第二十三章旋转章末复习训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十三章　旋转 1．如图1，正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么该图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有（　　） 图1 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．如图2，将等腰三角形ABC绕点B顺时针旋转一定角度得到△DBE，点C恰好在边DE上．若∠A的度数为α，则∠DBC的度数为（　　） 图2 A． B． C． D． 3．【转化思想】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，E是边AC上一点，连接BE，将BE绕BB顺时针旋转60°到BF，则CF长的最小值为（　　） 图3 A． B．2 C．2 D．2 4．△ABC和△ADE是两个顶角重合的等腰三角形，将△ADE绕点A旋转到如图4所示的位置，连接BD，CE，且BD与CE相交于点F，连接AF.若∠ABC＝70°，则∠AFB＝________°. 图4 5．【问题探究】如图5①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF＋BE. 观察猜想：EF，DF，BE三条线段不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明？ 思路探究：将△ABE绕点A顺时针旋转90°使AB与AD重合，点E的对应点为点G. （1）根据上述思路在图5①中画出旋转后的图形，并证明EF＝DF＋BE. 【类比迁移】 （2）①如图5②，在正方形ABCD中，E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是什么？并说明理由． ②如图5③，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是____________． 图5 6．在数学活动中，某兴趣小组准备将一张三角形纸片（如图6）进行分割，然后拼成一个四边形． （1）根据以下要求画图： ①用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连接分割线DE，画分割线AF⊥DE于点F； ②把①中得到的三块图形旋转拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出（画出一种情况即可）． （2）请判断（1）中所拼的四边形的形状，并说明理由． 图6 7．如图7，正方形①和②关于点A对称，正方形②和③关于点B对称．若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为________°. 图7 8．如图8，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（－3，0），（0，3），（3，0）.一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到与点O关于点A成中心对称的点P1处；第二次跳跃到与点P1关于点B成中心对称的点P2处；第三次跳跃到与点P2关于点C成中心对称的点P3处；第四次跳跃到与点P3关于点A成中心对称的点P4处……电动玩具照此规律跳下去，则点P2 025的坐标是________． 图8 9．下列理化实验常见的符号或仪器的示意图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） 10．如图9，已知正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别是3和2，且对称中心都是点O，则图中阴影部分的面积是（　　） 图9 A． 　　　 B． C．1 　　　 D． 11．若点P（x，y）的坐标满足（x＋3）2＋＝0，则点P关于原点对称的点的坐标为__________. 12．已知点P（3a－9，1－a）在坐标轴上，则其关于原点对称的点的坐标为__________. 本章重点压轴题 13．【问题情境】 如图10，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点A（5，0）在x轴上，点B（0，3）在y轴上．把矩形AOBC绕点A顺时针旋转，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为点D，E，F. 图10 （1）如图10①，当点D落在边BC上时，求点D的坐标． 【深入探究】 （2）如图10②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H. ①求证：△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． 【拓展探究】 （3）在（1）的情况下，已知M是x轴上任意一点，N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 中考新题型　全国视野——综合实践与探究 14．（2024兰州）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图11①，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM. 【初步尝试】（1）如图11①，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图11②，在△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图11③，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值． ① ② ③ 图11 第二十三章　旋转 1．C　2.B　3.B　4.70 5．（1）证明：如答图1，△ADG为旋转后的图形． 答图1 根据旋转的性质，得AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠B＝90°. ∴∠ADG＝∠B＝90°. ∴∠ADF＋∠ADG＝180°.∴F，D，G三点共线． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠FAD＝∠BAD－∠EAF＝45°. ∴∠DAG＋∠FAD＝∠GAF＝45°. ∴∠EAF＝∠GAF. 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF（SAS）. ∴EF＝GF＝DF＋DG.∴EF＝DF＋BE. （2）解：①EF＝DF－BE.理由如下： 如答图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM. 答图2 根据旋转的性质，得AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM. ∴∠MAF＝∠EAM－∠EAF＝45°.∴∠EAF＝∠MAF. 在△AEF和△AMF中， ∴△AEF≌△AMF（SAS）. ∴EF＝MF＝DF－DM＝DF－BE. ②BE＝EF＋DF. 【提示】如答图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABN. 　 答图3 根据旋转的性质，得AN＝AF，∠NAF＝90°，BN＝DF. ∵∠EAF＝45°，∴∠EAN＝∠NAF－∠EAF＝45°. ∴∠EAN＝∠EAF. 在△AEF和△AEN中， ∴△AEF≌△AEN（SAS）. ∴EF＝EN.∴BE＝BN＋EN＝DF＋EF. 6．解：（1）①如答图4，DE，AF即为所求． 答图4 ②如答图5所示，四边形MBCN即为所求． 　　 答图5 （情况2：如答图6，四边形DBCN即为所求． 答图6 情况3：如答图7，四边形MBCE即为所求．） 　　 答图7 （2）四边形MBCN是矩形．理由如下： 根据旋转的性质，得∠BDM＝∠ADF，∠CEN＝∠AEF，DM＝DF，EN＝EF，∠M＝∠AFD. ∴∠BDM＋∠BDE＝∠ADF＋∠BDE＝180°，∠CEN＋∠CED＝∠AEF＋∠CED＝180°. ∴点M，D，E，N在同一条直线上． ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC，且BC＝2DE. ∵DM＋EN＝DF＋EF＝DE， ∴MN＝DM＋DE＋EN＝2DE＝BC. 又MN∥BC， ∴四边形MBCN是平行四边形． ∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°.∴∠M＝∠AFD＝90°. ∴四边形MBCN是矩形． （情况2：四边形DBCN是平行四边形．理由如下： 根据旋转的性质，得∠CEN＝∠AED，NE＝DE. ∴∠CEN＋∠CED＝∠AED＋∠CED＝180°. ∴点D，E，N在同一条直线上． ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线．∴DE∥BC，且BC＝2DE. ∴DN＝DE＋NE＝2DE＝BC. 又DN∥BC，∴四边形DBCN为平行四边形． 情况3：四边形MBCE是平行四边形．理由如下： 根据旋转的性质，得∠BDM＝∠ADE，DM＝DE. ∴∠BDM＋∠BDE＝∠ADE＋∠BDE＝180°. ∴点M，D，E在同一条直线上． ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线． ∴DE∥BC，且BC＝2DE.∴ME＝DM＋DE＝2DE＝BC. 又ME∥BC，∴四边形MBCE为平行四边形．） 7．90　8.（0，－6）　9.D　10.D　11.（3，5）　 12．（0，2）或（6，0） 13．解：（1）∵四边形AOBC是矩形，A（5，0），B（0，3）， ∴∠C＝90°，AC＝OB＝3，BC＝OA＝5. 根据旋转的性质，得DA＝OA＝5. 当点D在边BC上时，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝4. ∴BD＝BC－CD＝5－4＝1. ∴点D的坐标为（1，3）. （2）①证明：∵四边形APBC是矩形，∴∠ADE＝90°. 根据旋转的性质，得DA＝OA. ∵点D在线段BE上，∠ADE＝90°， ∴∠ADB＝180°－∠ADE＝90°. 在Rt△ADB和Rt△AOB中， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）. ②∵四边形AOBC是矩形，∴BC∥OA.∴∠CBA＝∠OAB. 由①，得△ADB≌△AOB.∴∠DAB＝∠OAB. ∴∠CBA＝∠DAB.∴AH＝BH. 在Rt△ACH中，根据勾股定理，得CH2＋AC2＝AH2. ∵AC＝3，CH＝BC－BH＝5－BH， ∴（5－BH）2＋32＝BH2.解得BH＝. ∴点H的坐标为. （3）存在．点N的坐标为（6，3）或（－4，3）或（1，－3）或. 【提示】如答图8，菱形AMND以AD，AM为邻边，且点M在点A的右侧时， ∵DN＝DA＝5，∴BN＝BD＋DN＝1＋5＝6. ∵DN∥x轴，∴N（6，3）. 答图8 如答图9，菱形AMND以AD，AM为邻边，且点M在点A的左侧时， 答图9 ∵DN＝DA＝5，∴BN＝DN－BD＝5－1＝4. ∵DN∥x轴，∴N（－4，3）. 如答图10，菱形ADMN以AD，AN为邻边时， ∵菱形ADMN的对角线互相垂直且平分，对角线AC在x轴上，∴点N与点D关于x轴对称． ∵D（1，3），∴N（1，－3）. 答图10 如答图11，菱形AMDN以AD为对角线时， 答图11 ∵DN∥AM，AM在x轴上，∴DN∥x轴．∴点N在BC上． 在Rt△ACN中，根据勾股定理，得CN2＋AC2＝AN2. ∵AN＝DN，CN＝BC－BD－DN＝5－1－DN＝4－DN， ∴（4－DN）2＋32＝DN2.解得DN＝. ∴BN＝BD＋DN＝1＋＝.∴N. 综上所述，存在点N，点N的坐标为（6，3）或（－4，3）或（1，－3）或. 14．（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝AC. ∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD， ∴MD＝AM，∠AMD＝120°. ∴∠DMB＝60°.∴∠DMB＝∠A. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD（SAS）.∴MN＝DB. （2）解：四边形AFBD为平行四边形．理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°. ∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD， ∴MA＝DM，∠DMA＝90°. ∴∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMB＝90°. ∴∠MAD＝∠ABC＝45°.∴AD∥BF. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD（SAS）. ∴∠AMN＝∠MDB. ∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°. 又∠MDB＋∠DBM＝90°， ∴∠DBM＝∠MAE.∴DB∥AF. ∴四边形AFBD为平行四边形． （3）解：4. 【提示】如答图12，在△ABC外作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM，GC，BG，过点G作GO⊥CB，交CB的延长线于点O. 答图12 ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC＝4，∠ABC＝∠ACB＝45°. ∴∠GAM＝∠BCN＝45°. ∵BM＝AN， ∴AB－BM＝AC－AN，即AM＝CN. 在△GAM和△BCN中， ∴△GAM≌△BCN（SAS）. ∴GM＝BN.∴BN＋CM＝GM＋CM≥CG. ∴当G，M，C三点共线时，BN＋CM的值最小，最小值为CG的长． ∵∠GAM＝∠ABC＝45°，∴AG∥BC. 又AG＝BC，∴四边形AGBC是平行四边形． ∴AC∥BG，BG＝AC＝4.∴∠GBO＝∠ACB＝45°. ∵GO⊥OB，∴∠GOB＝90°.∴∠BGO＝45°. ∴OG＝OB. 在Rt△GOB中，由勾股定理，得BG2＝OB2＋OG2. ∴OB＝2＝OM. ∴OC＝BC＋OB＝6. 在Rt△GOC中，由勾股定理，得GC＝＝＝4. ∴BN＋CM的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$