第二十四章圆章末复习训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章　圆 1．如图1，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a，b，c之间的大小关系是__________. 图1 2．如图2，⊙O的弦AB＝1 m，D为⊙O上一点，过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C，且 CD＝BC＝0.7 m，则⊙O的直径为________m． 图2 3．图3是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5.现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（　　） 图3 A． B． C． D． 4．婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图4，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD相交于点E，弦AB和CD将⊙O分成了四个部分，其面积分别记为S1，S2，S3，S4，若圆心O到AB，CD的距离分别为2，1，则S1＋S3－S2－S4＝________． 图4 5．图5①是一个圆形置物架，其示意图如图5②所示．已知置物板AB∥CD∥EF，且E是BD的中点．测得AB＝EF＝12 cm，CD＝18 cm，∠BAC＝90°，∠ABG＝60°，则该圆形置物架的半径为________cm. 图5 6．如图6，在矩形ABCD中，BC＝16，点P在边BC上，以点P为圆心，PA为半径画弧，交AD于 点E，交CD于点F.若E是的中点，DF＝8，则AB的长为________． 图6 7．如图7，△ABC内接于⊙O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°＋∠B，则圆心O到AB的距离为（　　） 图7 A． B． C． D． 8．如图8，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于点D，点E在⊙O上，连接BE交AD于点F，交AC于点G，若点F恰好是BG的中点，则DF∶GE的值为________. 图8 9．如图9，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB为⊙O的直径，OC∥AD，CE⊥AB，垂足为E，则△ACE和四边形ABCD的面积之比为________.　 图9 10．在利用量角器测量角度时，刘新同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图10），爱动脑筋的李涛同学发现，这样也能测量得到∠ACB的度数．通过观察，李涛同学发现射线CA，CB与量角器的交点A，B对应的刻度分别为50°和150°，则∠ACB的度数为________． 图10 11．如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边BC上的动点，将△ACM沿AM折叠，点C的对应点是C′，则BC′的最小值为________. 图11 12．线段AB与⊙O在同一平面内，AB＝10，且A，B两点都在⊙O外，⊙O上的动点P与点A之间的最小距离为6，与点B之间的最小距离为4，若△ABO为直角三角形，则⊙O的半径为________． 13．如图12，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径为________． 图12 14．如图13，⊙O的半径为2，弦AB＝2，P为优弧AB上一动点，C为PB延长线上一点．连接AC，∠PAC＝60°，则△ABC的面积最大是（　　） 图13 A． B．1 C．2 D． 15．如图14，⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠BAC＝90°，过点A作线段AD交CB的延长线于点D，且∠BAD＝∠C. （1）求证：AD为⊙O的切线． （2）①F是OB的中点，OE⊥AC于点E，连接OA，EF，OA与EF相交于点G，探究EG与FG的数量关系并说明理由． ②在①的条件下，延长AO交⊙O于点H，连接FH.若EF＝FH，则∠C＝_________________°. 图14 16．如图15，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，且AD′交⊙O于点E，AB′交⊙O于点F，D′C′与⊙O相切于点M.则下列说法：①AE＝4；②＝＝；③AF＝4；④∠DAD′＝30°.其中正确的有__________．（填序号） 图15 17．如图16，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点D，OD交⊙O于点E，AE的延长线交BD于点F.下列结论中，错误的是（　　） 图16 A．BC⊥OD B．AC∥OD C．FD＝FE D．点E为△BCD的内心 18．有块余料是直角三角形，两直角边长分别为6和8，在该余料中剪一个圆，剪得的圆面积最大为________． 19．如图17，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边AB上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为________． 图17　 20．如图18，四个大小两两相同的正六边形摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为（　　） 图18 A．3－ B． C． D． 21．定义：在正六边形的边上取三个点，若这三个点构成的三角形为等边三角形，则称构成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图19，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”x的取值范围为________． 图19 22．蚊香（图20①）具有悠久的历史，我国蚊香的发明可能与古人端午节的习俗有关．图20②为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC；然后以点B为圆心，AB长为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧）；再以 点C为圆心，CD长为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；再以点A为圆心，AE长为半径逆时针画圆弧，交线段BA的延长线于点F……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　） 图20 A．36π B．52π C．72π D．80π 23．如图21①，在正方形ABCD内，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作PO⊥AB于点O.设点P的运动时间为x s，＝y，图21②是当点P以每秒 个单位长度的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图21①中阴影部分的面积为（　　） 图21 A．3 B．9 C．9－ D．6－ 24．半圆的直径AB在直尺上所对的刻度（单位：cm）如图22所示，点C在半圆上，且＝2，连接AC，取AC的中点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为________cm2. 图22 25．如图23，小明从一个大半圆形纸片上剪下一个小半圆（两个半圆的直径在一条直线上），然后用铅笔画了一条弦MN，弦MN与直径平行，且与小半圆相切．若测得弦MN的长为8，则剩余纸片（即图中阴影部分）的面积为________． 图23 26．如图24，AB是半圆O的直径且AB＝，P为上一动点（不与点A，B重合），D为AB延长线上一点，∠PAB，∠PBD的平分线相交于点C.在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积为________． 图24 27．图25①是一款扫地机器人的实物图，其简易图如图25②所示，⊙O为机身，点A为机身上一定点，AB为刷头，刷头绕点A旋转形成的圆弧分别交⊙O于点C，D.已知点A，C，D在同一直线上，⊙O的半径r＝20 cm，AB＝10 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2. 图25 28．图26为某圆锥形山峰，圆锥的底面半径为 km，母线长为4 km，现欲从山脚A处修一条最近的盘山公路到景点B处（B是母线PA的中点），那么这条盘山公路的长是________km. 图26 29．斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图27，在边长均为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来画的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________. 图27 本章重点压轴题 30．如图28，已知菱形ABCD，以AB为直径的⊙O与对角线AC交于点E，与边AD交于点F，连接BE，EF，G为DF的中点，连接GE. （1）求证：B，D，E三点共线； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）若⊙O的半径长为 ，EF＝，求DF的长． 图28 31．如图29，E为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于点A，B，交y轴于点C，D，P为上一点（不与点B，C重合），且A（－1，0），E（1，0）. （1）如图29①，连接AP，CP，求∠P的度数； （2）如图29①，若CQ平分∠PCD，交PA于点Q，求AQ的长； （3）如图29②，连接DP，求证： 为定值，并求出这个定值． 图29 中考新题型　全国视野——综合实践与探究 32．（2024山西）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图30①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图30②，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝ DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为__▲__°. 对角线：…… 图30 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：__________. （2）如图30③，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由． （3）如图30④，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图30④中作一个等边半正六边形ABCDEF.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 第二十四章　圆 1．a＝b＝c 2．2.6　【提示】易得∠ABD＝135°，则∠OAB＋∠ODB＝∠ABD＝135°，结合四边形的内角和可得∠AOD＝90°，连接AD，利用勾股定理即可求半径长． 3．B　【提示】由圆的对称性可知圆心在图形的对称轴上，根据AB＝5，可求出每个小正方形的边长为2，再由勾股定理和半径相等列方程组求解． 4．8　【提示】分别作弦AB和CD关于圆心O的对称弦，结合圆的对称性，将S1＋S3－S2－S4转化为中间矩形的面积即可． 5．14　【提示】易证直线EF垂直平分线段AC，所以圆心O在直线EF上，连接OA，设OA＝OF＝r cm，利用勾股定理构建方程求解． 6．10 7．A　【提示】作直径CD，连接BD，构造∠ABD＝∠A，则＝，所以＝，从而可证BD＝AC＝10，然后利用勾股定理计算出CD的长，再利用等面积法即可求解． 8.　【提示】连接CE，利用圆周角定理及等边对等角可得∠ACB＝∠ACE，即AC平分∠BCE，过点G作GH⊥BC于点H，则GH＝GE，易证DF为△BGH的中位线，则DF＝GH，等量代换即可． 9．1∶2　10.130°　11.4－4　12.2或20　13. 14．B　【提示】利用圆周角定理及三角形内角和可得∠C＝90°，所以点C在以AB为直径的圆上，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离要最大，此时△ABC为等腰直角三角形． 15．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC. 又∠BAD＝∠C，∴∠OAC＝∠BAD. ∵∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝90°， ∴∠BAD＋∠OAB＝∠OAD＝90°，即OA⊥AD. 又OA为⊙O的半径， ∴AD为⊙O的切线． （2）解：①EG＝FG.理由如下： 如答图1，取OA的中点K，连接FK. 答图1 ∵F是OB的中点，K是OA的中点， ∴FK是△OAB的中位线．∴FK∥AB，FK＝AB. ∵OA＝OC，OE⊥AC，∴E是AC的中点． 又O是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线． ∴OE∥AB，OE＝AB.∴OE∥FK，OE＝FK. ∴∠OEG＝∠KFG，∠GOE＝∠GKF. ∴△GOE≌△GKF（ASA）.∴EG＝FG. ②45.　【提示】如答图2，延长FK交AC于点M，连接AF. 答图2 由（2）①可知，OE∥FK，即OE∥MK. ∵K是OA的中点，∴M是AE的中点．∴AM＝EM. ∵OE⊥AC，OE∥FM，∴FM⊥AE. ∴FM垂直平分AE.∴EF＝AF. 又EF＝FH，∴AF＝FH. 又OA＝OH，∴FO⊥AH，即∠AOF＝90°. ∴AO⊥BC，△ABC是等腰直角三角形． ∴∠C＝45°. 16．①②③④　17.C 18．4π　【提示】三角形内面积最大的圆是三角形的内切圆． 19.　20.D　21.≤x≤3　22.B　23.C　24. 25．8π　【提示】阴影部分的面积为两个半圆面积的差，平移小半圆使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，设圆心为点O，根据垂径定理可得两个半圆半径的平方差，然后利用圆的面积公式即可求两个半圆面积的差． 26.＋　【提示】AB为定值，又易得∠C＝45°为定角，设的中点为E，则点C在以点E为圆心，AE为半径的 圆弧上运动，∴线段AC扫过的面积S＝S△ABE＋S⊙E. 27．200　28.2　29.2 30．（1）证明：如答图3，连接BD. ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE. 答图3 又四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，即AE⊥BD. ∴B，D，E三点共线． （2）证明：如答图3，连接OE，OF. 由（1），得B，D，E三点共线． ∵四边形ABCD为菱形， ∴BE＝DE，∠EAB＝∠EAD. 又∠EOF＝2∠EAD，∠EOB＝2∠EAB， ∴∠EOF＝∠EOB.∴EF＝BE.∴EF＝DE. ∵G为DF的中点，∴EG⊥DF，即EG⊥AD. 又OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA.∴∠OEA＝∠EAD. ∴OE∥AD.∴OE⊥EG. 又OE为⊙O的半径，∴EG是⊙O的切线． （3）解：∵⊙O的半径长为 ，∴AB＝5. 由（2）可知，DE＝BE＝EF＝. 又∠AEB＝90°，∴AE＝＝2. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5. 设DG＝x，则AG＝AD－DG＝5－x. 在Rt△DEG中，EG2＝DE2－DG2＝（）2－x2. 在Rt△AEG中，EG2＝AE2－AG2＝（2）2－（5－x）2. ∴（）2－x2＝（2）2－（5－x）2.解得x＝1. ∴DG＝1. ∵G为DF的中点，∴DF＝2DG＝2. 31．（1）解：如答图4，连接EC，AC. 答图4 ∵A（－1，0），E（1，0），∴OA＝OE＝1. 又OC⊥AE，∴OC垂直平分AE. ∴CA＝CE. 又AE＝CE，∴CA＝CE＝AE. ∴△ACE是等边三角形． ∴∠AEC＝60°. ∴∠P＝∠AEC＝30°. （2）解：由（1）可知，△ACE是等边三角形． ∴∠CAO＝60°，AC＝AE＝OA＋OE＝2. 又∠AOC＝90°，∴∠OCA＝30°＝∠P. ∵CQ平分∠PCD，∴∠PCQ＝∠DCQ. ∴∠P＋∠PCQ＝∠OCA＋∠DCQ，即∠AQC＝∠ACQ. ∴AQ＝AC＝2. （3）证明：如答图5，延长PD至点M，使得DM＝CP，连接AC，AM，AD，过点A作AG⊥DP于点G. 答图5 ∵AB为⊙E的直径，AB⊥CD，∴＝.∴AC＝AD. ∵四边形ACPD内接于⊙E，∴∠ACP＋∠ADP＝180°. 又∠ADM＋∠ADP＝180°， ∴∠ACP＝∠ADM. 在△ACP和△ADM中， ∴△ACP≌△ADM（SAS）.∴AP＝AM. ∵＝，∴∠APD＝∠APC＝30°. 设AG＝x，则AP＝2AG＝2x.∴PG＝＝x. ∵AG⊥DP，∴PM＝DP＋DM＝DP＋CP＝2PG＝2x. ∴＝＝.∴ 为定值，定值为. 32．解：（1）240. （2）∠BAD＝∠FAD.理由如下： 如答图6，连接BD，FD. 答图6 ∵六边形ABCDEF是等边半正六边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E. 在△BCD和△FED中， ∴△BCD≌△FED（SAS）. ∴BD＝FD. 在△ABD和△AFD中， ∴△ABD≌△AFD（SSS）. ∴∠BAD＝∠FAD. （3）如答图7，六边形ABCDEF即为所求．（答案不唯一） 答图7 （另一种作法：如答图8，六边形ABCDEF即为所求．） 答图8 学科网（北京）股份有限公司 $$