第3章 幂、指数与对数（知识清单）数学沪教版2020必修第一册

第3章 幂、指数与对数 清单01根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么 ，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示 ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并 写成 (). ③负数 偶次方根； ④的任何次方根都是 ，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意 ③当为偶数时，只有当 才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时， （） ②当为偶数时， （） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 清单02分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是 （，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， （，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂 . 无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 清单03对数的概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数 ,记作 ,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 清单04指数式与对数式的相互转化 当且， 清单05对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: 清单06对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 易错点1 为偶数时，且， 化简根式时忽略了绝对值 错误：为偶数时，且，错误的化简为 注意：注意化简时考虑的奇偶 例题1 当时，化简： . 易错点2含负分数指数幂化简时注意等价转化 错误：①分数指数幂分子，分母的位置②负分数指数幂的转化错误 注意：①注意分数指数幂分子，分母的位置②注意负分数指数幂的等价转化 例题2 计算下列各式： (1)； (2). 易错点3 忽略对数式中参数有意义的范围 错误：对数式中底数的范围容易忽略 注意：对数式中底数且 例题3方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 易错点4 指数互换位置互换错误 错误：当且，指对互换时，的位置互化时错误 注意：等价转化注意的位置 例题4已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 易错点5 对数运算公式记错 错误：①②公式中，乘除化加减时混乱 注意：①②③（） ④（）⑤（）注意公式的正确应用 例题5下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．化简： （   ） A．1 B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．在等式中，实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．将（且）转化为对数形式，其中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．． 6．将转化为对数形式，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 10． . 11．化简： （1） ； （2） ． 12．若函数是对数函数，则 ． 13．（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）求值：； （4）求值：. 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 15．求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 幂、指数与对数 清单01根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 清单02分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 清单03对数的概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 清单04指数式与对数式的相互转化 当且， 清单05对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 清单06对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 易错点1 为偶数时，且， 化简根式时忽略了绝对值 错误：为偶数时，且，错误的化简为 注意：注意化简时考虑的奇偶 例题1 当时，化简： . 【答案】x 【分析】利用根式化简计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：x 易错点2含负分数指数幂化简时注意等价转化 错误：①分数指数幂分子，分母的位置②负分数指数幂的转化错误 注意：①注意分数指数幂分子，分母的位置②注意负分数指数幂的等价转化 例题2 计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)100 (2)3 【分析】（1）根据指数运算法则直接计算即可； （2）根据指数运算法则直接计算即可. 【详解】（1） （2） 易错点3 忽略对数式中参数有意义的范围 错误：对数式中底数的范围容易忽略 注意：对数式中底数且 例题3方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0. 【详解】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 易错点4 指数互换位置互换错误 错误：当且，指对互换时，的位置互化时错误 注意：等价转化注意的位置 例题4已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解． 【详解】由得，即，又且，所以， 故选：C． 易错点5 对数运算公式记错 错误：①②公式中，乘除化加减时混乱 注意：①②③（） ④（）⑤（）注意公式的正确应用 例题5下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，由对数的运算性质知，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以选项D正确； 故选：C. 1．化简： （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的定义求值． 【详解】. 故选：A. 2．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．在等式中，实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据对数有意义，建立不等式，求出a的范围即可. 【详解】要使有意义，只需： ，解得：或 ∴实数a的取值范围是或 故选：B 4．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式的定义求解． 【详解】要使式子有意义，则，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查对数式的概念，掌握对数式的定义是解题关键，在对数式中有，且． 5．将（且）转化为对数形式，其中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据对数式与指数式的关系可得答案. 【详解】根据对数式与指数式的关系， 若，则，即，所以A正确； 若，则，即，所以B正确； 若，则，即，所以C正确； 由得，与已知不等，所以D错误. 故选：D. 6．将转化为对数形式，正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据指数式和对数式间的互化公式求解即可． 【详解】根据对数的定义和． 故选：C． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 即. 故选：C. 8．设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质即可判断选项AB；根据对数的运算性质即可判断选项CD. 【详解】由题中条件，根据指数幂的运算性质可知，，故选项A，B错误； 根据对数的运算法则，可得，，，即选项C正确，选项D错误. 故选：C. 9．下列四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则和运算性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D不正确. 故选：C. 10． . 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解. 【详解】 . 11．化简： （1） ； （2） ． 【答案】 1 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可求解； （2）先将根式转化为分数指数幂，然后根据分数指数幂的运算性质即可求解； 【详解】解：（1）原式． （2）因为有意义，所以， 所以原式． 故答案为：（1）；（2）1. 12．若函数是对数函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据对数函数的定义，列式求的值. 【详解】由对数函数的概念，知，解得或，经检验，时，，不符合题意，时，，符合题意．故． 故答案为： 13．（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）求值：； （4）求值：. 【答案】（1）32；（2）；（3）73；（4） 【分析】（1）（3）（4）根据指数的运算即可求出答案，（2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， ∵，∴，， ∴. 故. （3） . （4） . 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)100 (3) 【分析】根据指数的运算法则计算即可； 【详解】（1）原式=1+ =1+= （2）原式= = =100 （3） 15．求下列根式的值． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$