精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三(永通班)上学期开学考试数学试题

临澧一中2026届高三 入学 考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可. 【详解】集合， 因为，所以，所以集合， 所以， 故选：B. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2i 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法法则化简复数，再求得共轭，即可求解 【详解】解：， 则． 故选：B． 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】由换底公式得，，， 所以. 故选：D. 4. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，排除B、C，再由时，，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B、C不符合题意； 又由当时，，所以， 所以A不符合题意，D符合题意. 故选：D. 5. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和对称性，得到函数周期，再运用周期性解题即可. 【详解】函数是定义在R上的偶函数，则，由于， 则，故， 故，所以函数周期为2. 则. 故选：C. 6. 已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有， 即，解得. 故选：C. 7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为，， 所以， 又因为在区间上是减函数， 所以， 两式相减，得， 因为，所以. 故选：A. 8. 若正实数是方程的根，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题干中的方程，构造函数，进行求解. 【详解】由题可知，，即， 令，，在区间上恒成立， 则在上单调递增， ， 因为正实数是方程的根， 所以，即，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程同构，构造函数，从而得到. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，时等号成立，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由A知，，故， 故，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为2，故D错误. 故选：AC 10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数的零点所在区间为 B. 若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 C. 函数与函数是相同的函数 D. 若函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到，结合零点存在定理，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判断B正确；根据相同函数的判定方法，可判定C错误；由，求得，结合分组法，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得函数为单调递增函数， 可得，，即， 所以函数的零点所在区间为，所以A正确； 对于B中，由指数函数的性质，可得， 若关于x的方程有解，即方程有解， 所以实数m的取值范围是，所以B正确； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与函数不是相同的函数，所以C错误； 对于D中，因为函数满足， 令，可得，解得， 又由，所以D正确. 故选：ABD. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接对函数求导研究即可；对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可；对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可；对于D，将问题转化为证明，，构造函数，利用导数求其最值可得答案. 【详解】对于A，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 为的极小值点，A错误； 对于B，， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以函数有且只有1个零点，B正确； 对于C，若在上恒成立， 得在上恒成立， 则， 令，则， 令，， 当时，，单调递减， ，即， 在上单调递减， 故函数，则，C正确； 对于D， 令， ， 则 在上单调递减， 则，即， ， ，，结合A选项可得， ， ，函数在上单调递增， 则， 即对任意两个正实数，且，若，则，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角公式化简求值，即得答案. 【详解】 , 故答案为： 13. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 【答案】[－2，5] 【解析】 【详解】试题分析：，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件． 2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 14. 已知实数、满足，则________．（在“”、“” 、“” 、“” 、“”中选一个填在横线处） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，令，利用导数判断的单调性，解不等式可得. 【详解】由可得， 令，则，所以在单调递增， 所以，所以， 所以， 令，， 则，所以在单调递增， 因为，即，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解． 【小问1详解】 依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 16. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得的首项和公差，由此求得. （2）利用分组求和法求得，结合导数求得的最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则， 又，得，解得，所以. 【小问2详解】 设等比数列的公比为q，则，，所以，， 所以，，则， 所以， 令，则， 由于，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 且，， 所以当时，有最大值且最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【小问1详解】 双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则， 又因为，所以直线AB的方程为 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值； （2）若，证明：； （3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）若，则， 若，等价于， 设，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而结合面积列式求解即可； （2）分析可知原不等式等价于，构建，利用导数分析证明； （3）构建，分析可知原题意等价于有零点，利用导数分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 则，， 即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为， 令，可得， 可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得或， 所以的值为或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知：， 令，整理可得， 设， 则， 因为，，所以， 所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于， 所以只需，得， 所以正实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2026届高三 入学 考试试卷 数学 时量：120分钟总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2i 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 5. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 若正实数是方程的根，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为2 10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数的零点所在区间为 B. 若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 C. 函数与函数是相同的函数 D. 若函数满足，则 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则__________． 13. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 14. 已知实数、满足，则________．（在“”、“” 、“” 、“” 、“”中选一个填在横线处） 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 16. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值； （2）若，证明：； （3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $