲胜场数有影响； 当时，，赛制对甲胜场数没有影响. （2）①证明：， ， 所以. ②进行4局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，理由如下： 设甲赢得比赛的概率为，设“进行局比赛甲最终获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， 则有， 而发生及发生意味着前2局比赛甲恰好赢一局，则甲在局比赛最终获胜当且仅当 甲在后续的局比赛中赢的局数要大于，因此， 在发生的条件下，甲已经赢了前2局， 则甲最终获胜当且仅当甲在后续的局比赛中赢的局数要大于或等于， 则； 在发生的条件下，甲输掉前2局，则甲最终获胜当且仅当甲在后续的局 比赛中赢的局数要大于，而这个事件可视为“甲在后续的局比赛中赢的局数大于” 与事件“甲在后续的局比赛中恰好赢局”的差事件， 故， 因此 令，得，则当时，， 所以当，即时，最大 所以进行4局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出列联表，求出的观测值并与比较求解. （2）①利用互斥事件的概率公式及独立重复试验的概率公式列式化简得证；②利用条件概率及全概率公式求出与的关系，再建立不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $