精品解析：陕西省西安市雁塔区高新一中2025－2026学年上学期九年级开学收心考数学试题

2026届素质拓展数学试卷 （总分120分用时120分钟） 第一部分（选择题） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 3. 去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，，中的两个，能让小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（    ）. A. B. － C. － D. 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 10. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_______（精确到） 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 12. 如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米 13. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= _____． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为6，则EF的长为 ___． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 16. 解分式方程：． 17. 化简（+a﹣2）÷ ． 18. 尺规作图：如图，在矩形中，M是边的中点，连接，在上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且．已知，，，，求的长． 21. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 22. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程2x2﹣2x＋1＝0是否是“邻根方程”？ （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； 23. 如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度． 24. 龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 25. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，作一个，使，，分别在，，上． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，为矩形内部一点，且，求周长的最小值． 问题解决 （3）如图3，在中，，，、分别为，上的动点，且，点为的中点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届素质拓展数学试卷 （总分120分用时120分钟） 第一部分（选择题） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可． 【详解】解：， ∴比例尺为：； 故选A． 2. 如图，已知，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线之间分线段成比例的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 直接利用平行线之间分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选B． 3. 去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，理解题意是解题关键． 根据题意直接列出一元二次方程即可． 【详解】解：设公共充电桩的月平均增长率为，依题意得： ． 故选：A． 4. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，，中的两个，能让小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，或和，或和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 故选：A． 【点睛】此题考查了树状图法以及概率公式．正确的画出树状图是解题的关键． 5. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 6. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（    ）. A. B. － C. － D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论． 详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根， ∴α+β=-，αβ=-3， ∴===． 故选C． 点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键． 7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【详解】解：∵AB＝3，BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC＝， ∴AO＝DO＝AC＝， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF， ∴3＝××EO+×EF， ∴5（EO+EF）＝12， ∴EO+EF＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键． 8. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 第二部分（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 10. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩具数 优等品的频数 优等品的频率 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_______（精确到） 【答案】0.92 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表中数据可判断频率在0.92附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92， 故答案为：0.92． 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 12. 如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米 【答案】2.4 【解析】 【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H， 则DG∥CH， ∴△ODG∽△OCH， ∴， ∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC， ∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m， ∴OC=0.5m， ∴， ∴DG=1.8m， ∵OE=0.6m， ∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 13. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= _____． 【答案】20° 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵DE⊥BC于E，∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，∴OE=BD，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，故答案为20°． 点睛：本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为6，则EF的长为 ___． 【答案】． 【解析】 【分析】过E作EM⊥AB于M，连结EH，由BH＝2AH， AH=2，由四边形ABCD为正方形，可得AD=AB=BC=DC=6，∠DAH=∠B=90°，DC∥AB，可证△DGC∽△HGA，可得，在Rt△DAH中，DH=，可求GH=，在Rt△ABC中，AC=，可求AG=，由AE＝2CE， 可求CE=，GE= ，AE=，由AC为正方形ABCD的对角线，∠CAB=45°，即∠EAM=45°，可得∠AEM=∠EAM，可推AM=EM，利用勾股定理,EH=，利用勾股定理求出GF即可． 【详解】解：过E作EM⊥AB于M，连结EH， ∵BH＝2AH，AB=6，AH+BH=AB， ∴3AH=6， ∴AH=2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB=BC=DC=6，∠DAH=∠B=90°，DC∥AB， ∴∠CDG=∠AHG，∠DCG=∠HAG， ∴△DGC∽△HGA， ∴ ∴， 在Rt△DAH中，DH=， ∵DH=DG+GH=4GH=， ∴GH=， 在Rt△ABC中，AC=， ∵AC=AG+GC=4AG=， ∴AG=， ∵AE＝2CE，AE+CE=3CE=， ∴CE=， ∴GE=AC-AG-EC=， ∴AE=2EC=， ∵AC为正方形ABCD的对角线， ∴∠CAB=45°，即∠EAM=45°， ∵EM⊥AB， ∴∠EMA=90°， ∴∠AEM=90°-∠EAM=45°=∠EAM， ∴AM=EM， 在Rt△AEM中，， 解得, 在Rt△EHM中，EH=， 设GF=, ∵EF⊥DH， ∴EF2=GE2-FG2=EH2-FH2,即， 解得x=， 在Rt△EFG中， 故答案为． 【点睛】本题考查正方形性质，三角形相似判定与性质，线段的倍分与和差，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，本题难度较大，综合性较强，需要灵活掌握以上知识，特别是用辅助线画出准确图形是解题关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；所有整数解为3、4． 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解不等式组如下： 解①得：； 解②得：； ∴原不等式组的解集为； ∴原不等式组的所有整数解为3、4． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集． 16. 解分式方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验的过程求出结果即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 17. 化简（+a﹣2）÷ ． 【答案】 【解析】 【详解】分析：首先将括号里面的部分进行通分，再利用完全平方公式、平方差公式进行化简，之后进行约分即可. 详解：原式=• = 点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 18. 尺规作图：如图，在矩形中，M是边的中点，连接，在上求作一点P，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定．矩形的性质．由点P在上，，即得出，即过点D作的垂线即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 过点D作的垂线， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19. 如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且．已知，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出是解题关键．直接利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：， ， ， ，，，， ， 解得：． 21. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案； （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为： （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键． 22. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程2x2﹣2x＋1＝0是否是“邻根方程”？ （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； 【答案】（1）2x2﹣2x＋1＝0是“邻根方程”；（2）m＝0或−2 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况 【详解】解：（1）2x2﹣2x＋1＝0， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ 2x2﹣2x＋1＝0是“邻根方程”； （2）解方程得：（x−m）（x＋1）＝0， ∴x＝m或x＝−1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m＝−1＋1或m＝−1−1， ∴m＝0或−2． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 23. 如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：如图，过M作 而由题意可得 ∵， ∴△ABM∽△DCM， ∴，（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∵， ∴△MDH∽△ADB， ∴ ∴， 答：点M离地面的高度MH为6m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比． 24. 龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 【答案】应将每件上衣的售价降低30元 【解析】 【分析】设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每周售出数量-固定成本=8000． 【详解】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000， 解得：x1＝30，x2＝25 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存， 所以x＝30． 答：应将每件上衣的售价降低30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 25. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，作一个，使，，分别在，，上． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，为矩形内部一点，且，求周长的最小值． 问题解决 （3）如图3，在中，，，、分别为，上的动点，且，点为的中点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）周长的最小值为；（3）的周长最小值 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，作图—作已知角相等的角，矩形的性质，勾股定理，轴对称性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）先作，交于点E，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点F，连接，为所求； （2）过P点作于点H，根据三角形面积的求解先求出的长，过点P作且分别与，交于M，N，即P在线段上运动的，可得当有最小值时，则的周长有最小值，作B点关于的对称点，得出当，P，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值，根据矩形的性质，结合勾股定理得出的长，从而得出结果； （3）过点C作于点D，连接并延长至点N ，使得，连接并延长交于点M，连接并延长交于点F，利用等腰三角形的三线合一得到的长，再利用勾股定理求出的长，通过证明，推出四边形为平行四边形，得出点O在的中位线上运动，过点A作于点H，过点作交于点，交直线于点，连接，，，，即可得到垂直平分，则，得出当，O，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值，再利用勾股定理即可求出从而求出结果． 【详解】解：（1）先作，交于点E，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点F，连接， 则， ， 四边形是平行四边形， 如图，为所求： （2）如图，过P点作于点H， ， ， 解得： 过点P作且分别与，交于M，N，即P在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作B点关于的对称点， ，， ， 当，P，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值， 四边形是矩形， ， 在中，，， 此时的周长， 周长的最小值为； （3）解：如图，过点C作于点D，连接并延长至点N ，使得，连接并延长交于点M，连接并延长交于点F， ， 设，则， ∵，，， ， ， 点O为的中点， ， 又， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∴是的中位线， ∴， ∴点O在的中位线上运动， 过点A作于点H，过点作交于点，交直线于点，连接，，，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∵是的中位线， ∴根据平行线间距离相等可得，， ∴垂直平分， ∴， ， ， 当，O，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值， ∵， 的周长最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，作图—作已知角相等的角，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最短路径，熟练掌握相关性质定理，根据对称点找到最小值为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $