河北省秦皇岛市山海关区第一中学2025-2026学年高三上学期入学调研考试数学试题

山海关区第一中学2026届新高三入学调研考试 数学答案 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在本试卷和答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D A D C D C B B BCD BCD AD 15.【解】（1）第一步:利用正弦定理化边为角 因为（提示:当等式两边出现边的齐次时,考虑利用正弦定理化边为角）， 所以。 ………………………………………………… 1分 第二步:利用两角和与差的正弦公式结合三角形内角和定理化简 所以（关键:利用诱导公式与三角形内角和定理,化单角为复角）， 即，化简可得。又因为，所以，所以，所以，所以，所以。 ………………………………………………………………………………… 5分 第三步:根据三角形内角的范围求角的大小 又因为，所以（易错:在根据正弦值求角的大小时,忘记判断角的范围,从而产生多解或少解），所以，解得。 ………………………………………………………………… 6分 （2）第一步:利用向量的线性运算求，，之间的关系 因为，所以（提示:在中,若点为的三等分点,则或）， 两边同时平方可得。 ………………………………………………… 8分 第二步:利用平方法求，之间的关系式 又因为，所以，即。 ………… 9分 第三步:利用基本不等式求的最大值 又（提示:注意基本不等式的变形应用），即， ……………………………………………………………… 11分 所以，当且仅当，即时取等号， ………………… 12分 所以的最大值为。 ………………………………………………………………… 13分 16.【解】（1）第一步:由上顶点坐标求 依题意， ……………………………………………………………………………………………………… 1分 第二步:根据弦长求 设，由，得，所以，解得（另解:当经过点且与轴垂直时，，根据椭圆焦点弦的性质可得，，解得），…… 3分 第三步:写出椭圆方程 所以的方程为。 ……………………………………………………………………………… 5分 （2）第一步:联立直线与椭圆的方程，写出，的表达式 由题可得，直线的斜率不为，故设直线的方程为（提示:在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于轴，但不能垂直于轴，即所设直线的斜率不能为，则直接设直线方程为（，为常数）的形式，这样可以避免分类讨论），，， 联立直线与椭圆的方程并整理得，………………………………… 6分 由，即， 解得（易错:忽略判别式的限制条件），………………………………………………………… 7分 由一元二次方程根与系数的关系得，。 ……………………………… 8分 第二步:由被轴平分，得到，之间的关系 因为被轴平分，所以直线与直线的倾斜角互补，则（提示:倾斜角互补的两条直线，其斜率互为相反数），即。 ……………………………………………………………… 9分 第三步:由斜率公式结合，求的值 又，所以。而，所以。 ①当直线斜率不存在时，直线的方程为， 所以点到直线的距离无最大值，舍去； ②当直线斜率存在时，。 ………………………………………………… 12分 第四步:判断直线所过定点为，由时点到直线的距离最大求的值 则，所以直线恒过左焦点。当时，点到直线的距离最大。 因为，所以，即，所以。 ……………………………… 14分 第五步:写出直线的方程 所以，即，所以直线的方程为。 ………………………… 15分 17.（1）【证明】第一步:作相关辅助线 设与交于点，连接。 第二步:证明 在正方形中，，所以，所以，而，所以四边形为平行四边形，所以（关键:在利用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到与已知直线平行的直线）。 ……………………………………………………………………………………………………… 4分 第三步:利用线面平行的判定定理证结论 又因为平面，平面，所以平面。 …………………………………………… 6分 （2）【解】第一步:建立空间直角坐标系，求相关点的坐标 设的中点为，连接，由题知四边形为等腰梯形，又为的中点，所以。又平面平面，平面平面，平面，所以平面。则以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ……………………………………………………………………………………………………… 7分 第二步:根据垂直条件，利用向量数量积的坐标运算求点的坐标 设，，则，， 由，得，解得（舍去）。 ………………………………………… 9分 所以，，，，。 第三步:求平面与平面的法向量 设平面的法向量为， 则得，取，则。 …………………………………… 11分 设平面的法向量为，则得， 取，则。 ……………………………………………………………………………… 12分 第四步:求二面角的余弦值 因为， ……………………………………………………………… 14分 易知二面角为钝角（易错:未根据图形判断二面角是锐角还是钝角）， 所以二面角的余弦值为。 ………………………………………………………………………… 15分 18.（1）【解】第一步:求切点坐标 当时，，，， ……………………………………………………………… 1分 第二步:由导数的几何意义求切线斜率 则，所以， ……………………………………………………………………………… 2分 高考必刷卷 押题6套 数学 第三步:点斜式求切线方程 所以曲线在点处的切线方程为，即。 ……… 4分 （2）【解】（常规解法）第一步:求导函数 由，得（提示:由于导函数中含有参数，且其范围对函数值的正负有影响，需分类讨论）， ………………………………………………………………………………… 5分 第二步:分段讨论函数的单调性，并等价转化不等式 ①若（难点:根据参数对函数值的影响合理分段讨论），则当时，恒成立，不符合题意，舍去； ②若，由，可知不符合题意，舍去； ③若，则（关键:根据一个正数乘一个大于或等于1的数，其值大于或等于原数进行放缩，从而去掉参数）。 ……………………………………………………………… 8分 第三步:利用导数讨论时函数的单调性，求出的最小值，求得实数的取值范围 令，，则，因为，所以且不恒为0， 所以在上单调递增，所以，所以恒成立且不恒为0，所以在上单调递增，故，符合题意。 综上，实数的取值范围为。 ……………………………………………………………………… 11分 （3）【证明】第一步:结合（2）对赋值，得出相应不等式关系 取（关键:根据所证不等式对进行相应赋值），当时，，所以。 第二步:根据所证不等式结构对进行赋值，由对数与根式的运算得出相应不等式 取，则有， 即， ……………………………………………………………… 14分 第三步:累加法证结论 所以，，，， 将上述式子相加得，得证。 …………………………… 17分 19.（1）【解】第一步:将五进制数转化为十进制数 ， ………………………………………………………………………………… 1分 第二步:将十进制数转化为三进制数求结果 因为，所以，所以五进制数转化成三进制数为。 ………………………………………………………………………………… 4分 （2）①【解】第一步:求时，位的二进制数的个数 若，则位的二进制数有，，，，，，，，共个， ………………………………………………………………………………… 6分 第二步:确定的所有可能取值及对应的概率 由，故的所有可能取值为，，，从个数中任选个，共有种情况， ………………………………………………………………………………… 7分 其中当时（提醒:列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏）， 若选择，可以从，，中任选个，共有种情况；若选择，可以从，，中任选个，共有种情况；若选择，可以从，中任选个，共有种情况；若选择，可以从，中任选个，共有种情况；若选择，可以从，中任选个，共有种情况，共有种情况，故。当时，和，和，和，和满足要求，共有种情况，故，所以， …………………… 9分 第三步:列分布列，求数学期望 所以随机变量的分布列为 则。 ……………………………………………………………… 10分 ②【证明】第一步:求位的二进制数的个数 位二进制数的，根据二进制数中的个数可得，位二进制数一共有个（关键:利用二项式定理求出总个数）， ……………………………………………………………… 11分 第二步:确定的所有可能取值及对应的概率 因为，所以的可能取值为，，，，。当时，二进制数，有位取值不同，有位取值相同，除去，从剩余的位中选择位，二进制数，在这位上数字不同，其余位，两者均在同一位置数字相同，由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复次，故共有种情况（易错:在排列、组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，要注意避免重复 计数）,所以， ……………………………………………………………… 13分 第三步:列分布列，求数学期望 所以随机变量的分布列为 因为（关键:掌握组合数的计算公式），所以，即。 ………………………………………… 17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山海关区第一中学2026届新高三入学调研考试 数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在本试卷和答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.样本数据89，84，98，74，68，88，79，81，90，92的中位数为（ ） A. 68 B. 78 C. 84 D. 86 2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知向量，，，若，，则（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 4.已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6.若函数，且，则（ ） A. B. C. D. 7.从编号为的四张卡片中有放回地随机抽取三张卡片，得到的三张卡片的编号依次为，，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于直线对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9.已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 10.已知点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则（ ） A. 的最小值为 B. 周长的最小值为 C. 的最大值为 D. 过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积的最小值是 11.若数列满足，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 存在 C. 数列的前项和为 D. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12.已知角的终边经过点，则______. 13.已知双曲线的左焦点为，过左焦点且斜率大于的直线与轴和双曲线左支分别交于两点，点在第二象限，且满足，则双曲线的离心率为______. 14.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在中，内角所对的边分别为，且满足。 （1）求； （2）若是边上一点，且满足，，求的最大值。 16.（15分） 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与交于两点（不与椭圆的顶点重合），当经过点且与轴垂直时，。 （1）求的方程； （2）若点，被轴平分，当到直线的距离最大时，求直线的方程。 17.（15分） 如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，。 （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值。 18.（17分） 已知函数。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：。 19.（17分） 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等。一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，且，，如，所以在三进制下可写为。 （1）将五进制数转化成三进制数。 （2）对于任意两个不同的位二进制数，，，记。 ①若，求随机变量的分布列与数学期望； ②证明：。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$