安徽省合肥市庐江中学2025-2026学年高三上学期调研考试（二）数学试卷

庐江中学高三年级调研考试（二）数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 B A A B BCD BD 题号 11 答案 BD 1.D 【详解1因为 x+2+2, 可得-0， x+2 x+2 等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,所以不等式的解集为{x2<x<1}.故选：D. 2.B 【详解1由6eae +b=l,则a+c+B+bc=ab+ae+bc+c2,所以a2+b-c2=ab, 由余弦定理，可得mC口+片--片因为0<e<,所以C-青放选：B 2ab 2 3.B -斗一牛可。2，故复数：对应点（化列的轨迹方程为 2 【详解】对于A:由新运算法则可知 2 (x-2)2+y2=4,故A错误： 对于B:由新运算法则可知 k-=-6矿+了=x,-12x+36+少=，故复数：对应的点 31 =(x,y)的轨迹方程为y2=12x-36,x≥3，故B正确： 对于C:由新运算法则可知 z-3列px+2y-3并4r+(2y-)y,则复数：对应点G的 轨迹方程为4x2+3y2-12y+9=0,1≤y≤3，故C错误； 2z-=2x+(2y-1=√4+(2v-=x则复数：对应点：化)的轨 z i 对于D:由新运算法则可知 迹方程为3x2+4y2-4y+1=0,x≥0，故D错误故选：B. 4.B MP+Mg=PQ-20c2,再利用基本（均值）不等式即可求解. 第1页共13页 【详解】根据题意作图如下， 因为椭圆c的离心率e=5,所以a=c.因为d=b+c2,则3c=+c, a 3 所以b=√x,所以椭圆c的蒙日圆的半径为√层+b=√3C+2c=√5c: 因为MP⊥Mg,所以P2为蒙日圆的直径，所以Pg=2N5c, 所以MP+MQ=Pg=20c2. 因为M-wols uP矿+MO_1n,当Mm=MO=时，等号成立， 2 所以aMPe面积的最大值为MrMg=5c2.由aMPe面积的最大值为10， 得5c2=10,得c=√互，进而有a=√6，故椭圆C的长轴长为2a=26.故选：B. 5.A 【详解】若/)=x+1+,24=x++为奇函数，则f(+f⊙=0， 2-a 2-d 即-x++口+x++0=0,整理得 a-2-a2-d+1-a2+a2-a=0, 2*-a 2-a (2-a(2-a) 2-2d 即(2-a2'-a =0,解得a=1 当a=1时，函数f(x)的定义域为{x≠0)关于原点对称，且f(x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数； 当a=-1时，函数f(x)的定义域为R关于原点对称，且f(x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数 所以函数f(x)为奇函数的充要条件是a=1或a--1. 所以a=1是函数国=+1中2。为奇通数的充分不必要条件。故选： 6.A 【10a登好a经祭m存小片ma引小碳a胃29 则sina= [任d到仔小传加导99942 oaw[将月m得am导m(a▣9 第2页共13页 又-子0m任}9mp=后-小-2mw任-1-则m-m5.35 6we-=wme:g=94。（计兰， 63 又0<a<受且于<0，则0<a-<,a-B= ,故选：A 7.B 【详解】设事件M为第一个白球在k次取出，且第二个白球在第m次取出，其中1≤k<m, 则w)))， 所以-pw小品周8)g周 好湖源 故m=3时， m=4时， 62>1,即P-￡>0，B>R,故A错误，B正确： 512 83 455 故m=3时， 625<1,即B+R-2P<0,2R>B+B, 16×64 m=4时， 16(4 625×5-31251,即卫+2-2R<0,2B>R+R,故C,D错误故选：B. 64×644096 8.C 【详】解由题意/儿)-了)上cosco-mx e e e 第3页共13页 令fo)=0,则co+司-0，所以x+牙-+eZ列，解得=牙+k红keZ. 42 4 由函数y=c心(+骨到图象可知，=子+红（化eZ是f9的极值点， 4 又xe[0,+o）),所以{化}是以二为首项、云为公差的等差数列， 所以怎=-华+nueN), 当m=2水-LkeN时，设a,=f化)=万 迈 beN), 当n=2k,keN时，设a=f化)=-5。-迈 2e2 eN). 从而 S6=(a+a++a）+(a2+a++a26)=(亿+b2++bo)+(G+c2++Go1) -e门-].-e-e门 2(e-e20 。 2e 故选：C. 28 1-e2m 1-e2a 2e1-e） 2ee"+1) 9.BCD 【详解】对于A,函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f()=e*(x+), 则当x>0时，-x<0,故f(x)=-f(-x)=-e(-x+1)=e“(x-1),A错误： 对于B,函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(O)=0: 当x<0时，令f(x)=e(x+1)=0,解得x=-1: 当x>0时，令f(x)=e(-1)=0,解得x=1； 故函数f(x)有3个零点，B正确： 对于C,当x<0时，令f(x)=e(x+1)<0,解得x<-1: 当x>0时，令f(x)=e'(r-1)<0,解得x<1,则0<x<1, 故f(x)<0的解集为(-m,-1)U(0,1),C正确： 对于D,当x<0时，f(x)=C(x+2),所以x<-2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， -2<x<0时，∫(x)>0,f(x)单调递增，所以x=-2时，f)取最小值为-e2, 第4页共13页 且x<-1时，f(x)<0,所以f(x)<f0)=1,即-e2<f(x)<1, 当x>0时，f'(x)=e*(-x+2),当0<x<2时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x>2时，∫'(x)<0,fx)单调递减， 所以x=2时，f(x)取极大值为e3,且x>1时，f(x)>0,0<x<1时，f(x)<0, 所以f(x)>f(0)=-1,所以-1<f(x)<e2, 综合以上，f(x)的值域为(-1，)，所以，x,∈R,都有(：)-f(x<2,故D正确：故选：BCD 10.BD 【详解】考虑相对运动，让四面体ABCD保持静止， 平面a绕着CD旋转，其垂线也绕着CD旋转， 如图，取AD中点F,连接EF,则EF//CD,等价于平面a绕若EF旋转， 设正四面体ABCD中棱长为2， 在△BBF中，B=BF=5,BR=1,cos∠BBF=3+-3-V5 2×√3×16 如图所示，将问题抽象为如下几何模型，平面α的垂线可视为圆锥的底面半径EP,绕着圆锥的轴EF旋转， 显然子∠B5F≤∠PBB≤受+∠BBP,注意B,P在EF同侧共面取左侧等号 在EF异侧共面取右侧等号，则 B ssin∠PEBs1, 6 设驱与平面α所成的角为0，则可得 6 ≤cos8≤1，故选：BD 11.BD 【详解】对于A,若双曲线渐近线的夹角为60，则=5或b=5 a 3 故可得e= 即A错误： 3 对于B,设AE=x,则由BF-AF=2a以及双曲线定义可得BE=x, 故AF=x-2a,Br=x+2a,则ABl=Ar+BF=2x-2a 又A⊥AR,即AR⊥AB可得AB+A=BF, 因此x2+(2x-2a)2=(x+2a2,解得x=3a, 第5页共13页 又AR+4=R,即x2+x-2a2=4c,可得10a=4c,即S=0 dΓ4 故双曲线的离心率为e=S.而，即B正确， a 2 D 对于C,如下图所示：令△AFE的内切圆I切AR,AF,FE分别为D,Q,T, AD=A0.FD=FTFO-IET1. 所以FT-E,T=ED-E,g=AF-AE=2a, 令点T(,0),而(-c,0),(c,0),因此x。-(-c)-(c-x)=2a,解得x=a: 又IT⊥乃E,则点I的横坐标为a, 同理可得I的横坐标也为a,即1，I:所在直线方程为x=a: 设直线4B的顿斜角为20，则∠0R以，=8<0R-子0， 在4中，=p经-am经8 在△TFL2中，5=Ttan0=(c-a)tan0, 又a=1,b=√5可得渐近线斜率为±5，且c=Va2+b2=2, 因为A,B均在右支上，故60°<20<120°，30°<0<60°，即tam8∈ 因t-5-n6-e-am0:过gm0c( 2W52W5 tan 3’3 可知C错误： 对于D,由A山=21P可得2= LAFI ARI AF+ARI R+ARI IP FP FP FP+RP 2c 故AE引+A=4c,而A-AE=2a,可得AE=a+2c,AE=2c-a, 又直线1的斜率为5，所以∠AEE=120, 由余弦定理可得(a+2c)=(2c-a)+4c2+2c(2c-a),解得4c=5a, 即则双曲线的离心率为后子，可得D正确故选：BD 12.- <a<0 3 【详解】已知f(x)=+x2++1,函数定义域为R, 第6页共13页 可得f'(x)=3r2+2x+a, 因为x和x分别是函数∫(x)的极大值点和极小值点， 所以x1,2是方程f(x)=3a2+2x+a=0的两个不等实根， 所以△=4-12>0，解得-5as5 <a< 3 3 又x>x,所以f(x)=3ax+2x+a为开口向下的二次函数，故a<0, 而当a=0时，原函数只有一个极值点，矛盾， 当a>0时，f(x)在(-∞，x)单调递增，在(：，)单调递减，在(：，+)单调递增，这与题干矛盾： 故所求范围是-5 <a<0 3. 【详解】如图，过点O作OD⊥AB、OE⊥AC,垂足分别为D、E, 点O是VABC的外心，：D、E分别是AB、AC的中心 .BC.AO=BA+AC)AO=BA.A0+AC.AO =BAcos(π-∠OAD)+ACcos∠0AC =-厂cos∠oAD+厂cos∠c=-BA4AD+4caE e号g6-6-}片 由(b-1)+c2=1得c2=2b-b>0,从而0<b<2, +C0的取值范国为[) 14,1+5V6 6 【详解】连接002，O,0,00,00,0,0,0,0, 由题可得三棱锥O-O,O,O,是棱长为2的正四面体， 连接00,00,00，00,00。，00,00,00,00,00,00,00， 因为Q,O2,O3,O两两相切，O2,O,O,O两两相切，Q,O2,O,0,两两相切， 第7页共13页 Q,0,O,O两两相切，所以三棱锥Q,-O0,Q、三棱锥Q.-O,O,O,、 三棱锥O,-O,O,0,.三棱锥O,-0O,0,分别是以三棱锥0，-O,O,O的四个面为底面， 且棱长均为2的正四面体，又O,O,O,Q均与球O相切， 0 所以三棱锥O-OO,O,的外接球球心就是大球的球心O 0 作出三棱锥0-OO,O,和三棱锥O,-OO,O,的示意图如图所示， 连接O0,,则球0的半径为1+OO,. 25 2 易得正四面体的高h 21 2v6 3 O到平面O,Q,0,的距离即三棱锥O-QO,O,内切球的半径r, 3 易得 9 =h-,得r=5,则o0,=h+r=5 6 6 所以球0的半径为1+5V6 15. a)证明见解析② 【详解】(1)设O是AD的中点，连OB,OC,OE,OF,AE,EF,FD, E 依题意，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=8,BC=4,∠DAB=60, 点E,F在以AD为直径的半圆上，且AB=EF=FD, 由等边三角形可知AB.CDFE分布在同一个圆周上， 且AE=EF=FD=DC=CB=BA,则六边形ABCDFE为正六边形， EF/IAD∥BC,EFa面ABCD,BCC面ABCD,,EF∥ABCD. (2)在图1中连EB交AD于O,则AD⊥EB,连FC交AD于O,则AD⊥FC, 故在图2中，AD⊥OE,AD⊥OB,OE⌒OB=O,OE,OBC平面EOB, 所以AD⊥平面EOB,同理可证得AD⊥平面FO,C, 记面ABB与面CDF所成角为B,则∠BOB=∠FO,C=8,SaB=Soe=6sim6, VA-DC=V+Vo+V- ax40+a×R+e×0=328=2. 1 故血0=10-号，即面AEFDL面4BcD 第8页共13页 法一（几何法）：延长AB,DC交于O,延长AEDF交于P, 则PQ为面ABB与面CDF交线且AP=AO=8,PD=QD=8,取PQ中点M, 连接AM,DM,则AM⊥PODM⊥PQ,则∠AMD即为面ABE与面CDF所成角. 在aAMD中，AM=DM=2W10,AD=8,故cos∠AMD= (2W10)2+(2W10)-81 2.210.2√10 故面4：与面CDF所成角的余弦值为} 法二（坐标法）：以O为坐标原点，OB,QD,OE所在的直线为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系，则 A(0,-2,0),B25,0,0)E0,0,25)C6,4,0）D0.6,0)F64,23f) 丽=(5.201=225)，有匹n=2+2=0 AE.ii=2y+2z=0 D 令x=1,得i=(1,-5,1), 同理可得面CDF法向量m=(1,V3,1),设面ABE与面CDF所成角为a, mn 1 故cosd= m阿3 3,x1-x-）(m+2)x ,x0且x判1 1-x1-x) 1-x 16.(1)证明见解析(2)'(x)=3,x=0 (m+5) 2 ,x=1 【详解】(1)由题意证明如下，neN,在数列{a}中，a=3,a1= =%+1 n+】n+1 所以(u+1)a:=a+1,即(n+1)a41-a。=1, 所以数列{a}是以1×4=3为首项，1为公差的等差数列 (2)由题意及(1)得，n∈N, 在数列血}中，首项为3，公差为1，所以m=3+1x-1),即a=1+2 在e)=a*a4a中，)=3+2+++引} 所以f(x)=3+4x++(m+2)x,所以f'(x)=3x+4x2++(m+2)x", 第9页共13页 当x1且x0时，两武相减得0-/时=3++++m+3.3多-】）{e, 1-x 1-x 当x=1时，∫0)=3+4++似+2m+)。 2 当x=0时，f"(0)=3: 3x1-x）(0m+2）x ,x≠0且x 1-x(1-x) 1-x 综上，f'(x)={3,x=0 ·(前两种情况结果可合并) m(m+5) ,x=1 3 17.()数据见解析，有2206)1山 【详解】(1)如表a=36,b=24,c=24,d=36, 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 x=120x66x36-24x24 60x60x60x60 =4.800>3.841,∴有95%的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联. (2)按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为CCC。3 C0201 (3)由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为片， 易知X-2) 1 2X-n 设Y= n 根据结论一，知Y-N(0,1).再根据结论二，知P(-1.65≤Y≤1.65)≈2×0.95-1=0.9. 所以≥1.65，解得n≥10.89，所以正整数”的最小值为11. 第10页共13页第 1 页 共 5 页 庐江中学高三年级调研考试（二） 数学试卷 命题人 时间：120 分钟 分值：150 分 一、单选题（每题 5分，共 40 分） 1．不等式 1 1 2 2 x x x x        的解集为（ ） A． 2x x   或 1x  B．{ | 2}x x   C． 1x x  D． 2 1x x   2． ABC 的内角A， B，C的对边分别为 a，b，c，且 1 a b b c a c     ，则C为（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 3．定义运算 a b ad bc c d   ，已知复数  i ,z x y x y  R ，其中 i为虚数单位，则下列说法正确 的是（ ） A．若复数 z满足条件 1 2 2 1 z  ，则复数 z对应点  ,z x y 的轨迹方程为 2 2( 2) 2x y   B．若复数 z满足条件 2 3 1 z x ，则复数 z对应点  ,z x y 的轨迹方程为  2 12 36 3y x x   C．若复数 z满足条件 i 3 2 z y ，则复数 z对应点  ,z x y 的轨迹方程为 2 24 3 12 9 0( 0)x y y y     D．若复数 z满足条件 i 1 2 z x ，则复数 z对应点  ,z x y 的轨迹方程为 2 23 4 4 1 0( 0)x y y x     4．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆 心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的蒙日圆方 程为 2 2 2 2x y a b   ， 1F， 2F 分别为椭圆 C的左、右焦点．离心率为 3 3 ，M为蒙日圆上一个动 点，过点 M作椭圆 C的两条切线，与蒙日圆分别交于 P，Q两点，若 MPQ 面积的最大值为 10，则椭圆 C的长轴长为（ ） A． 4 6 B．2 6 C．2 3 D． 4 3 第 2 页 共 5 页 5．“ 1a  “是“函数 2( ) 1 2x af x x a     为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 π0 2   ， π 0 2    ， π 1cos 4 3       ， π 3cos . 4 2 3       则  的值为（ ） A． π 4 B． π 2 C． 3π 4 D． π 4 或 3π 4 7．袋子里有大小相同的 3 个红球和 2 个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红 球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记 mP 为取了  2,3,m m   次后白球恰好全部取出 的概率，则（ ） A． 3 4P P B． 4 5P P C． 4 3 52P P P  D． 5 4 62P P P  8．已知函数    sin , 0,ex xf x x    ，记 nx 为  f x 从小到大的第 n个极值点，数列 na 满足  n na f x ，其前 n项和为 nS ，则 2026S （ ） A．     π 2025π π π4 2 e e 2e 1 e   B．     2026π π π4 2 1 e 2e 1 e   C．     π 2025π π π4 2 e e 2e e 1   D．     2026π π π4 2 1 e 2e e 1   二、多选题（每题 6分，共 18 分） 9．已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， ( ) e ( 1)xf x x  ，则下列命题正确的是（ ） A．当 0x  时， ( ) e ( 1)xf x x   B．函数 ( )f x 有 3 个零点 C． ( ) 0f x  的解集为 ( , 1) (0,1)   D． 1 2, Rx x  ，都有    1 2 2f x f x  10．（多选）如图，在正四面体 ABCD中，CD在平面 内，点 E是线段 AC的中点，在该四面体 绕CD旋转的过程中，直线 BE与平面 所成角的余弦值可能是（ ） A． 1 6 B． 3 6 C． 2 6 D．1 第 3 页 共 5 页 11．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F ．过 2F 的直线 l交双曲线C的 右支于 A B、 两点，其中点 A在第一象限． 1 2AF F△ 的内心为 1I ， 1AI 与 x轴的交点为 P，记 1 2AF F△ 的内切圆 1I 的半径为 1r， 1 2BF F△ 的内切圆 2I 的半径为 2r ，则下列说法正确的有（ ） A．若双曲线渐近线的夹角为60o，则双曲线的离心率为 2 3 3 B．若 1 2AF AF ，且 1 1 2BF AF a  ，则双曲线的离心率为 10 2 C．若 1a  ， 3b  ，则 1 2r r 的取值范围是  3, 3 D．若直线 l的斜率为 3， 1 12AI I P ，则双曲线的离心率为 5 4 三、填空题（每题 5分，共 15 分） 12．已知 1x 和 2x 分别是函数   3 2 1f x ax x ax    的极大值点和极小值点. 若 1 2x x ，则 a的 取值范围是 . 13．设点O是 ABC 的外心， AB c ， AC b ，  2 21 1b c   ，则 BC AO   的取值范围为 ． 14．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球O，内部是 8 个半径均为 1的小球  1,2,3, ,8iO i   （球壁厚度均忽略不计），其中 1 2 3 4, , ,O O O O 两两相切， 1 2 3 5, , ,O O O O 两两相切， 2 3 4 6, , ,O O O O 两两相切， 1 2 4 7, , ,O O O O 两两相切， 1 3 4 8, , ,O O O O 两两相切，且 5 6,O O ， 7 8,O O 均与球O相 切，则球O的半径为 . 四、解答题（13+15+15+17+17=77 分） 15．如图 1，在等腰梯形 ABCD中， AD∥ , 8, 4, 60BC AD BC DAB   ，点 ,E F在以 AD为直 径的半圆上，且  AE EF FD  ，将半圆沿 AD翻折如图 2. （1）求证： EF ∥平面 ABCD； （2）当多面体 ABE DCF 的体积为 32时，求平面 ABE与平面CDF夹角的余弦值. 第 4 页 共 5 页 16．设数列 na 满足 1 1 13, 1 1 n n naa a n n      （1）证明： nna 为等差数列并求 na ； （2）设   21 2 mmf x a x a x a x    ，求  f x ． 17．无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影 响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校 120名大学生 （男女各 60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为 衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得 5分，每名中立者得 3 分，每名反对者得 1 分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补 齐数据，并作出检验判断：能否有95%的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度性别 支持 不支持 男 a b 女 c d 附：         2 2 ( )n ad bc a b c d a c b d       ，  2P k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的 60 名男大学生中，按分层抽样选 10名学生进行深度追踪访谈，求选出的 3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； 第 5 页 共 5 页 （3）从该校任选 n名学生，其中得分为 5 的学生人数为 X ，若 3 0.9 4 4 n nP X       ，利用下面所 给的两个结论，求正整数 n的最小值． 结论一：若随机变量  ,B n p  ，则随机变量  1 np np p    近似服从正态分布  0,1N ； 结论二：若随机变量  0,1N  ，则  1.28 0.9P    ，  1.65 0.95P    ． 18．圆心在 x轴上移动的圆经过点 ( 4,0)A  ，且与 x轴， y轴分别交于 ( ,0)B x ， (0, )C y 两个动点. （1）求点 ( , )T x y 的轨迹 E的方程； （2）过点 (3,2)D 作互相垂直的两条直线 1 2 1, ,l l l 与曲线 E相交于 1 1,P Q 两点， 2l 与曲线 E相交于 2 2,P Q 两点，线段 1 1 2 2,PQ PQ 的中点分别为 M，N． （ⅰ）试问直线 MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由； （ⅱ）求 AMN 面积的最小值. 19．数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数 siny A x ．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复 合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也 同时在振动．已知刻画某声音的函数为   1 1sin sin 2 sin 32 3f x x x x   ． （1）求函数  f x 在 π π,4 4f         处的切线方程； （2）求函数  f x 在  0, π 上的单调区间； （3）函数     2sing x f x x mx   ，若  g x 在  0, π 上有三个不同的极值点 1 2 3 π, , , 1, 2, 3 2i x x x x i      ， 证明： 1 2 3 1 1 1 cos cos cosx x x   为定值．