21.3 二次函数与一元二次方程 导学案 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

21.3　二次函数与一元二次方程 素养目标 1.知道二次函数与一元二次方程的联系,会求抛物线与坐标轴的交点坐标. 2.理解用一元二次方程根的判别式判断二次函数与x轴的交点个数. 3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根,发展估算能力. ◎重点:1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 【预习导学】 知识点一：二次函数与一元二次方程的关系 阅读课本本课时“观察”及其之前的内容,回答下列问题. 1.观察“图21-20”,抛物线与x轴相交时,y=　 　;在x轴上方的部分,函数值y　 　0;在x轴下方的部分,函数值y　 　0.  2.思考:(1)二次函数y=x2+3x+2与x轴交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根是什么关系? (2)试完成下列表格: 二次函数y=ax2+ bx+c与x轴的交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 的值 有两个交点 　 　  没有交点 　 　  　 　  知识点二：图象法求一元二次方程的近似解 阅读课本本课时“例”题至“练习”,回答下列问题. 1.观察“图21-21”,我们发现二次函数y=x2+2x-1与x轴的一个交点在-3和-2之间,当x=-3时,二次函数y　 　0;当x=-2时,二次函数y　 　0.  2.讨论:(1)我们是如何进一步确定上题中交点的范围是在-2.5与-2.4之间的? (2)我们能不能进一步精确二次函数y=x2+2x-1与x轴负半轴的交点坐标?尝试将结果精确到0.01. 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判定式可确定抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数.由此可知抛物线y=x2+x-1与x轴的交点有　 　个.  2.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是　 　.  【合作探究】 任务驱动一 1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 ( ) A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 任务驱动二 2.小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试:在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x-10的图象,由图象可知,方程x2+2x-10=0有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间.利用计算器进行探索:由下表知,方程的一个近似根是 ( ) x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 　　A.-4.1 B.-4.2 C.-4.3 D.-4.4 任务驱动三 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是 ( ) A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>3 方法归纳交流　二次函数的图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决;反过来,一元二次方程的根的问题,又常用二次函数的图象来解决. 1.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是 ( ) A.b<1且b≠0 B.b>1 C.0<b<1 D.b<1 2.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0)和B(3,2),不等式x2+bx+c>x+m的解集为　 　.  3.已知在二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表: x … -1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 　　则当y<5时,x的取值范围是　 　.  参考答案 【预习导学】 知识点一 1.0　>　< 2.(1)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程x2+3x+2=0的根. (2)有两个不相等的实数根　>0　没有实数根　<0 知识点二 1.>　< 2.(1)当x=-2.5时,二次函数y>0;当x=-2.4时,二次函数y<0. (2)当x=-2.42时,二次函数y>0;当x=-2.41时,二次函数y<0. 对点自测 1.2 2.x1=-2,x2=1 【合作探究】 任务驱动一 1.D 任务驱动二 2.C 任务驱动三 3.D 素养小测 1.A 2.x<1或x>3 3.0<x<4 学科网（北京）股份有限公司 $$