14.2三角形全等的判定（第5课时 直角三角形全等判定“HL”）（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

14.2 全等三角形的判定 第五课时 直角三角形全等判定 第十四章 全等三角形 人教版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等，能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题 通过画图、比较、验证，培养学生的观察、归纳能力,发展学生的几何直观感知能力与推理能力及不断总结的良好思维习惯 知识回顾 判定两个三角形全等的条件有哪些？ 对应相等的元素 条件 三角形是否一定全等 两边一角 两边及其夹角 一定(SAS) 两边及其中一边的对角 不行（SSA） 两角一边 两角及其夹边 一定(ASA) 两角及其中一角的对边 一定(AAS) 三角 三角对应相等 不行（AAA） 三边 三边对应相等 一定(SSS) A D C B 但△ABC与△ABD不全等 A D B C E AC∥ED △ABC与△EBD三角对应相等，但两个三角形不全等 AC=AD, AB=AB, ∠ABC=∠ABD 知识回顾 如果要使△ABC和△DEF全等，在下列各种情况下还要添加哪些条件? (1) AB=DE,∠B= ∠ E（2） ∠ A= ∠ D, ∠ C= ∠ F. A C B D E F 议一议 ∠ A= ∠ D ∠ C= ∠ F ＋ 任意一边 AB=DE ∠B= ∠ E ＋ 相等角的边 (1) AB=DE ∠B= ∠ E ＋ 其余任一角 (2) 如果△ABC和△DEF都是直角三角形， ∠ A= ∠ D=90°，上述添加的条件由变化吗？ 导入新课 探究点1 “斜边直角边”判断方法 议一议 A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ 如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗? A'B'=AB B'C'=BC 斜边直角边 ＋ ∠B ' =∠B ∠C ' =∠C （SAS） A'B'=AB B'C'=BC ＋ ∠A ' =∠A （SSA） ∠C ‘ =∠C=90°这个条件没用上 A'B'=AB B'C'=BC ＋ 这直角三角形能不能全等？ 新知探究 探究点1 “斜边直角边”判断方法 如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗? 议一议 A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ 构图对比 1、画∠C =90° （C ' ） C ┐ 2、将∠C‘ 平移，使点C与点C '重合，并且使射线C'A'与射线CA重合 A（A ' ） 因为∠C'=∠C =90° 那么射线C'B'与射线CB重合. B(B') 3、在射线CB上截取线段CB, B'C’=BC，可知点B'与点B重合 4、在射线CA上截取线段CA 如果在射线CA上截取线段C ' A ' 点A′与A会重合吗？ 新知探究 探究点1 “斜边直角边”判断方法 如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗? A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ 如图14.2-22，由∠C'=∠C =90°可知，如果使点C与点C重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C’=BC，可知点B'与点B重合.为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则/BMA>ZC，ZBMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM'>BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A'在射线CA上，A'B'=AB，可知点A'与点A重合.这样，△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC能够完全重合，因而△A'B'℃’≌△ABC. 议一议 C ┐ （C ' ） A（A ' ） B(B') 如果在射线CA上截取线段C ' A ' 点A′与A会重合吗？ 5、在直角边AC(不包括端点)上取点M 构图对比 M 6、连结BM，AM 则：∠BMA> ∠ C， ∠ BMA是钝角 ┐ 7、过点M作垂直于BM的直线与线段AB相交于点M' M' 则：AB>BM'>BM 8、在线段CA的延长线上取点N,连结BN N 同理可得BN>AB 新知探究 探究点1 “斜边直角边”判断方法 如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗? A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ 议一议 C ┐ （C ' ） A（A ' ） B(B') 如果在射线CA上截取线段C ' A ' 点A′与A会重合吗？ 构图对比 M ┐ M' ∵BN>AB>BM'>BM N ∴在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个. ∵点A′在射线CA上且A'B'=AB， ∴在射线CA上截取线段C ′ A ′=CA时点A'与点A重合. ∴△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合 ∴△A'B'C'与△ABC能够完全重合 即△A'B'C'≌△ABC. 新知探究 探究点1 “斜边直角边”判断方法 如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗? A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ 议一议 A'B'=AB B'C'=BC 在△ABC和△A ' B ' C ' Rt△A'B'C'≌ Rt △ABC 斜 边 直角边 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法. 新知探究 探究点1 “斜边直角边”判断方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， “HL”判定方法应用要先特指直角三角形 “HL”判定方法中两条边特指斜边与一条直角边 注意：两个直角三角形如果是两条直角边对应相等则要用“SAS”方法判定 （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL ASA SAS AAS AAS 新知辨识 探究点1 “斜边直角边”判断方法 判一判 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： A B C A ′ B′ C ′ 典例分析 教材P42 例6 例 1. 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. △BAC≌△ABD. C D B A BC = AD. 由结论看需知 △ABD与△BAC是直角三角形 看已知 AC⊥BC，BD⊥AD AC = BD（已知） AB=AB（公共边） 斜 边 直角边 Rt△ABD和Rt△BAC满足“斜边直角边”全等判定条件 分 析 ∠C = ∠D. 典例分析 教材P42 例6 例 1. 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. C D B A 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C =∠D = 90°. ∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） AB = BA（公共边） AC = BD（已知） ∴ BC = AD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∵ 议一议 如果AC与BD交于O点，求证： Rt△ BOC ≌ Rt△ AOD 由已证得： Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） ∴ BC = AD O 在Rt△ BOC 和Rt△ AOD中 ∠C = ∠D（已证） ∠COB = ∠DOA（对顶角相等） BC = AD（已证） ∵ ∴Rt△ BOC ≌ Rt△ AOD（AAS） 典例分析 例 2. 如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 拓展提升 在Rt△EAD和Rt△ABC中， 1.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． E A D B C F ┐ ┐ ∵ ∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL). ∴∠AED=∠BAC. ∵∠EAF+∠BAC=90°， ∴∠EAF+∠AED=90°， ∴∠EFA=90°， ∴ED⊥AC. 证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠EAD=∠ABC=90°. ED=AC， EA=AB， 拓展提升 2.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 变 式 A P B C Q ┐ ┐ P A B C ┐ ┐ Rt△ABC和Rt △APQ已知斜边对应相等，即PQ＝AB若两直角三角形全等，则需要一条直角边对应相等 【分析】 若AP＝BC 则Rt △AP Q ≌ Rt △CBA (2) 若AP＝AC 则Rt △QAP≌ Rt △BCA P Q A B C ┐ ┐ Q 分类讨论 拓展提升 2.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 变 式 P A B C ┐ ┐ 若AP＝BC 则Rt △AP Q ≌ Rt △CBA Q 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵ PQ＝AB， AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 拓展提升 2.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 变 式 (2) 若AP＝AC 则Rt △QAP≌ Rt △BCA P Q A B C ┐ ┐ (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB， AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时， △ABC才能和△APQ全等． ∵ 【方法总结】 判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 拓展提升 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？说说你的想法和理由. E F D A B C ┐ ┐ 解：∠B和∠F关系为互余 证：∵已知两滑梯长度相等，即BC=EF 又∵AC=DF，∠BAC=∠EDF=90° ∴在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF BC=EF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) ∴∠B=∠DEF ∵∠DEF+∠F=90° ∴∠B+∠F=90°，即∠B和∠F互余. 真题感知 1. [2022·株洲] 如图，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB 于点M,ON⊥BC于点 N.若 OM=ON,则∠ABO= °. 解:∵OM⊥AB 于点M,ON⊥BC于点 N ∴ ∠OMB= ∠ ONB=90° 在Rt△OMB和 Rt△ ONB中 OB=OB(公共边) OM=ON(已知) ∵ ∴Rt△OMB≌ Rt△ ONB（HL） ∴ ∠OBM= ∠ OBN= ∠ABC ∵∠ABC=30° ∴ ∠ABO= ×30°= 15° 15 1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB. D，E到路段AB的距离相等吗?为什么? 新知巩固 教材P43练习 E A D B C ┐ ┐ 解：D，E到路段AB的距离相等，理由如下 由题意得：CD=CE ∵C是路段AB的中点 ∴ CA＝CB ∵DA⊥AB，EB⊥AB ∴ ∠A＝ ∠ B=90° 在Rt△CAD和 RtCBE中 CD=CE(公共边) CA=CB(已知) ∵ ∴Rt△CAD≌ RtCBE（HL） ∴ DA＝DB 即D，E到路段AB的距离相等 新知巩固 2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证AE=DF. 教材P43练习 E A D B C F ┐ ┐ ∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ∠AEB＝ ∠ DFC=90° 证明: ∵CE=BF ∴CE－EF=BF－EF 即CF=BE 在Rt△ABE和 RtDCF中 AB=CD(已知) CF=BE(已证) ∵ ∴Rt△ ABE ≌ RtDCF（HL） ∴AE=DF 课堂小结 两个直角三角形全等的判定思路 已知 可选方法 寻找对应相等的条件 一锐角（A） 斜边（H/S） ASA 直角与已知锐角的夹边 AAS 已知锐角(或直角)的对边 HL 一直角边 一锐角 AAS 一 直角边（L/S） HL 斜边 ASA 已知边相邻的锐角 AAS 已知边所对的锐角 SAS 另一直角边 课后练习 【教材P45第12题】 习题14.2 12. 如图，AC⊥CB，DE⊥CB，垂足分别为 C，B，AB = DC. 求证∠ABD =∠ACD. 在 Rt△ACB 和 Rt△DBC 中， AB = DC， CB = BC， ∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL）. 证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB， ∴∠ACB =∠DBC = 90°. ∴∠ABC =∠DCB. ∴∠ABD =∠ACD（等角的余角相等）. ∵ 感谢聆听! $$