第二十一章 一元二次方程单元检测题2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程单元检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 2．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于x的方程有一个根为则另一个根为　　 A． B．2 C．4 D． 4．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 5．一元二次方程化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 6．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　　) A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝2×90 C．x(x－1)＝90÷2 D．x(x＋1)＝90 7．在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）=135 B．4（32﹣x）（20﹣x）=135 C． D．（32﹣x）（20﹣x）﹣x2=135 8．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 10．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 11．某地区去年投入教育经费2500万元，预计今明两年投入6600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 14．已知是一元二次方程，则实数 ． 15．已知m，n是一元二次方程的两根，则 ． 16．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 17．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 18．方程的两个根分别是，则 三、解答题 19．按要求解下列方程： (1)； (2)． 20．关于的一元二次方程 (1)若方程总有两个实数根，求的最小值． (2)若方程的两根为，，，求的值． 21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； (2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门． (1)如图，设猪舍与墙垂直的一边长为x米，用含x的式子表示另一边长的长． (2)当x为多少时，猪舍面积为80平方米？ 23．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． (1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件； (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 24．湘绣是在湖南民间刺绣基础上发展起来的一种传统工艺，与苏绣、粤绣、蜀绣并称为中国的四大名绣，素有“湘绣甲天下”的美誉．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批湘绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到400元，则文化衫应降价多少元？ 25．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 26．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程单元检测题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D A A C D B A 题号 11 12 17 答案 D A A 1．B 【分析】 本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 解：①，时不是一元二次方程； ②是一元二次方程； ③是分式方程； ④为任意实数）是一元二次方程； ⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程； 综上所述，一元二次方程的个数是2个， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 3．D 【分析】将x=2代入方程求出参数m,再重新解方程即可. 【详解】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2． 将x=2代入方程得,m=1, ∴原方程为x2+x﹣6=0 解得：x1=-3,x2=2 ∴方程另一个根是-3, 故选D, 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,代入求m的值是解题关键. 4．D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后根据根与系数的关系对B、D选项进行判断． 【详解】解：方程化为一般式为， ， 方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误； 设方程的两根为、， 根据根与系数的关系得， 即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确． 故选：D． 5．A 【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：∵2x2-3x+1=0， ∴2x2-3x=-1， ， ， ， ∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：， 故选：A． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．A 【分析】如果设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，则一共送了x（x﹣1）张，再根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90． 【详解】设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，根据“共互送了90张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝90． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程． 7．C 【分析】将阴影部分推至左上角,计算空白部分面积即可. 【详解】如下图, 将道路推至左上角,形成新矩形田地, ∵道路的宽为x米， ∴新矩形田地长为（32-x）,宽为（20-x）, ∵每小块试验田的面积为135m2，即新矩形面积为4135, ∴（32-x）（20-x）=4135, 整理得 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,平移道路形成新的矩形是解题关键. 8．D 【分析】根据题意，是方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 10．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 11．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及考查学生理解题意的能力，设该地区教育经费的年平均增长率为x，根据去年投入教育经费2500万元，预计今明两年投入6600万元可分别表示出两年投入列方程即可，知道去年的投入和今明两年共投入6600万元，经过两年的增长可列出方程求解． 【详解】解：设该地区教育经费的年平均增长率为x， 由题意可得：． 故选：D． 12．A 【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 设门对角线长为尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：∵设门对角线长为尺， ∴竿的长度为尺，门高为尺，门宽为尺， 根据题意得：， 故选：A． 13．或/或4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由一元二次方程的定义可得且，解之即可得解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，代入求解即可． 【详解】解：m，n是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：． 16．且． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 17．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 18． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 则或， 所以． （2）解：， ∴， ∴， ∴， 则或， 所以． 20．(1)无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 无论取何值，方程总有两个实数根（可能相等），因此，的取值范围是全体实数，没有最小值； （2）解：∵方程两根、， ， ， ， 即，整理得：， 解得：，即． 21．(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 (2)4月份投入图书购置经费为86.4万元 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答； （2）由（1）知该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，则列式计算即可解答． 【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 答：4月份投入图书购置经费为86.4万元． 22．(1)米 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，看懂图形，列出一元二次方程是解题关键． （1）结合矩形猪舍三边用25米长的建筑材料围成的，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门，进行列式表达另一边长的长为米； （2）根据长乘宽等于矩形的面积，列方程，再解得，最后检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵另外三边用25米长的建筑材料围成的，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．且设猪舍与墙垂直的一边长为x米， ∴（米） ∴另一边长的长为米； （2）解：∵猪舍面积为80平方米， ∴， 即， ∴， 解得， 当时，则（舍去）， 当时，则， ∴当时，猪舍面积为80平方米． 23．(1)105 (2) (3)90元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，列式化简得，结合成本价以及该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，得出自变量的取值范围，即可作答． （3）结合电商每天可盈利1200元，进行列出一元二次方程，再解得，然后进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设当产品售价为元/件时，销售量为30件， 依题意，得， 解得， 即当销售量为30件时，产品售价为105元/件； （2）解：依题意，， ∵已知该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． ∴， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为． （3）解：该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利1200元， 由（2）得， 则， 整理得， ∴， 整理得， 解得， ∵为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． ∴（舍去） 即该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利1200元． 24．(1)每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元 (2)文化衫应降价8元或者2元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （）设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，根据采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍．列出分式方程求解并检验即可； （）先求出降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据平均每天的总利润达到400元，列出关于x的一元二次方程求出的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，文化衫的数量为件，书签的数量为个， 由题意得，， 解得，   经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元； （2）解：降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， 答：文化衫应降价8元或者2元． 25．(1) (2)20万元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 26．(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$