河南省部分学校2025-2026学年高二上学期开学学业质量监测数学试题

高二年级上学期开学学业质量监测 数 学·答 案 1.答案 D 2.答案 C 思路点拨 i,(1+)i是纯虚数,,0,0.6是实数,4+3i是虚数,但不是纯虚数. 3.答案 D 思路点拨 对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题． ∵生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12总和为147， ∴平均数,样本数据17出现次数最多，为众数，即； 从小到大排列中间二位的平均数，即中位数． ∵，． 故选D. 4.答案 B 思路点拨 ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件. 5.答案 B 思路点拨 本题考查对数、指数函数的性质.由===><=,则.故选B. 6.答案 C 思路点拨 本题主要考查同角三角函数关系式. 由=平方得,得 ==. 故选C. 7.答案 D 8.答案 B 思路点拨 设参加射门比赛的男教师人数为k,则全部参赛教师进球数的平均数为=3,解得k=30,即参赛的男女教师各有30人.设女教师进球数的方差为s2,依题意可得13=×[8+(4-3)2]+×[s2+(2-3)2],解得s2=16. 9.答案 AD 思路点拨 对于A,对任意的λ∈R,(λ a)Ⓗb=(λx1,λy1)Ⓗ(x2,y2)=(λx1y2-λx2y1,λx1x2+λy1y2)=λ(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)=λ(aⒽb),故A正确. 对于B,假设存在唯一确定的向量e=(x0,y0)使得对于任意向量a,都有aⒽe=eⒽa=a成立,即(x1y0-x0y1,x1x0+y1y0)=(x0y1-x1y0,x0x1+y0y1)=(x1,y1)恒成立,即方程组对任意x1,y1恒成立,而此方程组无解,故B不正确. 对于C,D,设c=(x3,y3),若a与b垂直,则x1x2+y1y2=0,则(aⒽb)Ⓗc=(x1y2-x2y1,0)Ⓗ(x3,y3)=(x1y2y3-y1x2y3,x1y2x3-x2y1x3),aⒽ(bⒽc)=(x1,y1)Ⓗ(x2y3-x3y2,x2x3+y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3-y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)=(x1y2y3-y1x2y3,-x1y2x3+y1x2x3),此时不存在实数μ(μ≠0)使得(aⒽb)Ⓗc=μ[aⒽ(bⒽc)],故C不正确. 若a与b共线,则x1y2-x2y1=0,则(aⒽb)Ⓗc=(0,x1x2+y1y2)Ⓗ(x3,y3)=(-x1x2x3-y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),aⒽ(bⒽc)=(x1,y1)Ⓗ(x2y3-y2x3,x2x3+y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3-y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),所以(aⒽb)Ⓗc与aⒽ(bⒽc)的模相等,故D正确.故选AD. 10.答案 BC 思路点拨 由题图可知,函数的最小正周期T=2()=π,∴=π,ω=±2.当ω=2时,y=sin(2x+φ),将点(,0)代入得,sin(2×+φ)=0,∴2×+φ=2kπ+π,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,故y=sin(2x+).由于y=sin(2x+)=sin[π-(2x+)]=sin(-2x),故选项B正确; y=sin(-2x)=cos[-(-2x)]=cos(2x+),选项C正确; 对于选项A,当x=时,sin()=1≠0,错误;对于选项D,当x=时,cos(-2×)=1≠-1,错误. 当ω=-2时,y=sin(-2x+φ),将(,0)代入,得sin(-2×+φ)=0,结合函数图象,知-2×+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,∴y=sin(-2x+),但当x=0时,y=sin(-2x+)=-<0,与图象不符合,舍去.综上,选BC. 11.答案 BCD 思路点拨 由频率分布直方图可知,[140,160)这一组的数据对应的小长方形最高,所以这2 000头生猪的体重的众数为150 kg,A错误; 这2 000头生猪中体重不低于200 kg的有0.002×20×2 000=80(头),B正确; 因为生猪的体重在[80,140)内的频率为(0.001+0.004+0.01)×20=0.3,在[140,160)内的频率为0.016×20=0.32,且0.3+0.32=0.62>0.5,所以这2 000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内,C正确; 这2 000头生猪体重的平均数为(0.001×90+0.004×110+0.01×130+0.016×150+0.012×170+0.005×190+0.002×210)×20=152.8 (kg),D正确. 12.答案 5 思路点拨 本题主要考查对数的运算性质. ===. 13.答案 思路点拨 本题主要考查空间几何体、圆锥的表面积与体积,考查了空间想象能力. 因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为,半径为3的扇形,所以圆锥的母线长为l=3,底面周长即扇形的弧长为=,所以底面圆的面积为=,又圆锥的高=,故圆锥的体积为==. 14.答案 1 思路点拨 本题主要考查平面向量的坐标表示、平面向量的基本定理、圆，考查了推理论证能力. 如图所示，x2+y2=r2,r=，由题意，点P的坐标为x=rcos,y=rsin,，， 因为=， 所以， 所以， 所以的最大值为1. 15.答案 (1)=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)=(3+4k,2+k),=(-5,2), ∵, ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得k=-. 16.答案 (1)=, 所以=. (2)令. 得. 又因为, 所以函数在的单调增区间为和. (3)==, 得或, 函数在每个周期上有两个零点,所以共有5个周期, 所以最大值为=. 思路点拨 本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用题中所给的图象,求得函数的解析式;(2)通过整体代换,求得函数的单调递增区间,再结合实际范围,确定确切的单调递增区间;(3)通过解方程,利用函数的周期性,求得结论的最大值. 17.答案 (1)因为,所以. (2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在的有(人),记为 受访职工中评分在的有(人),记为 从这5名受访职工中抽取2人,所有可能的结果有10种,它们是,,,, 又因为所抽取2人的评分都在的结果只有一种,即. 故所求概率为. 思路点拨 本题主要考查频率分布直方图、用频率估计概率以及古典概型的概率公式; (1)利用频率分布直方图中的各矩形面积之和为1进行求解; (2)利用频率分布直方图中的矩形面积来估计频率,进而估计概率; (3)列举基本事件,利用古典概型的概率公式进行求解. 18.答案 (1),, 是钝角,. (2), . . (3),, . (当且仅当时面积取最大值) 思路点拨 本题考查正余弦定理,三角形的面积公式. (1)由正弦定理得是钝角,. (2)由三角形的面积公式得由余弦定理得. (3)由余弦定理得. 19.答案 (1)连接OF.∵ABCD是正方形可知,点O为BD中点.又F为BE的中点,∴. ∵,∴. (2)由,∴,∵ABCD是正方形可知,, 又,∴,∵,所以. (3)在线段EO上存在点G,使.理由如下: 如图,取EO中点G,连接CG. 在四棱锥E—ABCD中,,∴. 由(2)可知,,而,∴平面,且平面,∵,∴ 故在线段EO上存在点G,使.由G为EO中点,得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 高二年级上学期开学学业质量监测 数 学 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。   一、单选选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 A. B. C. D. 2．在,i,0,4+3i,(1+)i,0.6这几个数中,纯虚数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14， 12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 4．“x<0”是“ln(x+1)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．设===,则的大小关系为 A. B. C. D. 6．已知=则的值为 A.0 B.1 C.-1 D. 7．四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积 A. B. C. D. 8．某次趣味运动会,设置了教师足球射门比赛:教师射门,学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名,进球数的平均值和方差分别是3和13,其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8,女教师进球数的平均值为2,则女教师进球数的方差为              A.15 B.16 C.17 D.18 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．定义平面向量的一种运算“Ⓗ”如下:对任意的两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),令aⒽb=(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2),下面说法一定正确的是 A.对任意的λ∈R,有(λ a)Ⓗb=λ(aⒽb) B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a,都有aⒽe=eⒽa=a成立 C.若a与b垂直,则(aⒽb)Ⓗc与aⒽ(bⒽc)共线 D.若a与b共线,则(aⒽb)Ⓗc与aⒽ(bⒽc)的模相等 10.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= A.sin(x+) B.sin(-2x) C.cos(2x+) D.cos(-2x) 11.2020年上半年,中国养猪企业受猪价高位的利好影响,大多收获史上最佳半年报业绩,部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇,加大了生猪养殖规模, 为了检测生猪的养殖情况,该养猪场对2 000头生猪的体重(单位:kg)进行了统计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是 A.这2 000头生猪体重的众数为160 kg B.这2 000头生猪中体重不低于200 kg的有80头 C.这2 000头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内 D.这2 000头生猪体重的平均数为152.8 kg 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．计算          . 13．一个圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为          . 14．在矩形中,,点在以为圆心且与相切的圆上,且在矩形内,若=的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知向量. (1)求; (2)若,求实数k. 16．（15分） 已知函数=的部分图象如图所示. (1)求和的值; (2)求函数在的单调增区间; (3)若函数在区间上恰有10个零点,求得最大值. 17．（15分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]. (1)求频率分布图中的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率; (3)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率. 18．（17分） 已知△的三个内角A,B,C所对的边分别是是钝角且． (1)求的大小； (2)若的面积为,且,求的值； (3)若,求面积的最大值． 19．（17分） 在四棱锥E —ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于O,,F为BE的中点. (1)求证:; (2)求证:; (3)若,在线段EO上是否存在点G,使？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. ( 数学试题 第 1 页 （ 共 4 页 ） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 高二年级上学期开学学业质量监测 数 学·答 案 1.答案 D 2.答案 C 思路点拨 2 3 i,(1+ 3)i 是纯虚数, 7,0,0.6 是实数,4+3i 是虚数,但不是纯虚 数. 3.答案 D 思路点拨 对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数， 它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题． ∵生产的件数是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12 总和为 147， ∴平均数 a = 147 10 = 14.7,样本数据 17 出现次数最多，为众数，即� = 17； 从小到大排列中间二位的平均数，即中位数� = 15． ∵17 > 15 > 14.7，∴ � > � > �． 故选 D. 4.答案 B 思路点拨 ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所以 “x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件. 5.答案 B 思路点拨 本题考查对数、指数函数的性质.由 �=log2 1 4 =−2 < 0, �=2.1 1 3>1,0<�=( 4 5 )2 < 1,则� < � < �.故选 B. 6.答案 C 思路点拨 本题主要考查同角三角函数关系式. 由 sin � + cos �=−1平方得 1 + 2sin �cos � = 1,得 sin �cos � = 0 sin3 � + cos3 �= sin � + cos � sin2 � − sin �cos � + cos2� =−1. 故选 C. 7.答案 D 8.答案 B 思路点拨 设参加射门比赛的男教师人数为 k,则全部参赛教师进球数的平均数 为 4�+(60-�)×2 60 =3,解得 k=30,即参赛的男女教师各有 30 人.设女教师进球数的方差 为 s2,依题意可得 13= 30 60 ×[8+(4-3) 2 ]+ 30 60 ×[s2+(2-3)2],解得 s2=16. 2 9.答案 AD 思路点拨 对于 A,对任意的λ∈R,(λ a)Ⓗb=(λx1,λy1)Ⓗ(x2,y2)=(λx1y2-λ x2y1,λx1x2+λy1y2)=λ(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2)=λ(aⒽb),故 A 正确. 对于 B,假设存在唯一确定的向量 e=(x0,y0)使得对于任意向量 a,都有 aⒽe=eⒽ a=a 成立,即(x1y0-x0y1,x1x0+y1y0)=(x0y1-x1y0,x0x1+y0y1)=(x1,y1)恒成立,即方程组 �1�0-�0�1 = �0�1-�1�0 = �1 �1�0 + �1�0 = �1 对任意 x1,y1恒成立,而此方程组无解,故 B不正确. 对于 C,D,设 c=(x3,y3),若 a 与 b 垂直,则 x1x2+y1y2=0,则(aⒽb)Ⓗc=(x1y2-x2y1,0) Ⓗ(x3,y3)=(x1y2y3-y1x2y3,x1y2x3-x2y1x3),aⒽ(bⒽc)=(x1,y1)Ⓗ (x2y3-x3y2,x2x3+y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3-y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)=(x1y2y 3-y1x2y3,-x1y2x3+y1x2x3),此时不存在实数μ(μ≠0)使得(aⒽb)Ⓗc=μ[aⒽ(bⒽ c)],故 C 不正确. 若 a与 b共线,则 x1y2-x2y1=0,则(aⒽb)Ⓗc=(0,x1x2+y1y2)Ⓗ (x3,y3)=(-x1x2x3-y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),aⒽ(bⒽc)=(x1,y1)Ⓗ (x2y3-y2x3,x2x3+y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3-y1x2y3+y1y2x3,x1x2y3-x1y2x3+y1x2x3+y1y2y3)=(x1x2x 3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),所以(aⒽb)Ⓗc 与 aⒽ(bⒽc)的模相等,故 D正确.故选 AD. 10.答案 BC 思路点拨 由题图可知,函数的最小正周期 T=2( 2π 3 − π 6 )=π,∴ 2π |�| =π,ω=±2. 当ω=2 时,y=sin(2x+φ),将点( π 6 ,0)代入得,sin(2× π 6 +φ)=0,∴2× π 6 +φ=2kπ +π,k∈Z,即φ=2kπ+ 2π 3 ,k∈Z,故 y=sin(2x+ 2π 3 ).由于 y=sin(2x+ 2π 3 )=sin[π -(2x+ 2π 3 )]=sin( π 3 -2x),故选项 B正确; y=sin( π 3 -2x)=cos[ π 2 -( π 3 -2x)]=cos(2x+ π 6 ),选项 C正确; 对于选项 A,当 x= π 6 时,sin( π 6 + π 3 )=1≠0,错误;对于选项 D,当 x= π 6+ 2π 3 2 = 5π 12 时,cos( 5π 6 -2× 5π 12 )=1≠-1,错误. 当ω=-2 时,y=sin(-2x+φ),将( π 6 ,0)代入,得 sin(-2× π 6 +φ)=0,结合函数图象, 知-2× π 6 +φ=π+2kπ,k∈Z,得φ= 4π 3 +2kπ,k∈Z,∴y=sin(-2x+ 4π 3 ),但当 x=0 时,y=sin(-2x+ 4π 3 )=- 3 2 <0,与图象不符合,舍去.综上,选 BC. 11.答案 BCD 思路点拨 由频率分布直方图可知,[140,160)这一组的数据对应的小长方形最 高,所以这 2 000 头生猪的体重的众数为 150 kg,A 错误; 这 2 000 头生猪中体重不低于 200 kg 的有 0.002×20×2 000=80(头),B 正确; 因为生猪的体重在[80,140)内的频率为(0.001+0.004+0.01)×20=0.3,在 [140,160)内的频率为 0.016×20=0.32,且 0.3+0.32=0.62>0.5,所以这 2 000 头 生猪体重的中位数落在区间[140,160)内,C 正确; 这 2 000 头生猪体重的平均数为(0.001×90+0.004×110+0.01×130+0.016× 150+0.012×170+0.005×190+0.002×210)×20=152.8 (kg),D 正确. 3 12.答案 5 思路点拨 本题主要考查对数的运算性质. lg4 + 21g5 + log25 ⋅ log58=2lg2 + 21g5 + log25 ⋅ 3log52=2(lg2 + 1g5) + lg 5 lg 2 ⋅ 3 lg 2 lg 5 =5. 13.答案 2 2 3 π 思路点拨 本题主要考查空间几何体、圆锥的表面积与体积,考查了空间想象能 力. 因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为 120°,半径为 3的扇形,所以圆锥的母线长 为 l=3,底面周长即扇形的弧长为 2π 3 × 3=2π�, � = 1,所以底面圆的面积为 π�2=π,又圆锥的高ℎ = �2 − �2 = 2 2,故圆锥的体积为�=1 3 �ℎ =2 2 3 π. 14.答案 1 思路点拨 本题主要考查平面向量的坐标表示、平面向量的基本定理、圆，考 查了推理论证能力. 如图所示，x2+y2=r2,r= 12 5 ，由题意，点 P的坐标为 x=rcos �,y=rsin �,0 < � < π 2 ， �� = 3,0 , �� = (0,4)， 因为�� =��� + ���， 所以� = �cos � 3 , � = �sin � 4 ， 所以� + � = 4cos � 5 + 3sin � 5 = sin � + � ( tan� = 3 4 )， 所以� + �的最大值为 1. 15.答案 (1)3� + � − 2� =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)� + �� =(3+4k,2+k),2� − � =(-5,2), ∵(� + �� )//(2� − � ), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得 k=- 16 13 . 4 16.答案 (1)� = 2, � 4 = π 3 − π 12 = 2π 4� , � = 2, 所以� � =2sin(2� + π 3 ). (2)令− π 2 + 2�π ≤ 2� + π 3 ≤ π 2 + 2�π, � ∈ �. 得− 5π 12 + �π ≤ � ≤ π 12 + �π. 又因为� ∈ [0,π], 所以函数� = � � 在[0,π]的单调增区间为[0,π 12 ]和[ 7π 12 ,π]. (3)� � =2sin(2� + π 3 )=−1, 得� = �π + 5π 12 或� = �π + 3π 4 (� ∈ �), 函数� � 在每个周期上有两个零点,所以共有 5个周期, 所以� − �最大值为 5� + 2π 3 = 17π 3 . 思路点拨 本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用题中所 给的图象,求得函数的解析式;(2)通过整体代换,求得函数的单调递增区间,再结 合实际范围,确定确切的单调递增区间;(3)通过解方程,利用函数的周期性,求得 结论的最大值. 17.答案 (1)因为(0.004 + � + 0.018 + 0.022 × 2 + 0.028) × 10 = 1,所以 � = 0.006. (2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为 0.022 + 0.018 × 10 = 0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有 50 × 0.006 × 10 = 3(人),记为�1, �2, �3; 受访职工中评分在[40,50)的有 50 × 0.004 × 10 = 2(人),记为�1, �2. 从这 5名受访职工中抽取 2人,所有可能的结果有 10 种,它们是 �1, �2 , �1, �3 , �1, �1 , �1, �2 , �2, �3 , �2, �1 , �2, �2 , �3, �1 , �3, �2 , {�1, �2} 又因为所抽取 2人的评分都在[40,50)的结果只有一种,即{�1, �2}. 故所求概率为� = 1 10 . 思路点拨 本题主要考查频率分布直方图、用频率估计概率以及古典概型的概 率公式; (1)利用频率分布直方图中的各矩形面积之和为 1进行求解; (2)利用频率分布直方图中的矩形面积来估计频率,进而估计概率; (3)列举基本事件,利用古典概型的概率公式进行求解. 18.答案 (1)∵ 3� = 2�sin�,∴ 3sin� = 2sin�sin�,∴ sin� = 3 2 . ∵ �是钝角,∴ � = 2 3 π. (2)∵ 1 2 ��sin� = 15 3 4 ,∴ �� = 15. 5 ∵ �2 = �2 + �2 − 2��cos�, ∴ 49 = (� + �)2 − ��. ∴ � + � = 8. (3)∵ �2 = �2 + �2 − 2��cos�,36 = �2 + �2 + �� ≥ 2�� + ��,∴ �� ≤ 12. ∴ � = 1 2 ��sin� = 3 4 �� ≤ 3 3. (当且仅当� = � = 2 3时面积取最大值 3 3) 思路点拨 本题考查正余弦定理,三角形的面积公式. (1)由正弦定理得 sin� = 3 2 . ∵ �是钝角,∴ � = 2 3 π. (2)由三角形的面积公式得�� = 15,由余弦定理得� + � = 8. (3)由余弦定理得�� ≤ 12, ∴ � = 1 2 ��sin� = 3 4 �� ≤ 3 3. 19.答案 (1)连接OF.∵ABCD是正方形可知,点O为BD中点.又F为BE的中点, ∴�� ∥ ��. ∵��⫋平面���, ��⫋平面���,∴�� ∥ 平面���. (2)由�� ⊥ 底面����, ��⫋底面����,∴�� ⊥ ��,∵ABCD 是正方形可知,�� ⊥ ��, 又�� ∩ �� = �, ��, ��⫋平面���,∴�� ⊥ 平面���,∵��⫋平面���,所以 �� ⊥ ��. (3)在线段 EO 上存在点 G,使�� ⊥ 平面���.理由如下: 如图,取 EO 中点 G,连接 CG. 在四棱锥 E—ABCD 中,�� = 2��, �� = 2 2 �� = ��,∴�� ⊥ ��. 由(2)可知,�� ⊥ 平面���,而��⫋平面���,∴平面��� ⊥ 平面���,且平面 ��� ∩平面��� = ��,∵�� ⊥ ��, ��⫋平面���,∴�� ⊥ 平面��� 故在线段 EO 上存在点 G,使�� ⊥ 平面���.由 G 为 EO 中点,得�� �� = 1 2 . 数学试题 第 1 页（共 4 页） 绝密★启用前 高二年级上学期开学学业质量监测 数 学 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填 写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选 择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合� = {�|2 < � < 4}，� = {�|(� − 1)(� − 3) < 0}，则� ∩ � = A.(1,3) B.(1,4) C.(2,4) D.(2,3) 2．在 7,2 3 i,0,4+3i,(1+ 3)i,0.6 这几个数中,纯虚数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 3．10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15，17，14，10，15，17， 17，16，14， 12.设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 4．“x<0”是“ln(x+1)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．设�=log2 1 4 , �=2.1 1 3, �=( 4 5 )2,则�, �, �的大小关系为 A. � < � < � B.� < � < � C. � < � < � D. � < � < � 6．已知 sin � + cos �=−1,则sin3 � + cos3 �的值为 A.0 B.1 C.-1 D.±1 7．四面体� − ���的三组对棱分别相等，且长度依次为 2 5 , 13，5.则该四 面体的外接球的表面积 A. 29 4 π B.28π C.29 29 6 π D.28π 数学试题 第 2 页（共 4 页） 8．某次趣味运动会,设置了教师足球射门比赛:教师射门,学生守门.已知参与射 门比赛的教师有 60 名,进球数的平均值和方差分别是 3和 13,其中男教师进球 数的平均值和方差分别是 4和 8,女教师进球数的平均值为 2,则女教师进球数的 方差为 A.15 B.16 C.17 D.18 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错 的得 0 分. 9．定义平面向量的一种运算“Ⓗ”如下:对任意的两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),令 aⒽb=(x1y2-x2y1,x1x2+y1y2),下面说法一定正确的是 A.对任意的λ∈R,有(λ a)Ⓗb=λ(aⒽb) B.存在唯一确定的向量 e使得对于任意向量 a,都有 aⒽe=eⒽa=a 成立 C.若 a 与 b 垂直,则(aⒽb)Ⓗc 与 aⒽ(bⒽc)共线 D.若 a 与 b 共线,则(aⒽb)Ⓗc 与 aⒽ(bⒽc)的模相等 10.如图是函数 y=sin(ωx+φ)的部分图象,则 sin(ωx+φ)= A.sin(x+ π 3 ) B.sin( π 3 -2x) C.cos(2x+ π 6 ) D.cos( 5π 6 -2x) 11.2020 年上半年,中国养猪企业受猪价高位的利好影响,大多收获史上最佳半 年报业绩,部分企业半年报营业收入同比增长超过 1倍.某养猪场抓住机遇,加大 了生猪养殖规模, 数学试题 第 3 页（共 4 页） 为了检测生猪的养殖情况,该养猪场对 2 000 头生猪的体重(单位:kg)进行了统 计,得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是 A.这 2 000 头生猪体重的众数为 160 kg B.这 2 000 头生猪中体重不低于 200 kg 的有 80 头 C.这 2 000 头生猪体重的中位数落在区间[140,160)内 D.这 2 000 头生猪体重的平均数为 152.8 kg 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分. 12．计算 lg4 + 21g5 + log25 ⋅ log58 = . 13．一个圆锥的侧面展开图是半径为 3,圆心角为 120°的扇形,则该圆锥的体积 为 . 14．在矩形����中,�� = 3, �� = 4,点�在以�为圆心且与��相切的圆上,且在 矩形����内,若�� =��� + ��� ,则� + �的最大值为__________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15．（13 分） 已知向量� = (3,2), � = ( − 1,2), � = (4,1). (1)求 3� + � − 2� ; (2)若(� + �� )//(2� − � ),求实数 k. 16．（15 分） 已知函数� � =�sin(�� + π 3 )(� > 0, � > 0)的部分图象如图所示. (1)求�和�的值; (2)求函数� = � � 在[0,π]的单调增区间; (3)若函数� � = � � + 1 在区间(�, �)上恰有 10 个零点,求� − �得最大值. 17．（15 分） 数学试题 第 4 页（共 4 页） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组 区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]. (1)求频率分布图中�的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取 2人,求此 2人评分都在[40,50)的 概率. 18．（17 分） 已知△���的三个内角 A,B,C 所对的边分别是�, �, �, �是钝角且 3� = 2�sin�． (1)求�的大小； (2)若△ ���的面积为15 3 4 ,且� = 7,求� + �的值； (3)若� = 6,求△ ���面积的最大值． 19．（17 分） 在四棱锥 E —ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于 O,�� ⊥底面����,F 为 BE 的中点. (1)求证:�� ∥平面���; (2)求证:�� ⊥ ��; (3)若�� = 2��,在线段 EO 上是否存在点 G,使�� ⊥平面���？若存在,求出�� �� 的值;若不存在,请说明理由.