精品解析： 黑龙江省大庆市第五十七中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年黑龙江省大庆五十七中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：． 【详解】解：、是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、中含有一个未知数，但未知数的最高次数为，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、中，有个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 故选：． 2. 如图，点E在▱ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE， ∴△ABE∽△FDA. 即图中共有3对相似三角形. 故选C. 3. 能判断一个平行四边形是矩形的条件是（ ） A. 两条对角线互相平分 B. 一组邻边相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 两条对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定进行分析即可； 【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误； 选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误； 选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误； 选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确； 故选D. 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键. 4. 关于的一元二次方程（），则该方程根的情况是（ ） A. 方程无实根 B. 两根之和为 C. 有两个负实数根 D. 若两根之积为3，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，解题关键是熟悉一元二次方程的根的判别式． 先求出一元二次方程的根的判别式，再根据它的符号确定根的情况． 【详解】解：关于的一元二次方程（）， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故A错误； 关于的一元二次方程（）， 方程有两个不相等的实数根， ∴两根之和为，故B错误； ∵两根之和为，， ∴， 关于的一元二次方程（）， 方程有两个不相等的实数根， 两根之积为， ∴有两个正实数根，故C错误； 关于的一元二次方程（）， 若两根之积为3，则，解得：或， ∵， ∴，故D正确． 故选：D ． 5. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（ ）人参加聚会． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设有x个人参加聚会，则每人需要准备件礼物，所有人总共需要准备件礼物，根据“共送礼物20件”即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个人参加聚会，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去） ∴共有5个人参加聚会． 故选：B 6. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． ①如果是方程的根，则是等腰三角形； ②如果方程有两个相等的实数根，则是等边三角形； ③如果是等边三角形，则这个一元二次方程的根为和． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①直接将x=-1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； ②利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； ③利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】①是方程的根， ， ， ， ， 是等腰三角形． ②是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； ③是等边三角形， 可整理为：， ， 解得：，． 故其中正确的是． 故选：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，灵活应用所学知识是解题关键． 7. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：ABC的三边之比为， 如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况： 所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个， 故选：C． 【点睛】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 8. 下列各组线段长度可组成成比例的是（ ） A. B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C． ，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例线段，掌握成比例线段的定义和特征为解题关键． 9. 如图给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答． 【详解】解：①，即，再加上为公共角，可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； ②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ③中不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； 有三个能够单独判定相似于． 故选：C． 10. 如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ） A. 2处 B. 3处 C. 4处 D. 5处 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的三角形与原三角形有一个公共角，只需作一个直角即可． 【详解】∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，则D点的位置最多有3处． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上________，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方求解． 【详解】x2﹣6x+32=2+32，（x﹣3）2=11． 故答案为9． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 13. 已知菱形的一个内角为，其中较长的对角线为，则另一条对角线的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由菱形ABCD，由题意得，，可得，在中，由，可知OA=由勾股定理得即，求出即可． 【详解】如图所示菱形ABCD，由题意得， ∵， ∴， 在中， ， OA=， 由勾股定理得即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查菱形性质，30°角直角三角形性质，勾股定理，掌握菱形性质，30°角直角三角形性质，勾股定理是解题关键． 14. 两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为______． 【答案】 【解析】 【详解】相似多边形的周长的比是1:3， 周长的比等于相似比，因而相似比是1:3， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1:9； 故答案为1:9. 15. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可． 【详解】解：∵点P是线段黄金分割点，且，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍． 16. 在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会稳定到某个常数，我们可用这个常数来估计这个事件发生的___________． 【答案】概率 【解析】 【详解】解：随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会稳定到某个常数，我们可用这个常数来估计这个事件发生的概率． 17. 已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是______． 【答案】-3或29 【解析】 【分析】设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，根据题意列出式子，再进行变形即可求出． 【详解】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得 ， 两式相加得， 即， 所以或 解得或 又因为 所以；或者， 故或29． 故答案为-3或29 【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键； 18. 如图，在中，，点D、E分别在边BC、AB上，，CE=BE，AD与CE交于点F，如果，那么CF的长等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接DE，根据等腰三角形的性质得到DE⊥BC，推出AC∥DE，证得△BDE∽△BCA，得到，求出CE=BE=AE=3，证明△ACF∽△DEF，得到，推出CF=2EF，由此求出答案． 【详解】连接DE， ∵，CE=BE， ∴DE⊥BC， ∵， ∴AC∥DE， ∴△BDE∽△BCA， ∴， ∴AC=2DE，AB=2BE， ∴AE=BE， ∴CE=BE=AE=3， ∵AC∥DE， ∴△ACF∽△DEF， ∴, ∴CF=2EF， ∴CF=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理并熟练应用解决问题，题中证明△BDE∽△BCA求出CE=3是解题的关键． 19. 为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用该实验基地现有种子种数=该实验基地两年前种子种数培育的种子平均每年的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 解得，（舍去） 所以，培育的种子平均每年的增长率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 若关于的方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由关于的方程有实数根，可知： ， 解得：； 故答案为． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可； （3）原方程系数化为1后，利用直接开平方法求解即可； （4）原方程化简后，利用十字相乘法因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：原方程化简为， ∴， 解得，． 22. 已知＝＝＝x，求x的值． 【答案】或2 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当a+b+c＝0，当a+b+c≠0，再进行计算即可． 【详解】解：若a+b+c＝0，则a+b＝-c，b+c＝-a，c+a＝-b， 此时，x＝-1， 若a+b+c≠0，则， 综上所述，x的值为-1或2． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 23. 小明、小亮和小颖三人做“石头、剪刀和布”的游戏．小颖说：你俩玩，我裁判，并制定了如下的游戏规则：如果你俩的手势相同，我获胜；如果你俩的手势不同，按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定获胜者．假设小明与小亮每次出这三种手势的可能性相同，通过列表或画树状图的方法，分析这个游戏规则是否公平． 【答案】这个游戏规则是公平的， 小明（石头） 小明（剪刀） 小明（布） 小亮（石头） 小颖胜（石头对石头） 小亮胜（剪刀对石头） 小明胜（布对石头） 小亮（剪刀） 小明胜（石头对剪刀） 小颖胜（剪刀对剪刀） 小亮胜（布对剪刀） 小亮（布） 小亮胜（石头对布） 小明胜（剪刀对布） 小颖胜（布对布） 由表格可知一共有9种等可能性的结果，其中小亮、小明、小颖胜利的结果数都是3， ∴三人获胜的概率都是， ∴这个游戏规则是公平的． 【解析】 【分析】利用列表法列出所有的可能性，然后分别求出三人获胜的概率，由此进行判断即可． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握列表法或树状图法． 24. 某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出150个.若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个,但不能亏本销售. （1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为w元，求出w元与x元之间的函数关系式； （3）若商户想获得5040元的利润，他应该将销售单价定为多少? 【答案】（1）y=10x+150；（2）W=-10x2+150x+4500；（3）71或74元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式； （2）根据题意结合每周获得的利润列出关系式W=销量×每个的利润即可； （3）根据（2）可得获得利润的二次函数，在根据题意获得5040元的利润求出销售单价即可. 【详解】(1)依题意有：y=10x+150； (2)依题意有： W=(80−50−x)(10x+150)=-10x2+150x+4500， （3）当获得5040元的利润时， -10x2+150x+4500=5040， -10x2+150x-540=0, -10（x2-15x+54）=0, （x-6）（x-9）=0 x1=6，x2=9； 故当销售单价定为80−6=74或80-9=71元时，获得利润是5040元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质. 25. 长安塔是西安世园会四大标志性建筑之一，该塔在设计上保持了隋唐时期方形古塔的神韵，同时增加了现代元素，既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是绿色建筑技术和建筑艺术的完美结合小亮同学想利用所学数学知识来测量长安塔的高度，如图，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平而镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为247.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 【答案】的高度为99米 【解析】 【分析】根据光线入射角等于折射角得知，再根据相似求解线段． 【详解】由题意知， 又∵， ∴， ∴，即， 解得米， ∴长安塔的高度为99米． 【点睛】本题考查相似三角形在实际问题中的应用，证明三角形相似是本题关键． 26. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2） 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 27. 如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米? （2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1）梯子的底端向外滑动米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是米． 【解析】 【分析】（1）已知AB、BC，在直角中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可； （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可． 【详解】（1）在中，，， . 设梯子的底端向外滑动米，由题意得， ， 解得，（舍去） 即梯子的底端向外滑动米. （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得， ， 解得，（舍去）， ，即梯子的底端向外滑动的距离是米． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际中生活中的应用，本题中根据梯子长度不会变的等量关系求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省大庆五十七中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，点E在▱ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 3. 能判断一个平行四边形是矩形的条件是（ ） A. 两条对角线互相平分 B. 一组邻边相等 C. 两条对角线互相垂直 D. 两条对角线相等 4. 关于的一元二次方程（），则该方程根的情况是（ ） A. 方程无实根 B. 两根之和为 C. 有两个负实数根 D. 若两根之积为3，则 5. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（ ）人参加聚会． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． ①如果是方程的根，则是等腰三角形； ②如果方程有两个相等的实数根，则是等边三角形； ③如果是等边三角形，则这个一元二次方程的根为和． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①③ C. ①② D. ②③ 7. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8. 下列各组线段长度可组成成比例的是（ ） A. B. ，，， C. ，，， D. ，，， 9. 如图给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ） A. 2处 B. 3处 C. 4处 D. 5处 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上________，使得方程左边配成一个完全平方式． 12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 13. 已知菱形的一个内角为，其中较长的对角线为，则另一条对角线的长为_________． 14. 两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为______． 15. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则______． 16. 在做重复试验时，随着试验次数的增多，事件发生的频率一般会稳定到某个常数，我们可用这个常数来估计这个事件发生的___________． 17. 已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是______． 18. 如图，在中，，点D、E分别在边BC、AB上，，CE=BE，AD与CE交于点F，如果，那么CF的长等于_________． 19. 为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为______． 20. 若关于的方程有实数根，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 已知＝＝＝x，求x的值． 23. 小明、小亮和小颖三人做“石头、剪刀和布”的游戏．小颖说：你俩玩，我裁判，并制定了如下的游戏规则：如果你俩的手势相同，我获胜；如果你俩的手势不同，按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定获胜者．假设小明与小亮每次出这三种手势的可能性相同，通过列表或画树状图的方法，分析这个游戏规则是否公平． 24. 某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出150个.若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个,但不能亏本销售. （1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为w元，求出w元与x元之间的函数关系式； （3）若商户想获得5040元的利润，他应该将销售单价定为多少? 25. 长安塔是西安世园会四大标志性建筑之一，该塔在设计上保持了隋唐时期方形古塔的神韵，同时增加了现代元素，既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是绿色建筑技术和建筑艺术的完美结合小亮同学想利用所学数学知识来测量长安塔的高度，如图，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平而镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为247.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 26. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 27. 如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米? （2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $