第15章 轴对称图形与等腰三角形周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册

15.3 角的平分线周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．在中，，的平分线交于点，过点作，垂足为，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．12 B．6 C．3 D． 5．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 6．在中，，平分交于点，，，则到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在三角形纸片中，，，，，平分，于F，则面积为（   ） A．15 B． C．27 D．42 8．点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 10．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 二、填空题 11．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E．若，，则的面积为 ． 12．如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ． 13．如图，在直角中，，的平分线交于点，若，，则 . 14．如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 三、解答题 15．如图，在中，，平分，交于点，若，求点到的距离． 16．如图，的平分线与的平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是的平分线． 17．如图，在中，． (1)请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 18．如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 19．如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图,＝＝于E． (1)求证：平分； (2)若＝＝4，求的长． 21．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接． (1)①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____． (2)求证：． 22．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 23．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)当点在射线上运动时满足：：，试求点，的运动时间的值； (2)当动点在直线上运动，在射线运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《15.3 角的平分线周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．C 解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 2．B 解：在中，，是的平分线， ． 又， 故选：B ． 3．D 解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 4．C 解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 5．A 解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 故选： 6．A 解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴到的距离是， 故选：． 7．B 解：平分，，， ， ， 故选：B． 8．D 解：过点作于点，过点作于点， ∵点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴根据垂线段最短可知：， 故选．    9．C 解在中，，， 所以． 由作图可知，平分， 所以， 故选：C． 10．C 解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 11．15 解：如图：作于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 12． 解：∵，点P在上， ∴平分， ，， ． 故答案为：． 13．3 解如图，作DE⊥BC于E． ∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC， ∴AD=DE， ∵S△BCD=×BC×DE=15，BC=10， ∴DE=3， ∴AD=DE=3， 故答案是：3． 14．①②③ 解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 如图与交于点，则， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 而， ∴与不平行， ∴， 故④错误． ∴正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 15．6 解：过点作于点， ∵平分，， ∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴，即点到的距离为． 16．见解析 解证明：如图，过点作，，，垂足分别为． 平分， ． 又平分， ， ， 是的平分线． 17．(1)作图见解析 (2) 解（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，过点P作于点E，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 解（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 19．(1)见解析 (2)4 解（1）证明：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵平分，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 20．(1)见解析 (2)6 解（1）证明：过C点作，交的延长线于点F． ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 21．(1)①②④ (2)证明见解析 解（1）解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 过点P作，，， ∵、分别是与的角平分线， ∴是的角平分线，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③不正确． 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得，， ∵， ∴． 22．(1) (2)①，理由见解析；②证明见解析 解（1）解：∵、， ∴， ，， ， ， ； （2），理由如下： 由（）可知， ， ， ∴， ， ； 证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ， ， 即， ， ， 又，， 点在的平分线上， 即平分， ∴． 23．(1)当或时，满足：： (2)满足条件的的值为或 解（1）解：如图所示： 作于，于， 平分， ， 当在线段上时， ：：，，， ：：， ； 当点运动到延长线上， ：：：， ， 综上，当或时，满足：：； （2）解：存在． 直线，平分， ， ， ， ，， 当点在射线上时，在线段上， 由得，知， 当时，， ， ； 当点在射线的反向延长线上时，在线段的延长线上， 由得，， 当时，， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2 线段的垂直平分线周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．如图，已知在中，垂直平分，若，，则的周长是（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的周长为（   ） A．8 B．11 C．16 D．17 8．如图，在中，的垂直平分线交于E，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 9．如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．线段的垂直平分线上的点与这条线段的 的距离相等. 12．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ． 13．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 14．如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是 ． 三、解答题 15．如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 16．已知公路l的两侧有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站的位置． 17．如图，在中，的垂直平分线交相交于点E，交相交于点D，的周长为，求的长． 18．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 19．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 20．如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 21．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 22．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 23．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《15.2 线段的垂直平分线 周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．D 解：∵体育公园到三个村庄的距离都相等， ∴体育公园应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 2．C 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 3．C 解：∵是的垂直平分线与边的交点， ∴， ∵将的面积平分， ∴， ∴， 故选：C． 4．B 解：∵是的垂直平分线， ， ∴的周长是． 故选：B． 5．C 解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 6．D 解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 7．B 解：是的垂直平分线， ， 的周长， 故选：B． 8．C 解：∵的垂直平分线交于E， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 9．C 解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 10．A 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转可得，，， ∵， ∴为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：． 11．两个端点 解：线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等， 故答案为：两个端点． 12．12 解：是边的垂直平分线，, ， 又,, , . 故答案为：12． 13．8 解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14．①②④ 解：如图， ①∵是的外角， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ，故①正确； ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 垂直平分；故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴不成立，故③错误， ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述①②④正确． 故答案为：①②④． 15．(1)见解析 (2)见解析 解（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：点P即为所求． 16．见解析 解：如图点的位置即为公交站的位置， 17． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 18．(1)见解析 (2) 解（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ， ， 即． 19．(1)证明见解析 (2) 解（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．(1)； (2)见解析． 解（1）解∶∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ． 21．(1)见解析 (2) 解（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 解（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：8． 23．(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 解（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1 轴对称图形周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．中华民族从古追求“对称美”，下列汉字中，轴对称图形是（    ） A．立 B．志 C．中 D．学 2．点关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 4．如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（   ） A． B． C． D． 5．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ）个． A． B． C． D． 6．将矩形沿折叠，得到如图图形．若，则的大小是（   ） A．56° B．60° C．62° D．65° 7．已知在平面内，反射光线与入射光线关于法线左右对称．如图，若一束光线从点射入，经x轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 二、填空题 11．已知点，关于y轴对称，则 ． 12．如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，则 ． 13．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 14．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图2，点分别落在的位置，已知，分别计算 （提示：长方形四个内角都为直角） 三、解答题 15．如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点，，的坐标． 17．如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 18．如图，将长方形纸片沿折叠，点A、B分别落在点、处，如果，求多少度？ 19．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 20．如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 21．如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点． (1)求点的坐标． (2)求折痕所在直线的函数表达式． (3)在坐标轴上是否存在一点P，使的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)______，______； (2)点，点分别是直线和直线上的动点． ①当的值最小时，求P点坐标； ②是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图1，①若折叠后，，则_______； ②若折叠后，则_______°； (2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由； (3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《15.1 轴对称图形周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．C 解：A、B、D选项中的文字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的“中”字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2．A 解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故选：A． 3．A 解：对于A选项，一般的等腰三角形只有一条对称轴，故符合题意； 对于B选项，等边三角形有三条对称轴，故不符合题意； 对于C选项，正方形有四条对称轴，故不符合题意； 对于D选项，圆有无数条对称轴，故不符合题意； 故选：A． 4．C 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵沿向内折叠得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5．D 解：如图所示：都是符合题意的图形． 综上可知：与成轴对称的格点三角形一共有8个． 故选：D． 6．C 解：∵矩形沿折叠得到 ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 解：设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与y轴的交点E的坐标为， 根据镜面知：E和F关于x轴对称， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 故选A 8．D 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为，如图． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则，解得：， 点的坐标为． 故选：D． 9．D 解：设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为（n为自然数），如图， 观察，发现规律：， ∴次反弹一个循环， ∵， ∴和相同， 故选：D． 10．D 解如图，当点落在的边上时， ，，．， ， 即为是直角三角形， 当点落在的边上时， ， 同理，， 是直角三角形，故①正确； 当点落在的边上时， ，， ， ，不一定成立，故②错误； 当点落在内部时， 过点作，点作，则， ①当在和之间时， ，， ， ，， ， ， ②当与重合时， ，， ，， ， ③当在的上方时， ，，，， ，，， ， 综上，， 故③正确； 当点落在的边下方时，过点作，点作， ， 则， ， ，， ， ， ； 当点落在的边上方时，过点作，点作， ， 则， ，， ， ， ， ， ， ，即； ，故④正确； 故选：D． 11． 解：点，关于y轴对称， ，， 故答案为： 12．5 解：由折叠的性质得：， ∵， ∴． 故答案为：5 13．/度 解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14． 解：由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴ 故答案为：；． 15．(1)高 (2)角平分线 (3)中线 解（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 16．(1)见解析 (2)点，，的坐标分别为，， 解（1）解：如答图，即为所求． （2）解：点，，的坐标分别为，，． 17．见解析（答案不唯一） 解：如图所示： 18． 解：由折叠可得，， ， ． 19．(1)见解析； (2)． 解（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 20．(1) (2) 解（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2) (3)存在一点P，使的面积为12，点P的坐标为或或或． 解（1）解：（1）∵四边形为长方形， ∴，， ∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为； （2）设，则， 而， 在中，， 即， 解得， ∴M点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得，，解得， ∴直线的解析式为； （3）存在，理由： 当点P在x轴上时，设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， 故点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 22．(1)，3 (2)①；② 解（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， 故答案为：，3； （2）解：①作A关于的对称点C，连接交于P，此时，， ∴ 当B、P、C三点共线时，的值最小，最小值为， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当的值最小时，P点坐标为； ②由（1）知：直线解析式为， 设， 当直角顶点为Q时，，，如图，过Q作于M，交直线于N， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴Q和B重合， ∴； 当直角顶点为P时，，，如图，过A作直线于M，过Q作直线于N， 则，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， 综上，点P的坐标为． 23．(1)①；②65 ； (2)的值不随着点或的位置变化而变化 (3)或或 解（1）解：①∵， ， ， 故答案为：； ②∵， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：65； （2）解：的值不随着点或的位置变化而变化， 理由如下： ， ， ， ∴的值不随着点或的位置变化而变化； （3）解：当或时，点不是落在四边形的外部，舍去； 如图1，当时， ， ， ， ， ， 如图2， 当时，同理， 此时，即， ， 如图3， 当时，， ， 综上所述：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.4 等腰三角形周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 4．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 5．已知的三边的长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．底边长为的等腰三角形 D．非等腰三角形 6．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，D、E分别是的边上的点，若，，时，则（　　） A．15° B．30° C．45° D．20° 二、填空题 11．在中，，，，则 12．在中，，，， ． 13．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 14．如图，，，则的度数为 ．    三、解答题 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长． 16．已知在中，． (1)的长可以是10吗？并说明理由． (2)若是等腰三角形，求的周长． 17．如图，在中，，点O在内，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 18．已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形． 19．如图，在等边三角形中，于点，以为一边向右作等边三角形，与交于点． (1)试判断与的数量关系，并给出证明． (2)若的长为，试求等边三角形的边长． 20．在边长为的等边三角形中，点M，N都以的速度同时出发．点M在线段上由点A向点C运动，点N在线段上由点C向点B运动． (1)如图①，当，且点M，N运动了时，和是否全等？请说明理由． (2)在点M，N运动的过程中，连接，交点为E（如图②）．试猜想度数的变化情况，并说明理由． 21．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求长． 22．如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《15.4 等腰三角形周测2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．C 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 2．B 解：在中，，， ∴， ∵， 则， 故选B． 3．C 解：∵，，， ∴ 故选：C 4．D 解：在中，，米， 则米， 故选：D． 5．B 解：已知等式变形得：，即， ∵， ∴，即， 分解因式得：，即， 可得或， 则一定为腰长为a的等腰三角形， 故选：B． 6．C 解：∵， ∴， 故选：． 7．B 解：∵， ∴， 故选：B． 8．A 解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 9．C 根据三角形外角的性质得，再结合，可解答①；先求出，再设，可得，， 解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴. ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故结论②正确； ③∵点D为中点，，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 故结论③正确； ④∵， ∴当为等腰三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如图2所示： 设， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由结论①正确得； （ⅱ）当时，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形，则或． 故结论④不正确， ∴正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 10．A 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 11．5 解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：5． 12．3 【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解． 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝， ∴AB＝2BC＝3． 故答案为：3． 13．/度 解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．/18度 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．2 解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4， ∴∠BAE＝∠B＝15°， ∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°. 又∵在△AEC中，∠C＝90°， ∴AC＝AE＝2. 故答案为2. 16．(1)不可以，见解析 (2)16 解（1）解：不可以． 理由：因为， 则， 即可得， 所以的长不可能是10． （2）解：由（1）知，满足三角形三边的条件，需， 因为是等腰三角形，， 所以， 所以的周长． 17．等腰三角形：，，，；等边三角形： 解：∵， ∴，，是等腰三角形； ∵， ∴既是等腰三角形，也是等边三角形； 综上分析可知：等腰三角形有：，，，；等边三角形有：． 18．见解析 解证明：点D是中点， ． 在和中 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 19．(1)，证明见解析 (2) 解（1）解：（1），证明如下： ∵和均是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即平分， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即等边三角形的边长为． 20．(1)全等，见解析 (2)的度数始终不变，为 解（1）解：全等． 理由：为等边三角形， ． 当点M，N运动了时，． 又， ． 在和中， ． （2）解：的度数始终不变，为． 理由：由题意，得． 在和中， ， ． 21．(1) (2) 解（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 解得：； （2）解：∵的周长为，， ∴， 即， 解得. 22．(1)见解析 (2) 解（1）证明：在与中，， 又∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即. 在与中，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴（等边对等角）. 又∵， ∴， ∴． 23．(1)①见详解；②3 (2)见详解 解（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$