第二章 圆的初步认识（知识清单）数学人教版五四制2024六年级上册

第二章 圆的初步认识 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 一、圆和扇形的认识 （一）圆的基本概念与特征 1．定义：圆是平面上到定点（圆心）的________等于定长（半径）的所有点组成的封闭曲线图形． 2．各部分名称： 圆心（O）：点________到圆上任意一点的距离都相等，这一点叫作________．圆心确定圆的________； 半径（r）：连接________和圆上任意一点的线段叫作半径，通常用字母表示r．半径决定圆的________．同一圆内有________条半径，且所有半径长度________． 直径（d）：通过圆心并且两端都在________的线段叫作直径，通常用字母d表示．同一圆内有________条直径，且所有直径长度________，直径与半径的关系为或． 3．对称性与画法： 对称性：圆是________图形，直径所在的________是对称轴，圆有________条对称轴． 画法：用圆规画圆时，固定有针尖的脚（圆心），保持两脚间距离（半径）不变，旋转一周即可． （二）扇形的基本概念与特征 定义：由圆上的一条________和经过这条弧两端的两条________所围成的图形叫作扇形． 各部分名称： 弧：圆上两点之间的部分叫作________； 圆心角：顶点在________的角（如∠AOB）叫作圆心角． 特征：在同一个圆中，圆心角越大，扇形________；以半圆为弧的扇形圆心角是________，以圆为弧的扇形圆心角是________；扇形是________图形，对称轴是过圆心和弧________的直线． 二、圆的周长与弧长 1．周长的定义：围成圆的曲线的________叫作圆的周长． 2．测量方法： 绕线法：用线绕圆一周，量出线段长度； 滚动法：将圆在直尺上滚动一周，读出滚动的距离． 3．圆周率（π）： 定义：任意一个圆的________与________的比值，是一个固定的________小数，用字母π表示．通常取近似值________，即：π≈________． 4．圆的周长公式： （C为周长，d为直径）；或（r为半径）． 5．弧长计算： 1°的圆心角所对弧长为； n°的圆心角所对弧长公式：． 三、圆的面积与扇形面积 面积公式推导： 将圆等分（8等分、16等分、32等分……）后拼成近似的________，长方形的长近似于，宽近似于________，因此圆的面积（S为面积，r为半径）． 面积公式：． 扇形面积计算： 1°的圆心角所对扇形面积为； n°的圆心角所对扇形面积公式：； 也可通过弧长表示：（l为弧长，r为半径）． 四、实际应用 实际问题解决： 结合圆的周长和面积公式、弧长和扇形面积，解决如圆形花坛周长、喷水池面积、环形面积（外圆面积-内圆面积）、弧形弯道的展直长度、扇子的面积等实际问题． 生活中的圆： 车轮设计为圆形利用“同一圆的半径相等”使行驶平稳； 圆形井盖利用“同一圆的直径相等”避免掉落，且能恰好盖住井口． 易错点1：圆的基本概念与性质 1．圆心、半径、直径的定义混淆 错误：认为“连接圆上两点的线段就是直径” “圆内任意线段都是半径”。 注意：直径必须经过圆心且两端都在圆上；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，二者都有明确“圆心”关联。 示例：连接圆上两点但未过圆心的线段不是直径；一端在圆心、另一端在圆内的线段不是半径。 2．同圆中半径与直径关系的误解 忽略“同一圆内”前提，认为“任意两个圆的半径和直径都满足”。 关键：和仅适用于同一个圆或等圆，不同圆的半径、直径无此固定倍数关系。 3．圆的对称性认知偏差 错误：认为“圆的对称轴是直径” “圆只有4条对称轴”。 纠正：圆的对称轴是直径所在的直线（直径是线段，对称轴是直线）；圆有无数条对称轴，任意一条直径所在直线都是。 例1：判断：连接圆上任意两点的线段都是直径，圆内任意连接圆心和圆上一点的线段都是半径（ ） 易错点2：圆的画法与工具使用 圆规画圆的操作错误 错误：画圆时“针尖脚移动”或“两脚间距离变化”，导致画出的图形不是圆。 正确步骤：①固定针尖脚（圆心位置）；②保持两脚间距离（半径）不变；③旋转笔芯脚一周。 例2：用圆规画一个半径为3cm的圆，小明的操作步骤如下：①把圆规有针尖的脚放在纸上；②将圆规两脚分开，使两脚间距离为3cm；③用手按住有针尖的脚，同时转动有笔芯的脚一周。但最终画出的图形不是标准的圆，最可能的原因是（ ） A.步骤①中没有确定固定的点作为圆心 B.步骤②中两脚间距离不是3cm C.步骤③中转动时没有保持有针尖的脚固定 易错点3：扇形相关概念 1．扇形定义的遗漏条件 错误：认为“圆上任意一段弧和两条半径围成的图形就是扇形”。 注意：扇形的两条半径必须经过弧的两端，且圆心角的顶点必须在圆心（非圆上或圆内其他点）。 2．扇形大小影响因素判断错误 错误：认为“扇形大小只与半径有关”。 关键：在同一个圆中（半径固定），扇形大小由圆心角决定（圆心角越大，扇形越大）；若半径不同，需同时考虑半径和圆心角。 3．扇形对称性的误解 错误：认为“扇形没有对称轴”或“扇形有无数条对称轴”。 纠正：扇形是轴对称图形，且只有1条对称轴，即“通过圆心和弧中点的直线”。 例3：下列关于扇形的说法正确的是（ ） A.圆上任意一段弧和两条半径围成的图形就是扇形 B.在两个不同的圆中，半径大的扇形一定比半径小的扇形大 C.扇形是轴对称图形，且只有一条对称轴 易错点4：圆的周长与弧长计算 1．圆周率的取值与应用错误 错误：①将等同于3.14（忽略是无限不循环小数，3.14仅为近似值）；②计算时漏乘或半径或直径。 示例：求半径为2cm的圆的周长，错误计算为C=22=4cm（正确应为）。 2．弧长公式的误用 错误：①混淆弧长公式中“圆心角”的单位（必须用“度”）；②公式记忆错误，如写成（正确应为，，代入后可变形，但需注意一致性）。 示例：求半径为3cm、圆心角为60°的弧长，错误计算为6.28cm（正确应为3.14cm）。 3．周长与弧长的概念混淆 错误：将“半圆的周长”等同于“圆周长的一半”（忽略半圆的周长还需加直径）。 纠正：半圆周长=r+2r；圆周长的一半仅为。 例4：计算一个直径为4cm的圆的周长，小红计算过程为：“C=πr=3.14×4=12.56cm”，她的计算是否正确？若不正确，请给出正确的计算过程（π取3.14）。 易错点5：圆的面积与扇形面积计算 1．圆面积公式的记忆错误 将圆面积公式记为（与周长公式混淆）或。 正确公式：（为半径，需先算平方再乘）。 2．扇形面积公式的应用错误 错误：①忽略“圆心角”和“半径”的对应关系（需用扇形所在圆的半径）；②混淆扇形面积的两个公式和，其中是扇形弧长，需确保和对应同一扇形）。 3．圆环与组合图形面积计算错误 错误：①计算圆环面积时，直接用“外圆面积减内圆面积”但算错半径（如用直径代入公式）；②求组合图形（如“外方内圆” “外圆内方”）面积时，找不到正方形与圆的边长或半径关系。 关键：①圆环面积（为外圆半径，为内圆半径，需先确认半径而非直径）；②“外方内圆”中正方形边长圆的直径，“外圆内方”中正方形对角线圆的直径。 例5：一个半径为5cm的圆，计算其面积时，小亮的计算过程为：“S=πr=3.14×5=15.7cm²”，他的计算错误在哪里？请给出正确的计算过程（π取3.14）。 易错点6：实际应用问题 1．单位换算遗漏或错误 错误：计算时忽略单位统一性，如“车轮直径75cm，求行驶4710km的转数”时，未将cm换算为m、km换算为m，导致结果错误。 2．“最大圆或扇形”的边长或半径判断错误 错误：在正方形中画最大圆时，认为“圆的半径等于正方形边长”（实际应为正方形边长的一半）；在正方形中画最大扇形时，忽略“以顶点为圆心，边长为半径”的条件。 示例：边长为10cm的正方形中，最大圆的直径=10cm（半径=5cm）；以一个顶点为圆心的最大扇形，半径=10cm，圆心角=90°。 3．运动轨迹与周长或面积的关联错误 错误：计算“拴狗绳长4m，狗的活动区域面积”时，忽略“墙角（直角）”限制，直接算整个圆的面积（实际应为个圆的面积，若墙为直线则为半圆）。 关键：需根据实际场景判断图形形状（完整圆、扇形、组合图形），再选择对应公式。 例6：一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，计算草坪的面积（即环岛面积减去花坛面积，π取3.14）。小刚的计算过程为：“环岛面积S1=3.14×50²=3.14×2500=7850m²，花坛面积S2=3.14×10²=3.14×100=314m²，草坪面积S=S1-S2=7850-314=7536m²”，他的计算错误在哪里？请给出正确的计算过程。 一、单选题 1．井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口．这是应用了圆特征中（   ）． A．圆心确定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同一圆内所有直径都相等 D．圆是曲边图形 2．半圆的周长是这个半圆直径的（  ） A．倍 B．倍 C．π倍 D．2π倍 3．一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，则其周长变为原来的（   ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 4．已知一扇形半径扩大到原来的2倍，要保持扇形的面积不变，扇形的圆心角应（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 5．扫地机器人在一块长方形场地内移动过程中，可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯．如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘．那么机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（   ）（π值取3） A．400平方厘米 B．300平方厘米 C．100平方厘米 D．0平方厘米 二、填空题 6．如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 ． 7．在半径为60的圆上有一段弧，弧长是157，则该弧所对的圆心角为 度． 8．在一个正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长为25.12厘米，这个正方形面积是( )平方厘米． 9．把一个周长为的圆剪成两个扇形，已知其中一个扇形的面积是整个圆面积的，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留） 10．如图，半圆的面积是，圆的面积是，那么长方形 （阴影部分）的面积是( )． 三、解答题 11．李老师家到学校的路程是米，一辆自行车的车轮外直径是66厘米，按车轮每分钟转100圈计算，李老师骑这辆自行车从家到学校大约要多少分钟？（取） 12．一只小狗被系在边长为4米的等边三角形建筑物的墙角，绳子长6米，这只小狗所能达到的总面积是多少平方米？（狗的长度不计算，用含π的式子表示） $$第二章 圆的初步认识 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 一、圆和扇形的认识 （一）圆的基本概念与特征 1．定义：圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的封闭曲线图形． 2．各部分名称： 圆心（O）：点O到圆上任意一点的距离都相等，这一点叫作圆心．圆心确定圆的位置； 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，通常用字母表示r．半径决定圆的大小．同一圆内有无数条半径，且所有半径长度相等． 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，通常用字母d表示．同一圆内有无数条直径，且所有直径长度相等，直径与半径的关系为或． 3．对称性与画法： 对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴． 画法：用圆规画圆时，固定有针尖的脚（圆心），保持两脚间距离（半径）不变，旋转一周即可． （二）扇形的基本概念与特征 定义：由圆上的一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形． 各部分名称： 弧：圆上两点之间的部分叫作弧； 圆心角：顶点在圆心的角（如∠AOB）叫作圆心角． 特征：在同一个圆中，圆心角越大，扇形越大；以半圆为弧的扇形圆心角是180°，以圆为弧的扇形圆心角是90°；扇形是轴对称图形，对称轴是过圆心和弧中点的直线． 二、圆的周长与弧长 1．周长的定义：围成圆的曲线的长度叫作圆的周长． 2．测量方法： 绕线法：用线绕圆一周，量出线段长度； 滚动法：将圆在直尺上滚动一周，读出滚动的距离． 3．圆周率（π）： 定义：任意一个圆的周长与直径的比值，是一个固定的无限不循环小数，用字母π表示．通常取近似值3.14，即：π≈3.14． 4．圆的周长公式： （C为周长，d为直径）；或（r为半径）． 5．弧长计算： 1°的圆心角所对弧长为； n°的圆心角所对弧长公式：． 三、圆的面积与扇形面积 面积公式推导： 将圆等分（8等分、16等分、32等分……）后拼成近似的长方形，长方形的长近似于，宽近似于r，因此圆的面积（S为面积，r为半径）． 面积公式：． 扇形面积计算： 1°的圆心角所对扇形面积为； n°的圆心角所对扇形面积公式：； 也可通过弧长表示：（l为弧长，r为半径）． 四、实际应用 实际问题解决： 结合圆的周长和面积公式、弧长和扇形面积，解决如圆形花坛周长、喷水池面积、环形面积（外圆面积-内圆面积）、弧形弯道的展直长度、扇子的面积等实际问题． 生活中的圆： 车轮设计为圆形利用“同一圆的半径相等”使行驶平稳； 圆形井盖利用“同一圆的直径相等”避免掉落，且能恰好盖住井口． 易错点1：圆的基本概念与性质 1．圆心、半径、直径的定义混淆 错误：认为“连接圆上两点的线段就是直径” “圆内任意线段都是半径”。 注意：直径必须经过圆心且两端都在圆上；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，二者都有明确“圆心”关联。 示例：连接圆上两点但未过圆心的线段不是直径；一端在圆心、另一端在圆内的线段不是半径。 2．同圆中半径与直径关系的误解 忽略“同一圆内”前提，认为“任意两个圆的半径和直径都满足”。 关键：和仅适用于同一个圆或等圆，不同圆的半径、直径无此固定倍数关系。 3．圆的对称性认知偏差 错误：认为“圆的对称轴是直径” “圆只有4条对称轴”。 纠正：圆的对称轴是直径所在的直线（直径是线段，对称轴是直线）；圆有无数条对称轴，任意一条直径所在直线都是。 例1：判断：连接圆上任意两点的线段都是直径，圆内任意连接圆心和圆上一点的线段都是半径（ ） 答案：× 解析：本题易错点在于混淆直径和半径的定义，忽略直径“经过圆心”的关键条件，以及对半径所在位置表述的不严谨。在判断这类概念题时，要严格依据文档中给出的定义，逐一核对每个条件，不能仅凭“连接圆上两点”“连接圆心和圆上一点”就判定为直径或半径。 解：直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。对于“连接圆上任意两点的线段都是直径”这一说法，若连接圆上两点的线段没有经过圆心，比如圆上两点A、B，线段AB不经过圆心O，那么AB就不是直径，所以这部分是错误。对于“圆内任意连接圆心和圆上一点的线段都是半径”这一说法，虽然半径的定义是连接圆心和圆上任意一点的线段，但“圆内”这个表述不准确，因为连接圆心和圆上一点的线段的两个端点，一个在圆心（圆内），一个在圆上，并非整个线段都在圆内，不过核心错误还是前半部分对直径定义的误解，整体该说法错误。 易错点2：圆的画法与工具使用 圆规画圆的操作错误 错误：画圆时“针尖脚移动”或“两脚间距离变化”，导致画出的图形不是圆。 正确步骤：①固定针尖脚（圆心位置）；②保持两脚间距离（半径）不变；③旋转笔芯脚一周。 例2：用圆规画一个半径为3cm的圆，小明的操作步骤如下：①把圆规有针尖的脚放在纸上；②将圆规两脚分开，使两脚间距离为3cm；③用手按住有针尖的脚，同时转动有笔芯的脚一周。但最终画出的图形不是标准的圆，最可能的原因是（ ） A.步骤①中没有确定固定的点作为圆心 B.步骤②中两脚间距离不是3cm C.步骤③中转动时没有保持有针尖的脚固定 答案：C 解析：本题易错点在于忽略圆规画圆时“有针尖的脚固定不动”这一关键操作。画圆时，圆心位置的固定和半径长度的不变是画出标准圆的两个核心要素，在实际操作中，容易出现转动时针尖脚移动的情况，从而导致画圆失败，需要牢记正确的操作步骤。 解：用圆规画圆的正确方法：用圆规画圆时，有针尖的脚要固定不动；旋转圆规时，两脚间的距离要保持不变。 选项A：步骤①中把有针尖的脚放在纸上，若只是放在纸上但未固定，也可能导致圆心移动，但选项C更直接指出转动时未保持针尖脚固定，这是画圆过程中导致图形不标准的常见且关键问题。 选项B：题目中明确说明步骤②将两脚间距离定为3cm，所以该选项不符合题意。 选项C：步骤③中转动时若没有保持有针尖的脚固定，圆心位置不断变化，就无法画出标准的圆，这是最可能的原因。 易错点3：扇形相关概念 1．扇形定义的遗漏条件 错误：认为“圆上任意一段弧和两条半径围成的图形就是扇形”。 注意：扇形的两条半径必须经过弧的两端，且圆心角的顶点必须在圆心（非圆上或圆内其他点）。 2．扇形大小影响因素判断错误 错误：认为“扇形大小只与半径有关”。 关键：在同一个圆中（半径固定），扇形大小由圆心角决定（圆心角越大，扇形越大）；若半径不同，需同时考虑半径和圆心角。 3．扇形对称性的误解 错误：认为“扇形没有对称轴”或“扇形有无数条对称轴”。 纠正：扇形是轴对称图形，且只有1条对称轴，即“通过圆心和弧中点的直线”。 例3：下列关于扇形的说法正确的是（ ） A.圆上任意一段弧和两条半径围成的图形就是扇形 B.在两个不同的圆中，半径大的扇形一定比半径小的扇形大 C.扇形是轴对称图形，且只有一条对称轴 答案：C 解析：本题易错点在于对扇形定义的遗漏条件、扇形大小影响因素的判断错误以及扇形对称性的误解。在判断扇形相关说法时，要紧扣定义，明确扇形大小的决定因素以及其对称轴的数量和位置，避免因概念模糊而做出错误判断。 解：选项A：扇形是一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，该选项中“任意一段弧和两条半径”没有强调“经过弧两端”，若两条半径不经过弧的两端，围成的图形不是扇形，所以A错误。 选项B：扇形的大小与圆心角和半径都有关，在同一个圆中，扇形大小与圆心角有关；在不同圆中，仅半径大不能确定扇形一定大，还需考虑圆心角大小，所以B错误。 选项C：文档中提到扇形是轴对称图形，其对称轴是通过圆心且平分圆心角的直线，并且只有一条，所以C正确。 易错点4：圆的周长与弧长计算 1．圆周率的取值与应用错误 错误：①将等同于3.14（忽略是无限不循环小数，3.14仅为近似值）；②计算时漏乘或半径或直径。 示例：求半径为2cm的圆的周长，错误计算为C=22=4cm（正确应为）。 2．弧长公式的误用 错误：①混淆弧长公式中“圆心角”的单位（必须用“度”）；②公式记忆错误，如写成（正确应为，，代入后可变形，但需注意一致性）。 示例：求半径为3cm、圆心角为60°的弧长，错误计算为6.28cm（正确应为3.14cm）。 3．周长与弧长的概念混淆 错误：将“半圆的周长”等同于“圆周长的一半”（忽略半圆的周长还需加直径）。 纠正：半圆周长=r+2r；圆周长的一半仅为。 例4：计算一个直径为4cm的圆的周长，小红计算过程为：“C=πr=3.14×4=12.56cm”，她的计算是否正确？若不正确，请给出正确的计算过程（π取3.14）。 答案：不正确，正确周长为12.56cm，但计算过程错误。 解析：本题易错点在于混淆圆的周长公式，将直径当作半径代入公式C=πr进行计算。在计算圆的周长时，要先明确已知条件是直径还是半径，再选择对应的公式，避免因公式记忆错误或参数代入错误导致计算过程出错，即使结果数值巧合正确，也不符合数学计算的严谨性要求。 解：圆的周长公式为C=πd或C=2πr（其中d是直径，r是半径）。 已知圆的直径d=4cm，那么半径r=d÷2=4÷2=2cm。 若用公式C=πd计算，可得C=3.14×4=12.56cm；若用公式C=2πr计算，可得C=2×3.14×2=12.56cm。 小红使用的公式是C=πr，其中错误地将直径4cm当作半径代入，虽然最终结果数值正确，但公式使用错误，计算过程不符合要求。 易错点5：圆的面积与扇形面积计算 1．圆面积公式的记忆错误 将圆面积公式记为（与周长公式混淆）或。 正确公式：（为半径，需先算平方再乘）。 2．扇形面积公式的应用错误 错误：①忽略“圆心角”和“半径”的对应关系（需用扇形所在圆的半径）；②混淆扇形面积的两个公式和，其中是扇形弧长，需确保和对应同一扇形）。 3．圆环与组合图形面积计算错误 错误：①计算圆环面积时，直接用“外圆面积减内圆面积”但算错半径（如用直径代入公式）；②求组合图形（如“外方内圆” “外圆内方”）面积时，找不到正方形与圆的边长或半径关系。 关键：①圆环面积（为外圆半径，为内圆半径，需先确认半径而非直径）；②“外方内圆”中正方形边长圆的直径，“外圆内方”中正方形对角线圆的直径。 例5：一个半径为5cm的圆，计算其面积时，小亮的计算过程为：“S=πr=3.14×5=15.7cm²”，他的计算错误在哪里？请给出正确的计算过程（π取3.14）。 答案：错误在于混淆圆的面积公式，正确面积为78.5cm²。 解析：本题易错点在于记忆圆的面积公式时遗漏“半径的平方”，将面积公式与周长公式（C=2πr或C=πd）中的部分形式混淆。在计算圆的面积时，要牢记公式中是半径的平方，先计算半径的平方，再与π相乘，确保公式使用正确，避免因公式记忆不牢固而出现计算错误。 解：根据圆的面积公式：圆的面积S=πr²（其中r是半径）。 已知圆的半径r=5cm，将其代入公式可得： S=3.14×5²=3.14×25=78.5cm²。 小亮使用的公式是S=πr，遗漏了半径的平方这一关键步骤，导致计算结果错误。 易错点6：实际应用问题 1．单位换算遗漏或错误 错误：计算时忽略单位统一性，如“车轮直径75cm，求行驶4710km的转数”时，未将cm换算为m、km换算为m，导致结果错误。 2．“最大圆或扇形”的边长或半径判断错误 错误：在正方形中画最大圆时，认为“圆的半径等于正方形边长”（实际应为正方形边长的一半）；在正方形中画最大扇形时，忽略“以顶点为圆心，边长为半径”的条件。 示例：边长为10cm的正方形中，最大圆的直径=10cm（半径=5cm）；以一个顶点为圆心的最大扇形，半径=10cm，圆心角=90°。 3．运动轨迹与周长或面积的关联错误 错误：计算“拴狗绳长4m，狗的活动区域面积”时，忽略“墙角（直角）”限制，直接算整个圆的面积（实际应为个圆的面积，若墙为直线则为半圆）。 关键：需根据实际场景判断图形形状（完整圆、扇形、组合图形），再选择对应公式。 例6：一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，计算草坪的面积（即环岛面积减去花坛面积，π取3.14）。小刚的计算过程为：“环岛面积S1=3.14×50²=3.14×2500=7850m²，花坛面积S2=3.14×10²=3.14×100=314m²，草坪面积S=S1-S2=7850-314=7536m²”，他的计算错误在哪里？请给出正确的计算过程。 答案：错误在于计算环岛和花坛面积时，将直径当作半径代入圆的面积公式，正确草坪面积为1884m²。 解析：本题易错点在于在实际应用中计算圆的面积时，忽略将直径转化为半径，直接用直径代入面积公式。在解决与圆相关的实际面积问题时，若已知条件是直径，一定要先根据半径与直径的关系（r=d÷2）求出半径，再代入面积公式进行计算，确保参数使用正确，避免因忽略单位转化或参数转换而导致计算错误。 解：根据圆的面积公式S=πr²，计算圆的面积需要先求出半径，半径r=直径d÷2。 对于环岛，直径d1=50m，所以半径r1=50÷2=25m，环岛面积S1=3.14×25²=3.14×625=1962.5m²。 对于花坛，直径d2=10m，所以半径r2=10÷2=5m，花坛面积S2=3.14×5²=3.14×25=78.5m²。 草坪面积S=S1-S2=1962.5-78.5=1884m²。 小刚在计算过程中，直接将直径当作半径代入面积公式，导致环岛和花坛的面积计算都出现错误，进而得出错误的草坪面积。 一、单选题 1．井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口．这是应用了圆特征中（   ）． A．圆心确定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同一圆内所有直径都相等 D．圆是曲边图形 【答案】C 【解析】本题考查了圆的基本性质，圆上所有的点到圆心的距离相等，所以圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口． 解：如下图所示， 通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径， 井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口． 这是应用了圆特征中同一圆内所有直径都相等． 故选：C． 2．半圆的周长是这个半圆直径的（  ） A．倍 B．倍 C．π倍 D．2π倍 【答案】A 【解析】本题主要考查了圆的周长，正确用直径表示出半圆的周长是解题的关键． 根据半圆的周长等于圆的周长的一半再加上一条直径的长度．设直径的长度为d，用d表示出半圆的周长，然后再除以直径即可解答． 解：设直径的长度为d， ∴半圆的周长为：， ∴半圆的周长是这个半圆直径的倍． 故选：A． 3．一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，则其周长变为原来的（   ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【解析】本题考查的是圆的周长的计算，圆的周长与直径成正比，直接利用周长公式计算变化前后的比值即可. 解：当直径为4厘米时，周长厘米， 当直径增加到12厘米时，周长厘米， ∴周长变化的倍数为， 因此，周长变为原来的3倍，对应选项B， 故选：B 4．已知一扇形半径扩大到原来的2倍，要保持扇形的面积不变，扇形的圆心角应（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【答案】D 【解析】本题主要考查了扇形面积，根据扇形面积公式，分析半径扩大后的面积变化，通过等式求解圆心角的变化比例． 解：设原扇形半径为，圆心角为，面积为． 当半径扩大为时，新面积． 由题意， 代入得： 两边约去， 得， 即． 因此圆心角应缩小为原来的， 故选D． 5．扫地机器人在一块长方形场地内移动过程中，可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯．如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘．那么机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（   ）（π值取3） A．400平方厘米 B．300平方厘米 C．100平方厘米 D．0平方厘米 【答案】C 【解析】本题考查正方形的面积，圆的面积，熟练掌握基本图形的面积是解题的关键；根据题意画出示意图，进而利用正方形的面积和圆的面积求解即可． 解：如图： 机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为 （平方厘米）， 故选：C． 二、填空题 6．如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 ． 【答案】 【解析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据一条弧的长度是它所在圆的周长的可得这条弧所对的圆心角是的，由此即可得． 解：∵一条弧的长度是它所在圆的周长的， ∴这条弧所对的圆心角是， 故答案为：． 7．在半径为60的圆上有一段弧，弧长是157，则该弧所对的圆心角为 度． 【答案】150 【解析】本题考查弧长的计算，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 解：根据题意得， 解得，， 即这弧所对的圆心角为150度． 故答案为：150． 8．在一个正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长为25.12厘米，这个正方形面积是( )平方厘米． 【答案】64 【解析】本题考查了在一个正方形内画一个最大的圆，由圆的周长公式，求出圆的半径，而此圆是一个正方形内画一个最大的圆，所以圆的直径就是正方形的边长，再根据正方形的面积公式即可求出答案． 解：圆周长， 得（厘米）； 正方形边长等于圆直径（8厘米），面积（平方厘米）， 故答案为：64． 9．把一个周长为的圆剪成两个扇形，已知其中一个扇形的面积是整个圆面积的，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【解析】本题考查扇形的弧长和面积，解题的关键是正确理解扇形和圆之间的关系． 根据扇形和圆之间的关系，计算即可． 解：∵扇形的面积是整个圆面积的， ∴扇形的弧长是整个圆周长的， ∵圆的周长为， ∴这个扇形的弧长为， 故答案为：． 10．如图，半圆的面积是，圆的面积是，那么长方形 （阴影部分）的面积是( )． 【答案】5 【解析】本题主要考查了圆的面积计算，根据圆面积计算公式分别求出半圆和圆的半径，进而求出长方形（阴影部分）的长和宽，据此根据长方形面积计算公式可得答案． 解：， 所以半圆的半径为， ， 所以圆的半径为， ， 所以长方形的面积为． 故答案为：5． 三、解答题 11．李老师家到学校的路程是米，一辆自行车的车轮外直径是66厘米，按车轮每分钟转100圈计算，李老师骑这辆自行车从家到学校大约要多少分钟？（取） 【答案】10分钟 【解析】本题主要考查了圆的周长计算，根据圆的周长公式，结合题意，列式计算即可．熟练掌握圆的周长公式，是解题的关键． 解：米厘米， （分钟）， 答：李老师骑这辆自行车从家到学校大约要10分钟． 12．一只小狗被系在边长为4米的等边三角形建筑物的墙角，绳子长6米，这只小狗所能达到的总面积是多少平方米？（狗的长度不计算，用含π的式子表示） 【答案】 【解析】根据题意，大扇形的面积为：，两个小扇形的面积和为，解答即可. 本题考查了对圆的面积公式的认识，解题的关键是把不规则图形转化成规则图形，充分利用等边三角形的特征，确定扇形面积的大小是解题的关键. 解：如图，等边三角形的圆心角为，故等边三角形所在的扇形的面积是圆面积的， 根据题意，大扇形的面积为：； 根据题意，每个小扇形的圆心角为， 两个小扇形的面积和等于半径为2的圆的面积的， 故面积为： 故这只小狗所能达到的总面积是 $$