第二章 直线和圆的方程（复习课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第二章 直线和圆的方程 人教A版2019选择性必修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；探索并掌握两点间的距离公式；探索并掌握点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离；能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 3.确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 单元学习目标 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线平行和垂直的判定 单元知识图谱 一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角: 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 规定：①当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°. ②直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. ③方向相同的直线，倾斜角相同. 考点串讲 一、直线的倾斜角与斜率 3.倾斜角与斜率的范围 2.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，常用k表示. α的范围 k的范围 k=0 k>0 k不存在 k<0 与x轴垂直 与x轴平行或重合 α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率。 考点串讲 ①若直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量为 一、直线的倾斜角与斜率 4.直线的方向向量与斜率 则直线P1P2的斜率为 ②若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 考点串讲 二、直线的方程 （一）直线的方程的五种形式 形式 几何条件 直线方程 应用范围 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 在y轴上的截距为b, 且斜率为k 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 没有限制 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0且不过原点 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 平面直角坐标系内的任意一条直线 A，B不全为0 考点串讲 二、直线的方程 （二）两条直线的位置关系 形式 斜截式y=kx+b 一般式Ax+By+C=0 相交 k1≠k2 垂直 平行 考点串讲 三、直线的交点坐标与距离公式 （一）两条直线的交点坐标 (1)交点坐标： 联立两直线方程 解方程组得唯一的x, y的值；则交点坐标为(x，y). 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 (2)交点个数与直线位置关系： 考点串讲 三、直线的交点坐标与距离公式 （二）三个距离公式 1. 两点间的距离公式 平面直角坐标系内，P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式为 特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为 考点串讲 三、直线的交点坐标与距离公式 （二）三个距离公式 2. 点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为 分子是P点坐标代入直线方程左边 分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根 考点串讲 三、直线的交点坐标与距离公式 （二）三个距离公式 两条平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0的距离： 3. 两条平行直线间的距离公式 注意： (2) 两直线方程中要求x，y的系数要相同． (1) 把直线方程要化成一般式； 考点串讲 四、圆的方程 （一）圆的两个方程 1.圆的标准方程 (1)以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 (2)圆心在坐标原点, 则圆方程为 2.圆的一般方程 当D2+E2ￚ4F>0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 圆心为 半径为 考点串讲 四、圆的方程 （二）点与圆的位置关系 点P(x0, y0)与圆 的位置关系： |PC|<r |PC|=r |PC|>r 点在圆上 点在圆外 点在圆内 位置关系 图形 几何条件 代数形式 C P C C P P 考点串讲 四、圆的方程 （三）直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 直线与圆的交点个数 几何法：圆心到直线的距离 代数法：联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 2个 1个 0个 考点串讲 四、圆的方程 （四）圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 两圆交点个数 0个 1个 2个 1个 0个 几何法：圆心距d与R±r的关系 代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负) 当Δ=0或Δ<0时，不能确定两圆的位置关系 考点串讲 【题型一】直线中的对称问题 【例1】(1)点 关于直线 的对称点的坐标为______. [解析] 设点关于直线的对称点的坐标为 , 则解得 所以所求点的坐标为 题型剖析 【题型一】直线中的对称问题 【例1】(2) 直线关于点对称的直线 的方程为____________. [解析] 在直线上任取一点 , 设关于点的对称点为 , 则解得 由于在直线 上, 所以,即 , 故直线关于点的对称直线的方程为 题型剖析 【训练1】(1)点关于点的对称点 的坐标为( ). A A. B. C. D. [解析] 由题意知,B是线段 的中点. 设点,由中点坐标公式得 解得故 针对训练 【训练1】(2)已知直线与直线交于点 ,直线与直线关于点对称,求直线 的方程. [解析] 联立解得点的坐标为 , 由题意可得直线与直线平行, 则可设直线 的方程为 , 由直线与直线关于点对称, 得 到两条直线的距离相等,即 , 解得（舍）或 , 所以直线的方程为 针对训练 【题型一】直线中的对称问题 【例2】(1)平面直角坐标系中,点关于直线 的对称点的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设对称点的坐标为, 由题意可得 解得即所求点的坐标为 B 题型剖析 【题型一】直线中的对称问题 【例2】(2)已知点关于直线l对称的点为 ,求直线l的方程. [解析] 因为点关于直线l对称的点为,所以直线为线段 的中垂线, 易知线段的中点坐标为 ,且 , 所以直线的斜率 , 所以直线的方程为 , 即 题型剖析 【训练2】(1) 已知点 与点关于直线对称,则 _____. [解析] 易知线段的中点坐标为 , 因为点与点关于直线对称, 所以线段 的中点在此直 线上,所以,即 针对训练 【训练2】(2)已知直线恒过定点,求点 关于直线 对称的点的坐标. [解析] 直线方程 可化为 , 令解得 则此直线恒过点 针对训练 【题型一】直线中的对称问题 【例3】(1) 直线关于直线 对称的直线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设所求的直线方程为 , 则,解得或舍去 所以所求的直线方程为 B 题型剖析 【题型一】直线中的对称问题 【例3】(2) 已知直线关于直线 对称的直线为,求 的方程. [解析] 联立解得 即与的交点坐标为 取直线上一点 , 设点关于直线的对称点为 ,则解得即 , 所以直线的斜率 , 从而直线的方程为 ,即 题型剖析 【训练3】(1)直线 关于x轴对称的直线方程为( ) D A. B. C. D. [解析] 直线的斜率为2,且与轴交于点 , 则直线关于轴对称的直线的斜率为-2,并过点 , 所以所求的直线方程为 , 即 故选D. 针对训练 【训练3】(2)求直线关于直线 对称的直线 的方程. [解析] 在直线上取一点,则关于直线的对称点 必在直线 上. 设,则解得 故 . 设直线与直线的交点为 , 联立解得故 因为经过点 , 所以由两点式得直线的方程为 , 整理得 针对训练 【题型二】直线与圆的最值问题 【例4】(1)已知为上一点, 为直线上一 点,则线段 长度的最小值为( ) A A. B. C. D. [解析] 圆C的标准方程为,圆心为 ,半径 , 则圆心C到直线的距离 , 所以 ,故选A. 题型剖析 【题型二】直线与圆的最值问题 【例4】(2)已知是直线上一动点, 是圆 的一条切线,是切点,线段长度的最小值为2,求 的值. [解析] 圆的圆心坐标为,半径 , 是圆的一条切线, 是切点, , 当最小时,也有最小值,为 , 由点到直线的距离公式可得 , 题型剖析 【训练4】(1)已知直线 与圆的交点分别 为,当直线被圆 截得的弦长最小时, ( ) C A. B. C. D. [解析] 设直线所过定点为 ,则其坐标为 , 圆的圆心为,半径 , 则 , 易知点A在圆内,所以当直线与垂直时, 最短, 此时 .故选C. 针对训练 【训练4】(2)已知圆 ,过直线上任 意一点作圆 的切线,若切线长的最小值为,求直线 的斜率. [解析] 圆的圆心为,半径 , 设切线长最小时直线上对应的点为,则 , 又切线长的最小值为 , 所以,又,所以 , 则直线,故直线的斜率为 . 针对训练 【题型二】直线与圆的最值问题 【例5】若是直线 上一动点,过作圆的两条切线, 切点分别为 ,求四边形 面积的最小值. [解析] 圆的圆心为,半径 , 易得,且 , 所以四边形的面积 , 又 , 所以当最小时,最小,四边形 的面积最小, 的最小值即为点到直线 的最短距离, 所以,所以 , 所以四边形面积的最小值为 . 题型剖析 【训练5】已知点,若点 是圆上的动点, 面积的最小值为 ,求 的值. [解析] 圆的标准方程为,圆心,半径 , 直线的方程为 , 所以圆心到直线的距离 , 则圆上的点到直线的最短距离为 . 又 , 故,解得或 针对训练 【题型二】直线与圆的最值问题 【例6】已知点在圆 上运动,求: (1) 的最值; [解析] 表示点到定点 的距离的平方, 圆的圆心为,半径 , 则 , 所以 , 即 , 所以,即 的最大值为9,最小值为1. 题型剖析 【题型二】直线与圆的最值问题 （2） 的最值. [解析] 表示圆上的点与点 的连线的斜率, 根据题意画出图形, 设过点与圆相切的直线方程为 , 即 , 则圆心到该直线的距离 , 即,解得 , 的最大值为,最小值为 . 【例6】已知点在圆 上运动,求: 题型剖析 【训练6】已知实数满足方程 ,求: （1） 的取值范围;（2） 的最小值;（3） 的取值范围. [解析](1) 设,可得 , 则直线与圆 有公共点, 故,解得- , 则的取值范围为, [解析](2) 设,可得 , 则直线与圆 有公共点, 故,解得 , 则的最小值为 . 针对训练 【训练6】已知实数满足方程 ,求: （1） 的取值范围;（2） 的最小值;（3） 的取值范围. [解析](3) 设,其表示圆心为 ,半径为r的圆, 由于 , 所以点在圆 外, 因为圆与圆有公共点,圆心距 , 所以,解得2- , 故 , 即的取值范围为 针对训练 【题型三】直线与圆、圆与圆相切问题 【例7】 已知圆 （1）若直线过定点,且与圆相切,求直线 的方程; [解析] (1)圆的标准方程为 , 所以圆的圆心为 ,半径为2. 若直线 的斜率不存在,则直线方程为 ,符合题意; 若直线的斜率存在,设直线的方程为 , 即 由题意知,圆心到直线 的距离等于半径2, 所以,解得, 所以直线方程为 ,综上, 直线的方程是或 题型剖析 【题型三】直线与圆、圆与圆相切问题 （2）若圆的半径为3,圆心在直线上,且与圆 外切,求圆 的方程. [解析](2)依题意可设,已知圆的圆心为 ,半径为2, 由两圆外切,可知 , 所以, 解得或 , 所以或, 故圆的方程为 或 【例7】已知圆 题型剖析 【训练7】(1)已知圆 <m></m> ，点 <m></m> 是 <m></m> 轴上的一个动点，直线 <m></m> , <m></m> 分别切圆 <m></m> 于点 <m></m> , <m></m>，求线段 <m></m> 长度的取值范围. [解析] 如图,连接 <m></m> 交 <m></m> 于点 <m></m> ，则 <m></m> ， 由题意得圆 <m></m> 的半径 <m></m> ，连接 <m></m> ，设 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 在 <m></m> 中， <m></m> ， 所以 <m></m> . 设 <m></m> ，因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 则 <m></m> . 针对训练 【训练7】(2)已知圆,圆心分别为 的圆与圆相切,圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于 两点,求线段 的长度. [解析] 由已知得,半径 ,设圆的半径分别为 , 由题意知圆与需外切,否则圆 无公切线或公切线(倾斜角为钝角)与圆 无交点. 由题意得 , 即,故圆 , ,即 ,故圆 , 针对训练 【训练7】(2)已知圆,圆心分别为 的圆与圆相切,圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于 两点,求线段 的长度. 设圆的公切线方程为 , 则解得即 , 故点到直线的距离 , 故 . 针对训练 【题型四】直线与圆、圆与圆相交问题 (1)若直线过点A,且被圆截得的弦长为,求直线 的方程; [解析](1) 圆的圆心为,半径 . 当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 此时圆心 到直线的距离,则弦长为2 ,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 ,即, 此时圆心到直线 的距离 ,则弦长为2 , 解得,所以直线的方程为,即 综上,直线的方程为或 【例8】已知圆 题型剖析 【题型四】直线与圆、圆与圆相交问题 【例8】已知圆 (2)若直线过点,且与圆相交于两点,求 面积的最大值,并求此时直 线 的方程. [解析](2)易知点在圆外,显然直线的斜率存在,设直线 的方程为 ,则圆心到直线的距离 , 所以 , 所以 . 当,即时, 最大,为1, 由,解得或, 所以直线的方程为 或 题型剖析 【题型四】直线与圆、圆与圆相交问题 【例9】已知圆 ,圆 (1)若直线经过圆与圆 的公共点,求直线l的方程; [解析] 联立作差可得 , 即两圆的交点所在直线的方程为 , 故直线l的方程为 (2)若圆过两圆的交点且圆心在直线上,求圆 的方程. [解析] 解法一:联立 解得或 不妨设两圆的交点为 弦的垂直平分线的方程为 , 题型剖析 【题型四】直线与圆、圆与圆相交问题 圆过两圆的交点,且圆心在直线 上, 圆的圆心既在弦的垂直平分线上,又在直线 上, 联立解得即 . 圆的半径 , 圆的方程为 . 解法二:设圆 的方程为 , 化简为 , 圆心在直线 上,,解得 , 所以圆的方程为 . (2)若圆过两圆的交点且圆心在直线上,求圆 的方程. 题型剖析 【训练8】已知圆<m></m>经过点<m></m>，<m></m>，直线<m></m>平分圆</m>，直线<m></m>与圆 <m></m>相切，与圆m</m>相交于<m></m>，<m></m>两点，且<m></m>. (1)求圆 <m></m> 的方程； [解析] 依题意知，圆心 <m></m> 在 <m></m> 轴上， 所以可设圆心 <m></m> 的坐标为 <m></m> ，则圆 <m></m> 的方程为 <m></m> . 因为圆 <m></m> 经过 <m></m> ， <m></m> 两点，所以 <m></m> ， 即 <m></m> ，解得 <m></m> . 所以 <m></m> ， 所以圆 <m></m> 的方程为 <m></m> . 针对训练 (2)求直线 <m></m> 的方程. [解析] 当直线<m></m>的斜率不存在时，由直线<m></m>与圆<m></m>相切得<m></m>的方程为<m></m>， 此时直线<m></m>与圆m</m>交于<</m>，m</m>两点，不妨设<m></m>点在m</m>点的上方， 则<m></m>，<m></m>或m</m>，<m></m>， 则<m></m>，所以</m>，满足题意. 当直线<m></m>的斜率存在时，易知斜率不为0， 设直线<</m>的方程为<m></m>，></m>，<m></m> ， 将直线<m></m>的方程与圆<m></m>的方程联立，得 <m></m> 消去m</m>，整理得 <m></m> ， 针对训练 则 <m></m> ， 即 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，即 <m></m> ， 故 <m></m> ，满足 <m></m> ，符合题意. 因为直线 <m></m> 与圆 <m></m> 相切， 所以圆心 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> ，即 <m></m> ， 故 <m></m> ，得 <m></m> ， 故 <m></m> ，得 <m></m> . 故直线 <m></m> 的方程为 <m></m> . 综上，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> 或 <m></m> . 针对训练 一、对称性问题 方法归纳 1.点关于点对称 通常利用中点坐标公式,即点关于 的对称点为 2.直线关于点对称 求与直线关于点对称的直线 的方程: （1）在直线上任取一点,求关于 的对称点,将的坐标代入直线的方程,化简得 的方程. （2）根据直线l与直线的平行关系设出直线 的方程,然后利用点M到两条直线的距离相等列式求解即可. 课堂总结 一、对称性问题 方法归纳 3.点关于直线对称 设点关于直线的对称点为,因为点 与的连线与直线垂直,且线段 的中点在直线上, 所以求解即可得点 的坐标. 课堂总结 一、对称性问题 方法归纳 4.直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行. （1）若直线与对称轴平行,则关于对称的直线到直线 的距离与到直线的距离相等,由两条平行直线间的距离公式即可求出直线 关于l对称的直线 （2）若直线与对称轴相交于点,则交点必在关于对称的直线 上,再求出上除点外任意一点关于直线对称的点 ,那么经过交点及点的直线就是 课堂总结 二、最值问题 方法归纳 1.圆上的点到直线的距离最值问题的解题思路 已知圆C和圆外的一条直线,过圆心C作l的垂线,垂足为 与圆C交于点,其反向延长线交圆于点 ,则圆上的点到直线距离的最小值为,最大值为 2.切线长度最值问题的求解方法 （1）代数法:直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函 数求最值问题; （2）几何法:将问题转化成圆心到直线的距离问题. 已知圆和圆外的一条直线,过直线l上的点作圆的切线,切点为 , 当 时, 切线长有最小值. 3.过圆内定点的弦长最值问题的解题思路 已知圆及圆内一定点 ,则过P点的所有弦中最长的为直径,最短的 为与该直径垂直的弦. 课堂总结 二、最值问题 方法归纳 4.与圆有关的面积最值与范围问题 一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,利用函数不等式求解或数形结合求解. 5.与圆的代数结构有关的最值问题 处理与圆的代数结构有关的最值问题时,应充分考虑圆的几何性质, 并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解,常见的题型有以下几种: （1）形如的最值问题,可转化为过定点 的动直线斜率的最值问题求解. （2）求形如 的最值,可转化为求动直线截距的最值.具体方法: ①数形结合法,当直线与圆相切时,直线在 轴上的截距取得最值; ②把代入圆的方程中,消去得到关于 的一元二次方程,由求得 的范围,进而求得最值. （3）求形如 的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把看作是点与圆上的点 的距离的平方,利用数形结合法求解. 课堂总结 三、直线与圆、圆与圆的相切问题 方法归纳 1. 圆的切线问题 圆的切线问题要抓住圆心到切线的距离等于半径,从而建立关系式解决;过圆外一点P的切线长问题,要利用点P与圆心的距离、半径及切线长间的关系求解. 2.两圆相切时常用的性质: （1）设两圆的圆心分别为,半径分别为 ,则两圆相切，则 （2）两圆相切时,两圆圆心的连线过切点. 课堂总结 三、直线与圆、圆与圆相切的问题 方法归纳 3.圆的切线方程常用结论: （1）过圆上一点的圆的切线方程为 （2）过圆上一点 的圆的切线方程为 （3）过圆外一点 作圆的两条切线,则两切点所在 直线方程为 课堂总结 四、直线与圆、圆与圆的相交问题 方法归纳 1.直线与圆相交 当直线与圆相交,求直线被圆截得的弦长时,要充分利用与圆相关的平面几何知识: （1）垂直于弦的直径平分这条弦; （2）圆心与弦中点的连线垂直于这条弦; （3）其中为弦心距,为弦长,为圆的半径 2.两圆相交 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 项得到. 课堂总结 四、直线与圆、圆与圆的相交问题 方法归纳 3. 直线与圆的综合问题的求解策略 （1）利用“设而不求”的思想，把几何问题转化为代数问题，通过代数计算，使问题得到解决. （2）直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分运用平面几何知识，如在直线与圆相交的有关线段长度的计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的弦长放到一起综合考虑. 课堂总结 感谢聆听! $$