第四章 对数运算与对数函数-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第四章　对数运算与对数函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|log2(x-1)≤2},则A∩B中的元素个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 2.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　) A.-e　　　　B.-　　　　C.e　　　　D. 3.已知2m=9n=6,则+=(　　) A.log618　　　　B.log65 C.1　　　　D.2 4.函数f(x)=log0.3(-x2-2x+3)的单调递增区间为(　　 ) A.(-1,1)　　　　B.(-3,-1) C.(-1,+∞)　　　　D.(-∞,-1) 5.已知lg a=-lg b≠0,则函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx在同一坐标系内的图象可能是(　　) 　　　　 　　　　 6.生物入侵是指生物由原生存地侵入另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象,若某入侵物种的个体的平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,且繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期,可用对数型函数模型K(n)=λlog3n(λ为常数)来描述该物种的累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=+1,在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=6,T=60,据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　) A.19.5　　　　B.20.5　　　　C.22.5　　　　D.19 7.已知定义在R上的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,记a=f ,b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<c<b　　　　B.b<a<c C.b<c<a　　　　D.c<a<b 8.已知函数f(x)=m(x-)+2,g(x)=ln,∃x1∈[0,1],∀x2∈[0,4],都有g(x1)<f(x2),则实数m的取值范围是(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.关于函数f(x)=log3,下列说法正确的有(　　) A. f(2)=1 B. f(x)的图象关于y轴对称 C. f(x)的图象关于原点对称 D. f(x)在定义域上单调递减 10.定义(a,b)为a,b之间的一种运算,若ac=b,则(a,b)=c,则下列正确的是(　　) A.(4,6)=2×(2,3)　　　　B.(2,2)=1 C.(2,6)-(2,3)=1　　　　D.(4,5)+(4,6)=(4,30) 11.定义“正对数”:ln+x=若a>0,b>0,则下列结论中正确的是(　　) A.ln+(ab)=bln+a　　　　B.ln+(ab)=ln+a+ln+b C.ln+(a+b)≥ln+a+ln+b　　　　D.ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.计算:lg 5×20++eln π=　　　　.  13.如图,直线y=t与函数y=log2x,y=log5x,y=logax(a>0且a≠1)的图象分别交于A,B,C三点,A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,且=x1x2,则a=　　　　.  14.若函数f(x)=·ln(x+1)的值域为(0,+∞),则实数k的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在①f(x+1)=f(x)+2x-1;②f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3;③f(x)≥2恒成立,且f(0)=3这三个条件中选择一个,补充在下面的问题中,并作答. 已知一元二次函数f(x)的图象经过点(1,2),　　　　　　　.  (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=log2(6-x)+log2(6+x),求g(f(x))在x∈[0,2]上的值域. 注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)设函数f(x)=lg(-2x),g(x)=4x-2x+2+3. (1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并证明; (2)写出函数y=f(g(x))的单调区间(直接写出结果); (3)若∀x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1恒成立,求a的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=ln x. (1)若函数g(x)=且g(x)是增函数,求实数k的取值范围; (2)若对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立,求a的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-kx为偶函数. (1)求实数k的值; (2)求函数f(x)的最小值; (3)若函数g(x)=ef(x)+kx+t·ex,x∈[0,ln 2],那么是否存在实数t,使得g(x)的最小值为1?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)已知定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意的x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数f(x)=1+a+,g(x)=. (1)若函数g(x)为奇函数,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,求函数g(x)在区间上的所有上界构成的集合; (3)若函数f(x)在[0,+∞)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 答案全解全析 1.C　因为log2(x-1)≤2,所以0<x-1≤22,得1<x≤5,故B={x|1<x≤5},则A∩B={2,3,4},共3个元素. 2.D　由题意得f(x)=ln x,∵f(m)=-1,∴ln m=-1,解得m=. 3.D　由2m=9n=6,可得m=log26,n=log96, 所以+=+=2log62+log69=log64+log69=log636=2. 4.A　由题意知-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,故f(x)的定义域为(-3,1). 因为函数y=-x2-2x+3的图象开口向下,对称轴为直线x=-1, 所以y=-x2-2x+3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 又0<0.3<1,所以y=log0.3x在定义域上为减函数, 由复合函数“同增异减”的原则知,函数f(x)=log0.3(-x2-2x+3)的单调递增区间为(-1,1). 5.C　f(x)=a-x=,g(x)=logbx, 由lg a=-lg b≠0,得ab=1,a>0且a≠1,b>0且b≠1, 若a>1,则0<b<1,故函数f(x)在R上单调递减,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,四个选项均不符合; 若0<a<1,则b>1,故函数f(x)在R上单调递增,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,只有C项符合. 6.C　把Q=6,T=60代入Q=+1,解得λ=12. 设该物种繁殖到初始累计繁殖数量的时间为K1天,繁殖到累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为K2天, 则K2-K1=12log3(8n)-12log3n=12log38=12×=12×≈22.5, 所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为22.5天. 7.C　因为函数f(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增, 所以该函数在[0,+∞)上单调递减,且有f(x)=f(|x|), 则a=f =f(log52),b=f =f(log25),c=f , 因为0<log52<log5=,log25>log22=1,=<<=1, 所以0<log52<<log25,又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, 所以f(log52)>f >f(log25),可得b<c<a. 8.C　由∃x1∈[0,1],∀x2∈[0,4],都有g(x1)<f(x2),可得g(x)在[0,1]上的最小值小于f(x)在[0,4]上的最小值. 易知g(x)=ln=ln在[0,1]上单调递增,∴g(x)min=g(0)=0. 对于f(x)=m(x-)+2,当m=0时,f(x)=2>0恒成立; 当m>0时,f(x)在[0,4]上单调递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0<m<1; 当m<0时,f(x)在[0,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)=4m+2,由4m+2>0,解得m>-,∴-<m<0. 综上,实数m的取值范围是. 9.AC　f(2)=log33=1,故A正确; 由+1==>0,解得x<-1或x>1, 所以f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞), 又f(-x)=log3=log3=log3=-log3=-f(x), 所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故B错误,C正确; 易知y=+1在区间(-∞,-1),(1,+∞)上均单调递减, y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以根据复合函数“同增异减”的原则可知,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上均单调递减,但在整个定义域上不单调递减,故D错误. 10.BCD　对于A,设(4,6)=x1,(2,3)=x2,则=6,=3,得x1=log46=log26=log2,x2=log23, 而2×(2,3)=2x2=2log23=log29,故(4,6)=2×(2,3)不成立,因此A错误; 对于B,设(2,2)=x3,则=2,得x3=log22=1,因此B正确; 对于C,设(2,6)=x4,则=6,得x4=log26,由A选项得x2=log23, 则(2,6)-(2,3)=x4-x2=log26-log23=log22=1,因此C正确; 对于D,设(4,5)=x5,则=5,得x5=log45,由A选项得x1=log46, 设(4,30)=x6,则=30,得x6=log430, 则x5+x1=log45+log46=log430=x6,即有(4,5)+(4,6)=(4,30),因此D正确. 11.AD　对于A,当0<a<1,b>0时,有0<ab<1,从而ln +(ab)=0,bln+a=b×0=0,所以ln +(ab)=bln+a;当a≥1,b>0时,有ab≥1,从而ln +(ab)=ln ab=bln a,bln+a=bln a,所以ln +(ab)=bln+a.所以当a>0,b>0时,ln+(ab)=bln+a,所以A正确. 对于B,当a=,b=2时满足a>0,b>0,而ln +(ab)=ln +=0,ln+a+ln+b=ln ++ln +2=ln 2,所以ln +(ab)≠ln +a+ln +b,所以B错误. 对于C,令a=2,b=4,则ln +(2+4)=ln 6,ln +2+ln +4=ln 2+ln 4=ln 8,显然ln 6<ln 8,所以C错误. 对于D,由“正对数”的定义知,当0<x1≤x2时,有ln +x1≤ln +x2. 当0<a<1,0<b<1时,有0<a+b<2, 从而ln +(a+b)<ln +2=ln 2,ln +a+ln +b+ln 2=0+0+ln 2=ln 2, 所以ln +(a+b)<ln +a+ln +b+ln 2; 当a≥1,0<b<1时,有a+b>1, 从而ln +(a+b)=ln(a+b)<ln(a+a)=ln(2a),ln +a+ln +b+ln 2=ln a+0+ln 2=ln(2a),所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln 2; 当0<a<1,b≥1时,有a+b>1, 从而ln+(a+b)=ln(a+b)<ln(b+b)=ln(2b),ln+a+ln+b+ln 2=0+ln b+ln 2=ln(2b),所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln 2; 当a≥1,b≥1时,ln +(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln +b+ln 2=ln a+ln b+ln 2=ln(2ab), 因为2ab-(a+b)=ab-a+ab-b=a(b-1)+b(a-1)≥0,所以2ab≥a+b,所以ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2. 综上所述,当a>0,b>0时,ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2,所以D正确. 12.答案　2+π 解析　lg 5×20++eln π=lg 5×+2(lg 2)2+π =2lg 5×(1+lg 2)+2(lg 2)2+π=2lg 5+2lg 5×lg 2+2(lg 2)2+π =2lg 5+2lg 2×(lg 5+lg 2)+π =2lg 5+2lg 2+π=2+π. 13.答案　 解析　根据题意可知log2x1=t,log5x2=t,logax3=t, 因此可得x1=2t,x2=5t,x3=at, 又=x1x2,所以=2t×5t=10t=, 又因为幂函数y=xt在(0,+∞)上单调,所以a2=10,所以a=. 14.答案　-2 解析　易知f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞), 因为f(x)的值域为(0,+∞),所以f(x)>0在(-1,0)∪(0,+∞)上恒成立, 当-1<x<0时,0<x+1<1,则ln(x+1)<0, 此时必有x++2+k<0,变形可得k+2>-, 当x>0时,x+1>1,则ln(x+1)>0, 此时必有x++2+k>0,变形可得k+2>-, 综上可得k+2>-在(-1,0)∪(0,+∞)上恒成立. 设g(x)=,x∈(-1,0)∪(0,+∞), 则g(x)===x-1+=x+1+-2, 因为x∈(-1,0)∪(0,+∞),所以x+1>0,且x+1≠1, 故g(x)=(x+1)+-2>2-2=0, 所以-=-g(x)<0, 因为k+2>-在(-1,0)∪(0,+∞)上恒成立, 所以k+2≥0,解得k≥-2,故实数k的最小值为-2. 15.解析　(1)选①:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),(1分) 由f(x+1)=f(x)+2x-1=ax2+(b+2)x+c-1,可得 解得(3分) 则f(x)=x2-2x+c,由f(1)=c-1=2可得c=3, 所以f(x)=x2-2x+3.(5分) 选②:因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,(1分) 因为f(1)=2,所以可设f(x)=a(x-1)2+2(a≠0),(3分) 则f(0)=a+2=3,解得a=1, 所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3.(5分) 选③:因为f(x)≥2恒成立且f(1)=2, 所以可设f(x)=a(x-1)2+2,其中a>0,(1分) 则f(0)=a+2=3,解得a=1,(3分) 所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3.(5分) (2)当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+2∈[2,3], 令u=f(x),则u∈[2,3],(7分) g(x)=log2(6-x)+log2(6+x)=log2(36-x2), g(f(x))=g(u)=log2(36-u2).(9分) 令t=36-u2,u∈[2,3],则t∈[27,32], 又函数y=log2t在t∈[27,32]上单调递增, 所以函数y=log2t(t∈[27,32])的值域为[3log23,5].(12分) 所以g(f(x))在x∈[0,2]上的值域为[3log23,5].(13分) 16.解析　(1)函数y=f(x)是奇函数.(1分) 证明:因为>=2|x|≥2x, 所以函数f(x)=lg(-2x)的定义域为R,(3分) 又f(-x)+f(x)=lg[-2(-x)]+lg(-2x) =lg{[-2(-x)](-2x)}=lg 1=0, 所以函数y=f(x)是奇函数.(5分) (2)函数y=f(g(x))的单调递减区间为[1,+∞),单调递增区间为(-∞,1].(10分) (3)因为∀x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1恒成立,g(x)=4x-2x+2+3, 所以4x-(4+a)2x+4≥0, 令t=2x,则t∈[1,3],因此t2-(4+a)t+4≥0,t∈[1,3]恒成立,所以a≤t+-4,t∈[1,3],(13分) 而t+-4≥2-4=0,当且仅当t=2时,等号成立, 因此a≤0,故a的取值范围为(-∞,0].(15分) 17.解析　(1)因为函数g(x)是R上的增函数, 所以即(3分) 解得2≤k≤3, 故k的取值范围为[2,3].(5分) (2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以(7分) 由(2-a)ex-1>0得a<2-在x∈(0,+∞)上恒成立, 因为x>0,所以ex>1,所以0<<1,所以1<2-<2,所以0<a≤1.(9分) 因为对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立, 所以f((2-a)ex-1)≤f(ae2x), 因为f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以(2-a)ex-1≤ae2x在(0,+∞)上恒成立, 所以a≥在(0,+∞)上恒成立,(12分) 令t=2ex-1,则ex=,t∈(1,+∞), 所以a≥在t∈(1,+∞)上恒成立, 因为=≤=4-2,当且仅当t=时,等号成立, 所以a≥4-2.(14分) 综上,a的取值范围为[4-2,1].(15分) 18.解析　(1)函数f(x)=ln(e2x+1)-kx的定义域为R,(1分) f(-x)=ln(e-2x+1)+kx=ln(e2x+1)-ln e2x+kx=ln(e2x+1)+(k-2)x,(2分) 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即k-2=-k,解得k=1.(4分) (2)由(1)得f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=ln,设t=ex,所以ln =ln=ln,t∈(0,+∞),(6分) 因为t>0,所以t+≥2,所以ln≥ln 2,(7分) 当且仅当t=,即t=1,即ex=1,即x=0时,等号成立, 所以函数f(x)的最小值为ln 2.(9分) (3)由(1)得f(x)=ln(e2x+1)-x,则g(x)=ef(x)+x+t·ex=+t·ex=e2x+t·ex+1,x∈[0,ln 2], 令ex=m,则g(x)=e2x+t·ex+1等价为h(m)=m2+tm+1,m∈[1,2],(11分) 易知函数y=m2+tm+1的图象的对称轴为直线m=-, 当-≤1,即t≥-2时,h(m)在[1,2]上单调递增,则h(m)min =h(1)=2+t,令2+t=1,得t=-1,成立;(13分) 当-≥2,即t≤-4时,h(m)在[1,2]上单调递减,则h(m)min =h(2)=5+2t,令5+2t=1,得t=-2,不成立,舍去;(15分) 当1<-<2,即-4<t<-2时,函数h(m)的最小值为h=1-, 令1-=1,得t=0(二重根),不成立,舍去. 综上可知,t=-1.(17分) 19.解析　(1)因为g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x), 即=-,所以=,解得a=±1,(3分) 当a=1时,不合题意,故a=-1.(4分) (2)由(1)知g(x)==, 令t=1+,因为t=1+在(1,+∞)上单调递减,y=t在定义域上单调递减,所以由复合函数的单调性可知g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以g(x)在区间上单调递增,(6分) 则g(x)max=g(3)==2=-1, g(x)min=g=lo=lo4=-2, 所以g(x)在区间上的值域为[-2,-1],所以|g(x)|≤2,(9分) 故函数g(x)在区间上的所有上界构成的集合为[2,+∞).(11分) (3)由题意可知|f(x)|≤2在[0,+∞)上恒成立,所以-2≤f(x)≤2, 即-2≤1+a+≤2,所以-3·2x-≤a≤2x-在[0,+∞)上恒成立, 所以≤a≤,x∈[0,+∞).(14分) 令m=2x,h(m)=-3m-,p(m)=m-,m≥1, 易知h(m)=-3m-在[1,+∞)上单调递减,所以h(m)max=h(1)=-3-1=-4, p(m)=m-在[1,+∞)上单调递增,所以p(m)min=p(1)=1-1=0, 所以-4≤a≤0,即实数a的取值范围为[-4,0].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$