第3章 幂、指数与对数（单元测试·基础卷）数学沪教版2020必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．计算： . 2．将化成有理数指数幂的形式 3．若实数a，b，c满足，，，则= ． 4． ． 5．若，则 . 6．若，，则 （结果用、表示）. 7．若，则 . 8．里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为 级. 9． 10．化简： ．（结果用根式表示） 11．下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 12．已知，则 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 14．对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 15．设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 16．已知且，则a的值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算： (1)； (2)． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （1）； （2）； （3）已知，求的值． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．计算： . 2．将化成有理数指数幂的形式 3．若实数a，b，c满足，，，则= ． 4． ． 5．若，则 . 6．若，，则 （结果用、表示）. 7．若，则 . 8．里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为 级. 9． 10．化简： ．（结果用根式表示） 11．下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 12．已知，则 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 14．对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 15．设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 16．已知且，则a的值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算： (1)； (2)． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （1）； （2）； （3）已知，求的值． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．计算： . 【答案】5 【分析】根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 2．将化成有理数指数幂的形式 【答案】/ 【分析】根据指数运算法则，化简即可. 【详解】. 故答案为：. 3．若实数a，b，c满足，，，则= ． 【答案】 【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算. 【详解】因为，，， 所以， 故， 由换底公式可得：. 故答案为：2 4． ． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则计算可得； 【详解】解：； 故答案为： 5．若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，解得，经检验符合题意. 故答案为： 6．若，，则 （结果用、表示）. 【答案】 【分析】利用对数的运算性质化简可得结果. 【详解】解：由题意可得， 故答案为：. 7．若，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得， 可得，所以. 故答案为：. 8．里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为 级. 【答案】 【分析】将，代入等式计算即可得解. 【详解】将，代入等式得. 故答案为：. 9． 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对函数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 10．化简： ．（结果用根式表示） 【答案】 【分析】直接由分数指数幂以及根式互相转换计算即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 11．下列式子中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】直接利用对数的运算以及对数真数大于零分别判断即可. 【详解】对于①，当为负数时没有意义，不成立，错误； 对于②，时，左边等于1，右边等于2，等式不成立，错误； 对于③，当为负数时没有意义，不成立，错误； 对于④，时，成立，正确. 故答案为：④. 12．已知，则 ; 【答案】3 【分析】由指对数关系可得，再应用对数的运算性质化简求目标式的值. 【详解】由题设，， 则. 故答案为：3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 14．对于任意实数a，下列等式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算的条件计算即可. 【详解】选项A、B中a的条件限制为C中的a的条件限制为 故选：D. 15．设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 16．已知且，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得，即得. 【详解】令， 则，，又， ∴，即， ∴. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 化简下列各式： (1)（其中）； (2)（其中，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分数指数幂的运算性质化简求解即可. 【详解】（1）（其中） ； （2）（其中，） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式、分数指数幂和对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，化简：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）2024 【分析】（1）先根据得，，进而即可化简得解. （2）先化简求解，再将其代入即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 所以 . （2）由题， ， 所以. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）当时，求的值 （2）当时，求证：是不存在的； （3）求证：只有一对正整数对使得等式成立. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）当时，，整理后将指数式化为对数式即可求解； （2）由题意求得的表达式，令，然后分类和讨论即可求证； （3）将，分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论. 【详解】（1）当时，，即，所以， （2）设，因为，所以，且， 当时，，不成立； 当时，，由可得， 因为，，，所以不成立， 综上所述：当时，是不存在的； （3）由可得， 当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂， 所以，即时符合题意，此时， 所以只有一对正整数对使得等式成立. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 5 2、/ 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 ④ 12、3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 C D B C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）（其中） ；（6分） （2）（其中，） （14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）原式 ；（6分） （2）原式．（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为，所以， 所以，，（2分） 所以（4分） .（6分） （2）由题，（9分） ，（12分） 所以.（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）原式 ．（4分） （2）由于，， ， 因此原式．（10分） （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得．（14分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）当时，，即，所以，（4分） （2）设，因为，所以，且，（5分） 当时，，不成立；（6分） 当时，，由可得，（8分） 因为，，，所以不成立，（9分） 综上所述：当时，是不存在的；（10分） （3）由可得，（12分） 当，均为正整数时，等号左侧为的指数幂，故右侧也是的指数幂，（14分） 所以，即时符合题意，此时，（16分） 所以只有一对正整数对使得等式成立.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$