第3章 幂、指数与对数（复习讲义）数学沪教版2020必修第一册

第3章 幂、指数与对数（复习讲义） 1、理解整数指数幂及其运算律，并会进行相关运算；了解根式的概念和性质，理解分数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化；掌握有理数指数幂的运算性质，并会进行相关运算. 2、掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导和成立的条件；能熟练运用对数的性质进行化简求值；掌握换底公式. 1、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 2、分式指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 4、对数的概念 对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 5、指数式与对数式的相互转化 当且， 6、对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 7、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 8、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型一 根式的化简与求值 【例1】 ． 【答案】 【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果. 【详解】 . 故答案为： 【变式1-1】计算的值为 . 【答案】 【分析】根据根式的性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 【变式1-2】计算： ＝ ． 【答案】29 【分析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】原式. 故答案为： 【变式1-3】已知，化简： . 【答案】 【分析】根据的运算性质，结合即可求解. 【详解】因为，， 所以，. 故答案为：. 题型二 分数指数幂与根式的互化 【例2】用分数指数幂的形式表示下列各式（）： （1）；     （2）；     （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案； （2）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案； （3）根据分数指数幂的定义和指数幂的运算可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式2-1】已知，用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根式的运算法则计算再化为分数指数幂； （2）化为同次根式计算后，再化为分数指数幂； （3）化为同次根式计算后，再化为分数指数幂； 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式2-2】用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用分数指数幂的意义及指数运算法则直接化简即得. 【详解】(1)a>0，； (2)a>0，. 【变式2-3】将下列根式化成分数指数幂的形式. （1）(a>0)； （2）； （3）(b>0). 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解； （2）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解； （3）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解. 【详解】（1）原式； （2）原式=； （3）原式＝. 【点睛】本题考查了根式化为分数指数幂及分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 题型三 指数幂的化简与求值 【例3】计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 【变式3-1】（1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）2；（2）2. 【分析】（1）根据指数的运算可得答案； （2）将平方可得答案. 【详解】（1） （2）因为，所以， 所以. 【变式3-2】（1）计算：； （2）化简 【答案】(1);(2) 【分析】(1)利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解； (2)利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】(1)原式. (2)原式. 【变式3-3】（1）求值：； （2） 已知 ， 求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）利用幂的运算性质即可求解；（2）根据式子结构，利用平方法可以求解. 【详解】（1） ． （2） 因为 ， 所以， 即， 所以， 即． 题型四 指数与对数的相互转化 【例4】把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）. 【解析】根据指数和对数的关系将指数式与对数式互化. 【详解】解：根据，得，将上述式子变形可得； （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7），即， （8），即， 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，属于基础题. 【变式4-1】若logx＝m，logy＝m＋2，求的值． 【答案】16. 【分析】将对数式化为指数式，求得，代入即可求得结果. 【详解】∵logx＝m，∴＝x，x2＝. ∵logy＝m＋2，∴＝y，y＝. ∴＝＝＝16. 【点睛】本题考查指数式和对数式的转化，属基础题. 【变式4-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． （1）53＝125；（2）4－2＝；（3）log8＝－3；（4）log3＝－3. 【答案】（1）log5125＝3；（2）log4＝－2；（3）＝8；（4）3－3＝. 【分析】根据对数的概念和定义，即可将实现指数式和对数式的互化. 【详解】（1）∵53＝125，∴log5125＝3. （2）∵4－2＝，∴log4＝－2. （3）∵log8＝－3，∴＝8. （4）∵log3＝－3，∴3－3＝. 【点睛】本题考查指数式和对数式的转化，属基础题. 【变式4-3】已知，试用a表示下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先根据指数，对数互化公式得到，再利用对数的运算法则计算即可得到答案. （2）利用对数的运算法则计算即可得到答案. 【详解】（1）由题知：因为，所以. 所以. （2） . 【点睛】本题主要考查指数，对数互化公式，同时考查了对数的运算法则，属于简单题. 题型五 对数运算 【例5】计算下列各题： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可； （2）根据对数的性质及对数的运算法则可得； 【详解】（1）原式. （2）原式 . 【变式5-1】（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）借助对数运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则可得，再利用完全平方公式计算即可得. 【详解】（1） ； （2）因为，则，即， 所以. 【变式5-2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式5-3】计算下列各值 (1) (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由对数的运算计算出结果;(2) 由指数与对数的运算计算出结果. 【详解】（1） （2） 题型六 换底公式 【例6】（1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用对数的运算性质求解； （2）易得，，再利用换底公式求解. 【详解】解：（1） ； （2）∵，，∴，， ∴ . 【变式6-1】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简. 【详解】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. 【变式6-2】计算：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及性质计算得解. 【详解】. 【变式6-3】（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算； （2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以 ， 所以， 则. 基础巩固通关测 1． . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 2．计算： ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用对数的换底公式，结合对数运算计算得解. 【详解】 故答案为：1 3． 【答案】0 【分析】由指数、对数运算法则运算即可求解. 【详解】. 故答案为：0. 4．若，用表示 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 所以. 故答案为：. 5． ． 【答案】18 【分析】利用指数运算及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【详解】. 故答案为：18 6．求值： . 【答案】/ 【分析】根据指数幂与对数运算的运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 7． ． 【答案】2 【分析】利用换底公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：2. 8． ． 【答案】1 【分析】利用对数的运算法则即可求解. 【详解】 ． 故答案为：1. 9．已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算性质及根式与指数幂关系逐项判断即可. 【详解】因为且， 对于①，，错； 对于②，先将根式转化为分数指数幂的形式．，则，对； 对于③，，错． 所以，正确的个数为1. 故选：B 10．以下运算不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,，故A正确； 对于B.原式，故B正确； 对于C,，故C正确； 对于D,，故D错误． 故选:D． 11．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （4）利用对数的运算性质、根式的运算性质计算可得所求代数式的值 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式 . 能力提升进阶练 1．设，，若，则 ． 【答案】或 【分析】结合换底公式化简方程，解方程可求结果. 【详解】方程可化为， 所以， 所以， 所以或， 所以或. 故答案为：或. 2．已知正数、满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用指数运算可得出，利用乘“1”法，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 3． ． 【答案】 【分析】根据根式与指数式的互化和指对数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题原式 ， 故答案为：. 4．计算 ． 【答案】 【分析】根据换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为：. 5．已知，且，则A的值为 . 【答案】 【分析】利用指数对数互化将转化为，，再利用换底公式表示出， ，求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以由换底公式可知， 则，即，解得. 故答案为： 6．设，且，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及指数 式与对数式互化关系求出的值. 【详解】依题意，，由，得， 则，又，于是， 因此，而，所以. 故答案为： 7．计算： 【答案】/ 【分析】根据对数的运算法则及性质化简即可得解. 【详解】, 故答案为： 8．方程的实数解为 . 【答案】 【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可. 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 9．当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（    ）．（精确到百年，参考数据：） A．3800年 B．4200年 C．4600年 D．5000年 【答案】C 【分析】设该生物的死亡时间为t，根据题意列出关于t的方程，利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案． 【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则 ， 这头大象大约生活在距今约4600年， 故选：C. 10．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】因为，可得，且，， 等式两边同除可得， 所以． 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的取值范围为． 故选：B. 11．求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的公式进行化简求值即可； （2）利用换底公式求解即可. 【详解】（1） . （2）, 12．（1）计算：； （2）已知，且，求的值.附立方差公式： 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据对数的运算性质即可进行求解. （2）根据指数幂的运算性质计算即可； 【小题1】 . 【小题2】因为，且，所以，得， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 幂、指数与对数（复习讲义） 1、理解整数指数幂及其运算律，并会进行相关运算；了解根式的概念和性质，理解分数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化；掌握有理数指数幂的运算性质，并会进行相关运算. 2、掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导和成立的条件；能熟练运用对数的性质进行化简求值；掌握换底公式. 1、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 2、分式指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 4、对数的概念 对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 5、指数式与对数式的相互转化 当且， 6、对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 7、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 8、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型一 根式的化简与求值 【例1】 ． 【变式1-1】计算的值为 . 【变式1-2】计算： ＝ ． 【变式1-3】已知，化简： . 题型二 分数指数幂与根式的互化 【例2】用分数指数幂的形式表示下列各式（）： （1）；     （2）；     （3）. 【变式2-1】已知，用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【变式2-2】用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： （1）； （2）. 【变式2-3】将下列根式化成分数指数幂的形式. （1）(a>0)； （2）； （3）(b>0). 题型三 指数幂的化简与求值 【例3】计算下列各式： (1)； (2) 【变式3-1】（1）化简：； （2）若，求的值． 【变式3-2】（1）计算：； （2）化简 【变式3-3】（1）求值：； （2） 已知 ， 求的值． 题型四 指数与对数的相互转化 【例4】把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 【变式4-1】若logx＝m，logy＝m＋2，求的值． 【变式4-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． （1）53＝125；（2）4－2＝；（3）log8＝－3；（4）log3＝－3. 【变式4-3】已知，试用a表示下列各式： （1）； （2）. 题型五 对数运算 【例5】计算下列各题： (1)； (2). 【变式5-1】（1）计算：； （2）已知，求的值． 【变式5-2】计算： （1）； （2）． 【变式5-3】计算下列各值 (1) (2)计算： 题型六 换底公式 【例6】（1）求的值； （2）已知，，请用，表示. 【变式6-1】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【变式6-2】计算：. 【变式6-3】（1）求值：； （2）已知，求的值. 基础巩固通关测 1． . 2．计算： ． 3． 4．若，用表示 . 5． ． 6．求值： . 7． ． 8． ． 9．已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 10．以下运算不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 11．（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 能力提升进阶练 1．设，，若，则 ． 2．已知正数、满足 ，则 的最小值为 ． 3． ． 4．计算 ． 5．已知，且，则A的值为 . 6．设，且，则 7．计算： 8．方程的实数解为 . 9．当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（    ）．（精确到百年，参考数据：） A．3800年 B．4200年 C．4600年 D．5000年 10．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 12．（1）计算：； （2）已知，且，求的值.附立方差公式： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$