云南省昭通市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学 ZT 参考答案·第 1 页（共 8 页） 昭通市第一中学 2025 年秋季学期高二年级开学考试 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 58 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C B A C B 【解析】 1．由题意，直线 l 的斜率为 3 3  ，结合斜率与倾斜角的关系，得直线 l 的倾斜角为 5π 6 ， 故选 D． 2．在3 2 1 0x y   中令 0x  ，得 1 2 y  ，故选 A． 3．由抛物线 2 12y x ，则 2 12p  ，可得 6p  ，所以抛物线 2 12y x 的焦点到准线的距离 6， 故选 D． 4．向量 a b c    ，， 是不共面的三个向量，对于 A，3 2( ) ( 2 )a a b a b         ，则向量3 2a a b a b       ， ， 共面，A 不能构成空间基底；对于 B，2 ( 2 ) ( 2 )b b a b a         ，则向量 2 2 2b b a b a       ， ， 共 面，B 不能构成空间基底；对于 D，2 ( ) ( )c a c a c         ，则向量 c a c a c       ， ， 共面，D 不 能构成空间基底；对于 C，假定向量 2a b b c     ， ， 共面，则存在不全为 0 的实数 1 2 ， ，使 得 1 22 ( )a b b c        ，整理得 1 2 2(2 ) 0a b c          ，而向量 a b c    ，， 不共面，则有 1 2 2 1 0 2 0 0          ，显然不成立，所以向量 2a b b c     ， ， 不共面，能构成空间的一个基底，C 能 构成空间基底，故选 C． 5．对于 A，方程 2 2 0x y  表示点 (0 0)， ，A 不是；对于 B，方程 2 2 2 4 6 0x y x y     化 高二数学 ZT 参考答案·第 2 页（共 8 页） 为 2 2( 1) ( 2) 11x y    ，此方程表示圆，B 是；对于 C，当 0a b  时，方程 2 2 0x y  表 示点 (0 0)， ，C 不是；对于 D，方程 2 22 9 0x xy y    化为 3x y   表示两条平行直线， D 不是，故选 B． 6．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90BAC  ，以 A 为原点， 1AC AB AA    ， ， 的方向分别为 x轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立如图 1 所示的空间直角 坐标系，则 1 1 1(0 0 0) 1 0 0 1 0 0 2 2 2 A E G F                 ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，设 ( 0 0)(0 1)D x x ，， ，则 1 1 11 1 2 2 2 GD x EF                  ， ， ， ， ， ．由于 GD EF ，所以 1 1 0 4 2 GD EF x        ，解得 1 4 x  ，所以线段 AD 的长度为 1 4 ，故选 A． 7．如图 2，设 ( )B m n ， 为点 B 关于直线 l 的对称点，则 BB的中点 为 2 15 2 2 m n       ， ， 由 轴 对 称 的 性 质 ， 可 得 2 153 4 4 0 2 2 15 3 1 2 4 m n n m               ，解得 14 1 m n     ，即 (14 1)B ， ．直 线 AB的方程为 5 3 1 5 14 3 y x      ，即 6 67 17 17 y x   ，由 6 67 17 17 3 4 4 0 y x x y          ，解得 8 3 3 x y      ，即直 线 AB与 l 交于点 8 3 3 Q     ， ，| | | | | | | | | |PA PB PA PB AB    ≥ ，当点 A P B， ， 三点共线时， 即直线 l 上的点 P 与 8 3 3 Q     ， 重合时， | | | |PA PB 达到最小值，故满足条件的 P 点坐标为 8 3 3       ， ，故选 C． 8．由椭圆的定义得 1 2| | | | 2PF PF a  ，又 1 2 3| | | | 2 PF PF ，故 1 6| | 5 aPF  ， 2 4| | 5 aPF  ，由 1 2 2| | | | 2 5 aPF PF c  ≤ ，得 1 5 ce a  ≥ ，故选 B． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 图 1 图 2 高二数学 ZT 参考答案·第 3 页（共 8 页） 【解析】 9．由 2 24 64 0x y   有 2 2 1 16 64 x y   ，所以双曲线的焦点在 x轴上，故 A 错误；由 8b  ，所以 虚轴长为 2 16b  ，故 B 正确；由 2 2 1 16 64 x y   得 2y x  ，故 C 正确；由 2 216 64a b ， ， 所以 2 2 2 80c a b   ，即 4 4 5a c ， ，所以 5 ce a   ，故 D 错误，故选 BC． 10 ． A ．直线 0x y a   与直线 3 3 0x ay   平行，则 1 ( ) 3 0a    ，解得 3a   ，直线 3 3 3 0x y   ，即 1 0x y   ， 3 0x y   与 1 0x y   的 距 离 为 | 3 1| 2 1 1    ，选项 A 正确；B．由两直线互相垂直得， 2 1 ( 1) ( ) 0a a      ，解得 1a   或 0a  ，可知“ 1a   ”两直线垂直的充分不必要条 件，选项 B 错误；C．将直线方程变形为 ( 2) 1 0m x y    ，由 2 0 1 0 x y      得 2 1 x y    ，直 线 1 2 0mx y m    过定点 (2 1)Q ， ，斜率为m ，当直线 1 2 0mx y m    与 PQ垂直时， 点 (3 2)P ， 到直线 1 2 0mx y m    的距离最大，因为 2 1 1 3 2 1PQ PQk k m      ， ，所以 1 1 PQ m k     ，选项 C 正确；D．如图 3， 3 0 2 0 13 2 1 3 1 2PA PB k k           ， ，由图可知， 当 1 2 k≥ 或 3k ≤ 时，直线 l 与线段 AB 有交点，故选项 D 正确，故选 ACD． 11 ． 对 于 A ， 1 | || | sin 2ABO S OA OB AOB    △ ， 而 | | | || | sinOA OB OA OB AOB       ， 故 1 | | 2ABO S OA OB    △ ，正确；对于 B， | || | cosOA OB OA OB AOB       ，当 π0 2 AOB       ， 时， tan AOB 有意义，则 | tan | | || | sin | |OA OB AOB OA OB AOB OA OB            ，正确；对 于 C，因为 | | | | 2OA OB    ， 2OA OB     ，所以 1cos 2 AOB  ， 3sin 2 AOB  ，所以 | | 2 3OA OB    ，错误；对于 D，OA OB   的模长即为平行六面体底面 OACB 的面积，且 方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， | ( ) |OO OA OB      就是OO  在垂直于底面 OACB 的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六 面体的体积，正确，故选 ABD． 图 3 高二数学 ZT 参考答案·第 4 页（共 8 页） 第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 题号 12 13 14 答案 1 3 47 4 【解析】 12．因为 1 1 (1 0 1)A C    ，， ，所以点 1C 到平面 1A DE 的距离 1 1| | 1 3| | AC nd n       ． 13．由条件知 0CA AB     ， 0AB BD     ，CD CA AB BD       ，又二面角 l   的平面角为 π 3 ，则 π 3 BD AC     ， ，所以 2 2 2 2| | | | | | | | 2 2 2CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD                   2 2 2 π6 4 5 2 6 5cos π 47 3             ，所以 | | 47CD  ． 14．直线 1 ( 1) 2 2 0l x m y m    ： 化为 2 ( 2) 0x y m y     ，当 2 0 2 0 y x y       ，得 0 2 x y    ， 即 直 线 1l 恒 过 点 (0 2)， ， 即 点 (0 2)A ， ， 直 线 2 ( 1) 2 2 0l m x y m    ： 化 为 2 ( 2) 0x y m x     ，当 2 0 2 0 x y x       ，得 2 0 x y    ，即直线 2l 恒过点 (2 0)， ，即点 (2 0)B ， ， 且 两 条 直 线 满 足 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0m m       ， 1 2l l∴ ， 即 PA PB ， 2 2 2 2 2| | | | | | 2 2 8PA PB AB    ∴ ， 2 2|| | | | ) 4| |2( |PA PBPA PB ≤∴ ，当且仅当 | | | |PA PB 时，等号成立， | | | |PA PB∴ 的最大值为 4． 四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 13 分） 解：（1）设 ( )C m n， ， ∵AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 5 0x y   ， AC 边上的高 BH 所在直线方程为 2 5 0x y   ， ∴ 2 5 0 1 1 1 5 2 m n n m          ，解得 4 3 m n    ， ∴ (4 3)C ， ． 高二数学 ZT 参考答案·第 5 页（共 8 页） （2）设 ( )B a b， ，则 2 5 0 5 12 5 0 2 2 a b a b            ， 解得 1 3 a b      ， ∴ ( )1 3B  ， ， ∴ 3 3 6 4 1 5BC k    ， ∴直线 BC 的方程为 63 ( 4) 5 y x   ，即为 6 5 9 0x y   ． 16．（本小题满分 15 分） 解：（1） 1 1BD B BB a bBA cC            ， 2 2 1 1( ) 4 4 9 0 2 2 3 2 29 2 B cD a b                ， 1| | 29BD   ． （2） 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 EF ED D D DF BA BB BC b c a                   ； C BAAC B a b       ， ) 1 1( 2 2 AC EF ca ab b                2 21 1 4 2 2 a b a c b c a b                ． 又 | | 11EF   ， 2| 2|AC   ， 4 22cos 11| || | 11 2 2 EF ACEF AC EF AC             ， ， 故 AC 与 EF 夹角的余弦值为 22 11 ． 17．（本小题满分 15 分） 解：（1）因为点 A，B 到直线 1l 的距离相等，所以直线 1l 与 AB 平行或通过 AB 的中点， ①当直线 1l 与 AB 平行， 因为 1 3 2 1 2 1AB l k k    ，且 1l 过点 C， 所以 1l 方程为 4 4y x   ，即 8 0x y   ； 高二数学 ZT 参考答案·第 6 页（共 8 页） ②当直线 1l 通过 AB 的中点 3 5 2 2 D     ， ， 所以 54 132 3 54 2 CDk       ， 所以 1l 的方程为 134 ( 4) 5 y x    ，即13 5 32 0x y   ． 综上：直线 1l 的方程为 8 0x y   或13 5 32 0x y   ． （2）由题意设 ( 0)P a， ， (0 )Q b， ，其中 a，b 为正数，可设直线 2l 的方程为 1 x y a b   ， 因为直线 2l 过点 (2 3)A ， ，所以 2 3 1 a b   ， 由基本不等式可得 2 3 2 3 2 61 2 a b a b ab   ≥ ， 所以 2 6ab≥ ， 24ab≥ ， 当且仅当 2 3 2 3 1 a b a b        即 4 6 a b    时， ab取得最小值 24， 所以 OPQ△ 面积 1 12 2 S ab ≥ ， 所以当 4a  ， 6b  时， OPQ△ 面积最小， 此时直线 2l 的方程为 4 6 1x y  ，即3 2 12 0x y   ． 18．（本小题满分 17 分） （1）证明：如图 4，因为 BO AD ，因为 BC AD∥ ， 90ADC BCD    ， 所以四边形 BODC 为矩形， 在 PDO△ 中， 2PD  ， 1DO BC  ， 60PDA  ， 则 2 2 2 cos60 3PO PD OD PD OD     ， 2 2 2PO DO PD ∴ ， PO AD∴ ， 且平面 PAD 平面 ABCD， PO 平面 PAD ， 平面 PAD 平面 ABCD AD ， PO ∴ 平面 ABCD． 图 4 高二数学 ZT 参考答案·第 7 页（共 8 页） （2）解：如图 5，以O为原点，OA为 x轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 3PO ∵ ， 30PAD  ，可得 3AO  ， 则 (0 0 0)O ，， ， (3 0 0)A ，， ， (0 0 3)P ，， ， (0 3 0)B ， ， ， ( 1 3 0)C  ， ， ， 设平面 APB 的法向量为 ( )m x y z  ， ， ， (3 0 3)PA    ，， ， (0 3 3)PB    ， ， ， 由 3 3 0 3 3 0 PA xm zm z PB y                ，取 (1 3 3)m   ， ， ． 设平面CPB 的法向量为 ( )n a b c  ，， ， ( 1 3 3)PC     ， ， ， 由 3 3 0 3 3 0 n PB b c n PC a b c                 ，取 (0 1 1)n   ，， ， 2 3 42cos 7| || | 7 2 m nm n m n           ， ． ∵二面角 A PB C  是钝角， ∴二面角 A PB C  的正弦值为 7 7 ． （3）解：设 AM AP   ， 则 (3 3 0) ( 3 0 3) (3 3 3 3 )BM BA AM               ， ， ，， ， ， ， 又平面 PAD 的法向量为 (0 3 0)OB   ， ， ， 直线 BM 与平面 PAD 所成的角的正弦值为 2 2 3| cos | 3 (3 3 ) 3 3 OB BM            ， 2 7 ，解得 3 4   ， 2 21 1 3 4 4 2 PM AP PO OA   ∴ ． 19．（本小题满分 17 分） 解：（1）若直线 l 的斜率不存在，则 2x   ，圆心 (0 0)C ， 到直线 2x   的距离为半径， 故直线 2x   为圆的切线； 若直线 l 的斜率存在，设切线方程为 ( 2) 1 1 2y k x kx k      ， 图 5 高二数学 ZT 参考答案·第 8 页（共 8 页） 则 2 |1 2 | 2 1 k k    ，故 3 4 k  ，此时切线方程为3 4 10 0x y   ， 综上，切线 l 的方程为3 4 10 0x y   或 2x   ． （2）设点 0 0( ) ( )M x y P x y， ， ， ，则 0( 0)D x ， ，由点M 是 PD的中点得， 0 0 2 x x yy     ， 所以 0 0 2 x x y y    ①，因为 P 在圆C 上运动，所以 2 20 0 4C x y ： ②， ①代入②得 2 2(2 ) 4yx   ，化简得点M 的轨迹方程是 2 2 1 4 x y  ． （3）由题知，直线 ST 的方程为 1 ( 3) 2 y x  ，设 21 1 2( ) ( )S x y T x y，， ， ， 联立 2 2 1 4 ( 31 ) 2 x y y x        ，得 22 2 3 1 0x x   ， 从而 1 2 1 2 13 2 x x x x    ， ， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 5| | | | ( ) 4 2 2 2 y y x x x x x x       ， 1 2 1 1 5 15| | | | 2 3 . 2 2 2 2FST S EF y y      △ 通市第一中学225年秋季学期高三年撒开学考试 爱学 本统4分第161残棒通引和系”车《非线海想)两年分。第【春第1面至署手百 第【卷第多州至某台百.有边出来业，蜂钟本以惠和若通中一千空国群分1地分，年值 同时109钟 第1卷温年划。具级分 注适事清： 1,名题贯，量生景动明关巴成士昆得自乙的州名：难骨江平，专局号，是挂平成零 厘卡上4易浸域 土每小鞋串由多营后，明指错笔忙琴期卡上吨良理唯时多重帮子缘足如考成地， 同肆宣榨千净后。再连冷其地爹富标平，在就超系上年零无姓 一：角确选辉■（车大连其满和题、邮个小划5灯，夹刀冷，在年小型所给的四个连项中 只有一期结特介塑日要速的》 1已担直线的-个友肉向量为7-3,5，到白线的频新角为 君 2屋3+一0盒y植上的属W A号 C.-1 美由有找，■仿浅点州清线的：离是 A.3 B17 9 06 4已短古。，是不共图的三个角量，附笔传或空间的一个系能的一组付量显 A.3城，-不，+2国 B,第，-2正，5+2行 6.d.那，- k元，i,a-同 员二指学厅：第1N逸#四 点下树友程一完表示同的是 间下树风法度璃的是 2+2■0 4已加直线4中。=0与直线1-的+30平打，州它门之料3实品1 里2+2-1+4y-6=0 数“a-1”是“自性ax+自与自国一2=0相最直的矣要条相 C+y2+a-民aA▣R C当点风3.2)到直线4-+1-1=0的离量时，n的算N-1 取+-4=0 L已如白线过论真气1,0叫与反A上，=，(，-21为编成的厚有交点 直再，在直回指在元-A,品G巾。∠8C=,48=红=4= 【,后，E,F外例是核A,B,江，和的中点，D是线段和上 斯线的到*取教（一，-列U位一】 能站点（不位售碳点头若①上球，侧线登切的民度是 L已知一对不无线的向错五，的夫角为，定又为一十向量。其质的为一 l-e,其为向同时与A同石，了每直（得2导所余3，在平行大非B 0'G重中《用1乙满不。下列结定正等是 c a 之已担线制-3，到，的2.1，在白线白一4+4◆上作在一点户，能1+1增翰 你，州产点重标为 0.1 你习 c停习 08.7) 文已如，男起销园的.女成8，r5周顶上一点，且所，号吗。线精时 45画 离心率的眼镇能国是 食当∠：0，}，i话-，62e a引 k片 七若=2，页，通-1，剩而=行 ca司 片 D平行方体结-''G自体积ta,xd 二.怎暖遇界酒（本大题关1小题，餐小题6什，共保种在每小意拾自的注调中。行 厘1程《D这择显，无2分 销是件合莲日塑求的拿泽建时？得华分，笔分线明的图得计计。有连的料年冷1 注数事镇： 攻天TQ确民r于叫=0的以下免遥中。正确明是 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