第五章 函数应用-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第五章　函数应用 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=2x+2x-40的零点所在的一个区间是(　　) A.(2,3)　　　　B.(3,4) C.(4,5)　　　　D.(5,6) 2.用二分法计算函数y=f(x)的一个正零点时,零点附近函数值的参考数据如下:f(1)=-2,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.406 25)=-0.054,f(1.437 5)=0.162,f(1.6)=0.625,那么方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.1)为(　　) A.1.2　　　　B.1.3　　　　 C.1.4　　　　D.1.5 3.明清时期,古镇河口因水运而繁华.若有一商家的货船从石塘沿水路顺水航行,前往河口,途中因故障停留一段时间,到达河口后逆水航行返回石塘,假设货船在静水中的速度不变,水流速度不变,若该货船从石塘出发后所用的时间为x小时,货船与石塘的距离为y千米,则下列各图中,能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　) 4.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的,它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律,某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”,得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(单位:小时)的大致关系为y=1-0.6x0.06,则记忆率为20%时经过的时间约为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) A.80小时　　　　B.90小时 C.100小时　　　　D.120小时 5.若f(x)为奇函数,且x0是y=f(x)-ex 的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是(　　) A.y=f(x)ex+1　　　　B.y=f(-x)e-x-1 C.y=f(x)ex-1　　　　D.y=f(-x)ex+1 6.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有且仅有三个不等实根,则实数k的取值范围是(　　) A.k>0　　　　B.0<k<1　　　　 C.0<k<3　　　　D.1<k<3 7.已知实数x1,x2是函数f(x)=-|log2(x-1)|的两个零点,则下列结论正确的是(　　) A.(x1-1)(x2-1)∈　　　　B.(x1-1)(x2-1)∈ C.(x1-1)(x2-1)∈(1,2)　　　　D.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,1) 8.对于函数f(x)和g(x),设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”,若函数f(x)=ln(x-1)+x-2与g(x)=x2-ax+4互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.[4,5]　　　　C.　　　　D.[4,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列方程中,可以用二分法求近似解的有(　　) A.log2x+x=0　　　　B.ex+x=0 C.x2-2x+1=0　　　　D.+ln x=0 10.一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城出发,沿同一路径去往相距80 km的乙城,所行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示,有人根据函数图象,提出了关于这两位旅行者的下列信息,其中正确的信息是　　(　　) A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发1.5 h时追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发1.5 h时与骑自行车者速度一样 11.已知函数f(x)=令函数g(x)=f(x)-m,则下列判断中正确的是(　　) A.当m=1时,函数g(x)有2个零点 B.函数g(x)不可能只有1个零点 C.若函数g(x)有3个零点a,b,c(a<b<c),则abc的取值范围为(-∞,0) D.方程[f(x)]2-f(x)+1=0有5个不等实根 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.在借助已知数据求方程lg x=2-x的近似解(精确到0.1)时,某同学令f(x)=lg x+x-2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用二分法取到了4个x的值,计算其对应函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为1.8,那么他所取的4个值中的第2个值为　　　　.  13.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现:两岁燕子的飞行速度v(米/秒)可以表示为v=5log2(q为耗氧量),若某只两岁的燕子在耗氧量为q1时的飞行速度为v1米/秒,另一只两岁的燕子在耗氧量为q2时的飞行速度为v2米/秒,两只燕子同时起飞,则当q1=4q2时,一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为　　　　米.  14.已知x∈R,符号[x]表示不大于x的最大整数,比如[2.8]=2,[-5.3]=-6,若函数f(x)=+a(x>0)有且仅有2个零点,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=|2x-2|. (1)在给定的平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象; (2)设g(x)=|2x-2|+b,讨论g(x)的零点个数. 16.(15分)已知函数f(x)=的值域为M,函数g(x)=4x-2x+1(x∈M). (1)求M; (2)求函数g(x)的值域; (3)当x∈M时,若函数h(x)=4x-2x+1-b(b∈R)有零点,求b的取值范围,并讨论零点的个数. 17.(15分)小萌大学毕业后,家里给了她10万元,她想办一个“萌萌”加工厂.根据市场调研,她得出了一组毛利润y(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)的数据如下: 投入成本x/万元 0.5 1 2 3 4 5 6 毛利润y/万元 1.06 1.25 2 3.25 5 7.25 9.98 为了预测不同投入成本情况下的利润,她想在两个模型f(x)=ax2+b(a≠0),g(x)=p·2x+q(p≠0)中选一个进行预测. (1)根据投入成本为2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式,请你根据给定的数据选出一个较好的函数模型进行预测(不必说明理由),并预测她投入8万元时的毛利润; (2)若小萌准备最少投入2万元开办加工厂,请利用(1)中选定的模型,预测加工厂的毛利润率r的最大值,并说明理由.毛利润率= 18.(17分)已知函数f(x)=-(m+5)log2x+m+8的定义域为[4,16]. (1)如果不等式f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围; (2)如果函数y=f(x)存在两个不同的零点x1,x2(x1<x2). ①求实数m的取值范围; ②求的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1,b∈R)的图象过点(0,1),. (1)证明:函数f(x)的图象是轴对称图形; (2)若f(f(x))≥f(m+x)在区间[-1,1]上恒成立,求m的取值范围; (3)设函数g(x)=log2(t·2x-2t)-f(x)(t∈R),若g(x)有唯一零点,求实数t的取值范围. 答案全解全析 1.C　易知函数f(x)=2x+2x-40是R上的增函数,其图象是连续不断的,且f(4)=-16<0,f(5)=2>0,所以f(x)的零点所在的一个区间是(4,5). 2.C　因为1.6-1.437 5=0.162 5>0.1,所以不必考虑端点1.6; 因为1.406 25-1.25=0.156 25>0.1,所以不必考虑端点1.25和1; 因为f(1.437 5)>0,f(1.375)<0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数f(x)在(1.375,1.437 5)内有零点, 因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,所以满足精确度为0.1, 所以方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.1)可取区间(1.375,1.437 5)内的任意一个值(包括端点值),结合选项知选C. 3.A　由题意可得,货船从石塘到途中刚出现故障这段时间内,y随x的增大而增大,因故障停留的这段时间内,y随x的增大而不变,从解除故障到到达河口这段时间内,y随x的增大而增大,从河口返回石塘的这段时间内,y随x的增大而减小,A中图象符合. 4.C　根据题意得=1-0.6x0.06,整理得=x0.06,两边同取以10为底的对数,得lg =0.06lg x,即2lg 2-lg 3=0.06lg x,又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以lg x≈=2=lg 100,得x=100. 5.A　∵x0是y=f(x)-ex的一个零点,∴f(x0)-=0. 又∵f(x)为奇函数,∴f(-x0)=-f(x0), ∴-f(-x0)-=0,即f(-x0)+=0,∴f(-x0)+1=0, ∴-x0一定是y=f(x)ex+1的零点. 6.B　在同一平面直角坐标系中画出f(x)的图象及直线y=k,如图所示, 由图可知,要使方程f(x)=k有且仅有三个不等实根,即f(x)的图象与直线y=k有三个不同的公共点,则需0<k<1. 7.B　令f(x)=0,则=|log2(x-1)|,在同一平面直角坐标系中作出函数y=与y=|log2(x-1)|的图象,如图所示. 不妨设x1<x2,则由图可得1<x1<2<x2,所以(x1-2)(x2-2)<0,故D错误. 因为log2[(x1-1)(x2-1)]=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-+<0,所以0<(x1-1)(x2-1)<1,故C错误. 因为<1=log2,所以<x1<2,即<x1-1<1,又x2-1>1,所以<(x1-1)(x2-1)<1,故A错误,B正确. 8.B　函数f(x)的定义域为(1,+∞), 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)+x1-2-[ln(x2-1)+x2-2]=ln(x1-1)-ln(x2-1)+(x1-x2), 因为1<x1<x2,所以0<x1-1<x2-1,所以ln(x1-1)-ln(x2-1)<0,又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上单调递增, 由f(2)=0,知f(x)只有一个零点2, 因为函数f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”,所以g(x)=x2-ax+4在[1,3]上存在零点, 则Δ=a2-16≥0,解得a≥4或a≤-4, 当Δ=0,即 a=±4时,g(x)存在唯一零点,当a=4时,零点为2∈[1,3],符合题意;当a=-4时,零点为-2∉[1,3],不符合题意. 当Δ>0,即 a>4或a<-4 时,令g(1)=0,则a=5,令g(3)=0,则a=,均符合题意; 若g(x)在 (1,3)上只有1个零点,则g(1)g(3)<0,即(5-a)(13-3a)<0,解得<a<5; 若g(x)在 (1,3)上有2个零点,则解得2<a<,所以4<a<. 综上,实数a的取值范围是[4,5]. 9.ABD　对于A,令f(x)=log2x+x,其在(0,+∞)上单调递增,且其图象在(0,+∞)上连续,又f=-1+<0,f(1)=1>0,所以f(x)在上有零点,且在零点两侧f(x)的值异号,故A符合题意; 对于B,令f(x)=ex+x,其在R上单调递增且图象连续,又f(0)=1>0,f(-1)=e-1-1<0,所以f(x)在(-1,0)上有零点,且在零点两侧f(x)的值异号,故B符合题意; 对于C,令f(x)=x2-2x+1,由x2-2x+1=(x-1)2≥0,得在零点1左、右两侧f(x)的值均为正,故C不符合题意; 对于D,令f(x)=+ln x,其在(0,+∞)上单调递增,且其图象在(0,+∞)上连续,又f=-1<0,f(1)=1>0,所以f(x)在上有零点,且在零点两侧f(x)的值异号,故D符合题意. 10.AB　由题图知,骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h,A正确; 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线段,所以是匀速运动,而骑自行车者前3 h与后2 h行驶的速度不相等,所以是变速运动,B正确; 骑摩托车者的速度为40 km/h,他出发1 h后离骑自行车者还有10 km的路程,骑自行车者后2 h的速度为15 km/h,故骑摩托车者还需要= h才能追上骑自行车者,故骑摩托车者在出发1.4 h时追上了骑自行车者,故C,D错误. 11.ACD　因为f(x)=所以f=f(e)=1,画出f(x)的图象如图所示: 函数g(x)=f(x)-m的零点个数,即y=f(x)的图象与直线y=m的交点个数, 当m=1时,y=f(x)的图象与直线y=m有2个交点,故g(x)有2个零点,故A正确; 当m=0时,y=f(x)的图象与直线y=m有1个交点,故g(x)有1个零点,故B错误; 若g(x)有3个零点a,b,c(a<b<c),则0<m<1, 由图可知a<0<<b<1<c<e,且-ln b=ln c,所以ln(bc)=0, 则bc=1,所以abc的取值范围为(-∞,0),故C正确; [f(x)]2-f(x)+1=0即f(x)-[f(x)-2]=0,得f(x)=或f(x)=2, 由图可得方程f(x)=有3个不等实根,方程f(x)=2有2个不等实根, 所以方程[f(x)]2-f(x)+1=0有5个不等实根,故D正确. 12.答案　1.75 解析　根据二分法的定义,可知最初确定的区间是(1,2),又方程的近似解为1.8, 故后4个区间分别是(1.5,2),(1.75,2),(1.75,1.875),(1.75,1.812 5), 故它取的4个值分别为1.5,1.75,1.875,1.812 5,第2个值为1.75. 13.答案　600 解析　因为v=5log2,所以q=10·,所以q1=10·,q2=10·,又q1=4q2,所以10·=40·,即=4,故v1-v2=10, 故一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为60×10=600(米). 14.答案　 解析　当x>0时,由f(x)=+a=0可得-ax=[x], 则问题转化为直线y=-ax与函数y=[x]的图象在(0,+∞)上有两个交点,如图所示, 当直线y=-ax经过点(3,2)时,有-3a=2,解得a=-; 当直线y=-ax经过点(4,3)时,有-4a=3,解得a=-. 由图可知,当-≤a<-时,直线y=-ax与函数y=[x]的图象在(0,+∞)上有两个交点. 因此实数a的取值范围是. 15.解析　(1)将y=2x的图象向下平移2个单位长度,得到y=2x-2的图象,　　(2分) 再将y=2x-2位于x轴下方的图象对称至x轴上方,其余部分保持不变,即得到f(x)=|2x-2|的图象.(4分) 则函数f(x)的图象如图所示. (6分) (2)令g(x)=0,可得f(x)=-b, g(x)的零点个数即为y=f(x)的图象与直线y=-b的交点个数.(7分) 由(1)中图象可知,当-b<0,即b>0时,二者无交点; 当-b=0或-b≥2,即b=0或b≤-2时,二者有一个交点; 当0<-b<2,即-2<b<0时,二者有两个交点.(10分) 综上所述,当b>0时,g(x)无零点; 当b=0或b≤-2时,g(x)的零点个数为1; 当-2<b<0时,g(x)的零点个数为2.(13分) 16.解析　(1)函数y=3-x是减函数,当x<0时,y>3; 函数y=ln x是增函数,当0<x<e时,y<1, ∴M=(-∞,1)∪(3,+∞).　　(3分) (2)设t=2x,则函数g(x)=4x-2x+1即为y=t2-2t=(t-1)2-1. ∵x∈M,∴x<1或x>3,∴t∈(0,2)∪(8,+∞).(5分) 当t∈(0,2)时,y∈[-1,0); 当t∈(8,+∞)时,y∈(48,+∞). 故函数y=t2-2t的值域为[-1,0)∪(48,+∞). 故函数g(x)的值域为[-1,0)∪(48,+∞).(8分) (3)函数h(x)=4x-2x+1-b有零点等价于方程4x-2x+1-b=0有实数根, 即方程4x-2x+1=b有实数根, 等价于直线y=b与函数y=g(x)(x∈M)的图象有交点.(10分) 由(2)知g(x)∈[-1,0)∪(48,+∞),∴当且仅当b∈[-1,0)∪(48,+∞)时,函数h(x)=4x-2x+1-b有零点. 结合一元二次函数的图象与性质及(2)可得, 当t∈(0,1]时,函数y=t2-2t单调递减, 当t∈[1,2)时,函数y=t2-2t单调递增, 当t∈(8,+∞)时,函数y=t2-2t单调递增.(12分) ∴当b=-1或b∈(48,+∞)时,函数h(x)只有一个零点;(14分) 当b∈(-1,0)时,函数h(x)有两个零点.(15分) 17.解析　(1)求第一个模型f(x)=ax2+b(a≠0)的解析式, 由已知数据可得解得(2分) 所以f(x)=x2+1(0<x≤10). 同理可求得g(x)=·2x+1(0<x≤10).(5分) f(x)=x2+1(0<x≤10)是较好的函数模型.(7分) 当x=8时,毛利润为×82+1=17(万元).(8分) (2)预测加工厂的毛利润率r的最大值为.理由如下:(9分) r===+(2≤x≤10). 任取x1,x2∈[2,10],且x1<x2, 则r2-r1=+-==.(11分) 因为x2>x1≥2,所以x1x2-4>0,x2-x1>0,所以r2-r1>0,即r2>r1, 所以r==+在[2,10]上单调递增,(13分) 故当x=10时,rmax=+=.(15分) 18.解析　(1)因为函数f(x)的定义域为[4,16],所以log2x∈[2,4], 令t=log2x,则t∈[2,4], f(x)=-(m+5)·log2x+m+8可转化为g(t)=t2-(m+5)t+m+8, 则不等式f(x)>0恒成立,等价于g(t)=t2-(m+5)t+m+8>0在[2,4]上恒成立,(2分) 由于t-1>0,故g(t)=t2-(t-1)m-5t+8>0在[2,4]上恒成立即>m在[2,4]上恒成立, 因为=t-1+-3≥2-3=1, 当且仅当t-1=,即t=3时取等号,所以m<1.(6分) (2)①由(1)知函数y=f(x)存在两个不同的零点x1,x2(x1<x2),等价于g(t)=t2-(m+5)t+m+8,t∈[2,4]存在两个不同的零点t1,t2,设t1<t2,由对数函数y=log2x为增函数,得t1=log2x1,t2=log2x2,t1,t2∈[2,4],(8分) 则即(10分) 所以1<m≤,故实数m的取值范围为1<m≤.(11分) ②由①得t1+t2=m+5,t1t2=m+8,t1<t2, 则log2=log2x2-log2x1=t2-t1= == =,(13分) 因为m∈,所以(m+3)2-16∈, 则log2=∈, 故的最大值为,(15分) 则===1-, 当=时,1-取得最大值,为1-=,故的最大值为.(17分) 19.解析　(1)证明:因为函数f(x)的图象过点(0,1),, 所以解得(2分) 所以f(x)=log2=log2,其定义域为R,关于原点对称, 且f(-x)=log2=log2=f(x), 所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称, 即函数f(x)的图象是轴对称图形.(4分) (2)由(1)知f(x)=log2,令u=2x+, 当x>0时,u=2x+单调递增,且y=log2u在u∈(0,+∞)上也单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 结合f(x)是偶函数可知,若f(f(x))≥f(m+x)在区间[-1,1]上恒成立, 则|f(x)|=log2≥|m+x|在[-1,1]上恒成立, 可得log2≥m+x或log2≤-m-x在区间[-1,1]上恒成立,(6分) 若log2≥m+x在区间[-1,1]上恒成立, 则m≤,x∈[-1,1], 令h(x)=log2-x=log2-log22x=log2,x∈[-1,1],令v=1+, 易知v=1+在x∈[-1,1]上单调递减,y=log2v在v∈(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)在x∈[-1,1]上单调递减, 可得h(x)≥h(1)=log2=log2,即m≤log2.(8分) 若log2≤-m-x在区间[-1,1]上恒成立, 则m≤,x∈[-1,1], 令l(x)=-log2-x=-log2-log22x=log2,x∈[-1,1],令s=, 易知s=在x∈[-1,1]上单调递减,y=log2s在s∈(0,+∞)上单调递增, 所以l(x)在x∈[-1,1]上单调递减, 可得l(x)≤l(1)=log2=log2,即m≤log2. 综上所述,m≤-log25.(10分) (3)由t·2x-2t=t·(2x-2)>0得或 即或 令g(x)=log2(t·2x-2t)-f(x)=0, 可得log2(t·2x-2t)=log2,即t·22x-2t·2x=22x+1, 令n=2x(n>2或0<n<2), 可得(t-1)n2-2tn-1=0(t>0)在n∈(2,+∞)上有唯一零点, 或(t-1)n2-2tn-1=0(t<0)在n∈(0,2)上有唯一零点, (12分) 令p(n)=(t-1)n2-2tn-1, (i)若(t-1)n2-2tn-1=0(t>0)在n∈(2,+∞)上有唯一零点, 则当t=1时,(t-1)n2-2tn-1=0即-2n-1=0,得n=-,由n=2x>0得无解; 当t>1时,可得或p(2)<0,可得t>1; 当0<t<1时,可得或p(2)>0,无解.(15分) (ii)若(t-1)n2-2tn-1=0(t<0)在n∈(0,2)上有唯一零点, 可得或p(0)p(2)<0,解得t=. 综上所述,实数t的取值范围为(1,+∞)∪.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$