1.2集合间的基本关系【七大考点+八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.2集合间的基本关系 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【题型归纳】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 【例1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【跟踪训练1】（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【跟踪训练2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 题型二. 求集合的子集（真子集） 【例2】（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）若，则集合的个数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三. 判断两个集合的包含关系 【例3】．（24-25高一上·全国）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【跟踪训练1】（24-25高一上·上海）已知集合，则下列集合是集合的子集的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【跟踪训练2】（25-26高一上·全国）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 题型四. 根据集合的包含关系求参数 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A．2≤m≤3 B．2≤m<3 C．m≤3 D．2<m≤3 【跟踪训练1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、判断集合相等关系 【例5】（2025高一上·湖南岳阳·专题练习）下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型六：由集合相等求参数问题 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪训练1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【跟踪训练2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型七、空集的性质应用 【例题7】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【跟踪训练2】（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 题型八：集合间的基本关系综合问题 【例8】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【跟踪训练1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【跟踪训练2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【跟踪训练3】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 3．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A．1<a<5 B．1<a≤5 C．a>5 D．a≥5 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 8．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 10．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 11．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 12．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合的非空真子集有2个 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 14．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 三、填空题 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 17．（25-26高一上·北京·开学考试）若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若是的真子集，则实数的取值范围是 . （2）设，且是的真子集，则 ， . 19．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 四、解答题 20．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 22．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 23．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 24．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【题型归纳】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 【例1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 【跟踪训练1】（25-26高一上·全国·单元测试）集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由题可得为4的倍数且满足，据此可得答案. 【详解】由题可得，因为，所以为4的倍数且满足，故，此时对应的，满足题意，故，非空子集为，共7个. 故选：B 【跟踪训练2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【详解】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 故选：C. 题型二. 求集合的子集（真子集） 【例2】（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）若，则集合的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是集合的子集，集合又是的子集，写出符合的集合即可. 【详解】由， 则集合可能是：，，，，共个， 故选：C. 【跟踪训练2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意可知，用列举法写出满足条件的集合即可. 【详解】解：因为,，， 所以集合可以是：，，共4个， 故选：C. 题型三. 判断两个集合的包含关系 【例3】．（24-25高一上·全国）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 【跟踪训练1】（24-25高一上·上海）已知集合，则下列集合是集合的子集的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】先求出集合，，，然后子集的定义分别对选项判断即可求解． 【详解】解：由已知可得集合， 所以由子集的定义可得选项①错误，②错误， 因为，所以集合不表示集合的子集，③错误， 因为，所以是集合的子集，故正确， 故答案为：④． 【跟踪训练2】（25-26高一上·全国）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 题型四. 根据集合的包含关系求参数 【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A．2≤m≤3 B．2≤m<3 C．m≤3 D．2<m≤3 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得.，综上，    故选：C. 【跟踪训练1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 【跟踪训练2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 题型五、判断集合相等关系 【例5】（2025高一上·湖南岳阳·专题练习）下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【详解】对于A，由，得，∴且，故A不正确； 对于B，，∴，故B不正确； 对于C，集合是数集，是点集，∴，故C正确； 对于D，∴，故D不正确. 故选：C. 【跟踪训练1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【跟踪训练2】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 题型六：由集合相等求参数问题 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义，可推出的值，得解. 【详解】由题意可知且， ，， ，， 故. 故选：C. 【跟踪训练1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 【跟踪训练2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】，，，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 题型七、空集的性质应用 【例题7】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值. 【详解】集合，两个集合中元素完全相同， 由，则有，得，有， 所以，由集合中元素的互异性，有，得， 则有. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【跟踪训练2】（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 题型八：集合间的基本关系综合问题 【例8】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 【跟踪训练1】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 【跟踪训练2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【跟踪训练3】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为或．． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据题意先求集合，进而得集合元素个数，利用子集个数公式即可求解. 【详解】因为，， 所以或或或， 故， 即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为． 故选：A. 3．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A．1<a<5 B．1<a≤5 C．a>5 D．a≥5 【答案】D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且，所以. 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； 集合中的元素为一个式子，集合中的元素为数，②错误 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：C 6．（21-22高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】当时，有两相等的实根，则，解得； 当时，有两相等的实根1，则解得； 当时，有两个不相等的实根，1，则无解， 综上：. 故选：D 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【详解】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个 故选：B 8．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 二、多选题 9．（2025·江西·模拟预测）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知集合，，且，则可以取（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】BD 【分析】分别讨论情况下的集合的元素，然后结合子集的定义求出的可能取值. 【详解】当时，集合，满足，B正确； 当时，集合，要使，则或． 当时，，此时，集合不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时，集合，满足题意，D正确， 所以的值可以为0或1． 故选：BD. 11．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【详解】，因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，， 综上，或或. 故选：ABC 12．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，化简集合，得到，结合选项，即可求解. 【详解】由题意得，集合，， ， 所以，结合选项，可得A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 13．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合的非空真子集有2个 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 【答案】BD 【分析】A选项分别求出两个集合的范围即可判断；B选项需要求出集合，根据子集的定义得出结论；C选项由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D选项弄清集合内元素的特征即可做出判断. 【详解】对于A.，，，则，所以A.选项错误； 对于B，因为集合，所以它的非空真子集有2个，所以B选项正确； 对于C，因为集合，且，所以或． 当时，解得：或．而，不符合元素的互异性， 故或，所以C选项错误． 对于D，集合是由奇数组成的集合，集合是由被4除余1的整数组成的集合，则，所以D选项正确． 故选：BD 14．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 【答案】ABD 【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【详解】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因为，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 17．（25-26高一上·北京·开学考试）若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑥⑦. 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确， 故答案为：①②③④⑥⑦. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若是的真子集，则实数的取值范围是 . （2）设，且是的真子集，则 ， . 【答案】 【分析】（1）原条件等价于有实数解，由此即可求得的范围； （2）由题意可得关于的二元一次方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为是任何非空集合的真子集，所以不是空集， 即有实数解，故，即实数的取值范围是. （2）因为是的真子集，所以，解得. 故答案为：（1）；（2）；. 19．（2025高三·全国·专题练习）定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可． 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时，要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 22．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 23．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，，故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则，则由图知，，故的取值范围为 （3）若，则. 24．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习） （1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②且；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且，故的取值范围是且； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$