14.2 三角形全等的判定（第5课时 HL）（教学课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（人教版2024）

人教版（2024）八年级数学上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 （第5课时） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；（重点） 2.能运用“HL”判定两个直角三角形全等.（难点） 新课导入 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写为“边角边”或“SAS”). 2.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”). 3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS”). 4.三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”). 复习 我们已经学习的三角形全等的判定方法有哪些？ 前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形，因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了.如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗? 下面我们来研究直角三角形全等的判定. 知识点讲解 C' A' B' C A B 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？ 探 究5 如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知： ①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合. ② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合. C' A' B' C A B (C') (B') 接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系. C A B (C') (B') ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB． ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个. ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上， A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． C A B (C') (B') M M' N 在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB. (A') △A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合. △A'B'C' 与△ABC 能够完全重合. △A'B'C'≌△ABC C A B (C') (B') (A') 在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法. 定义与概念 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 典型例题 经典例题 例 6 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. C D B A 分析:如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由题意可知，Rt△ABC 和 Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C =∠D = 90°. ∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） AB = BA， AC = BD， ∴ BC = AD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， 总结归纳 特别提醒 1.应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”. 2.判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL ”，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. 3.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用. 4.在用一般方法判定两个直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可 课堂练习 基础题 知识点1 用“ ”判定直角三角形全等 1.［2025山西大同期中］下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( ) D A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 【解析】A选项，利用 可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；B选项，利 用可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；C选项，利用 可以判定两 个直角三角形全等，不符合题意；D选项，利用 不能判定两个直角三角形全等， 符合题意.故选D. 2.［2025辽宁大连期中］如图，于点，于点， .若要 直接用“”判定 ，则需要添加的条件为_________. 【解析】需要添加的条件为， ，即 ，， .又 ， .故答案为 . 19 知识点2 “ ”判定定理的应用 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两个滑梯的倾斜角和 之间的关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意可知，，，， 与 均为直角三角形.在与 中， ， ， .故选D. 20 4.［2025黑龙江哈尔滨期末］如图，于点， ， ，连接，射线于点，点在线段 上移动， 点在射线上随着点移动，且始终保持，当 ______时，才能使与 全等. 3或6 【解析】， ， ， 当或 时，可以 根据证明与 全等.故答案为3或6. 21 提升题 5.如图，已知于点，交于点 ，且 ， .求证： （1） ； 证明： ， . 在和 中， . （2） . [答案] ， . ，， ， ， . 拓展题 6.学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”， 但下列两种情形还是成立的. （1）第一种情形（如图①）： 在和中， ，， ，则根 据______________________，得出 ，并写出推理过程； （或斜边、直角边） 解：推理过程如下： ，和 都是直角三角形. 在和 中， . （2）第二种情形（如图②）：在和中，（和均为钝角）， ， ，求证：.（提示：分别过点、点 添加一条辅助线，构造全等三角形） 证明：过点作，交的延长线于点，过点作 ，交的延长线于点 ， , .在和 中， ， . 在和 中， ， . 在和 中， . 课堂小结 直角三角形全等的判定 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在直角三角形中 内容 “斜边、直角边” 只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 前提条件 使用方法 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第43页练习 第1，2题 课本练习 1. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？ A B C D E 解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由： ∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC. 又两人同时同速度出发， 并同时到达D，E 两地，∴CD = CE. 又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°. 在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中， AC = BC， CD = CE， ∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL). ∴DA = EB. 即 D，E 到路段 AB 的距离相等. 2. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF. A B C D E F 证明: ∵CE = BF， ∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE. 又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°. 在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中， DC = AB， CF = BE， ∴Rt△DFC≌ Rt△AEB(HL). ∴AE = DF. 感谢观看 $$