第12章 全等三角形 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章 全等三角形 一、单选题 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 2．如图，，C，D是对应顶点．下列结论错误的是（   ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 3．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别以为一边，向外作和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 6．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 7．若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 10．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．有下列说法：①和的面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 11．在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15或12两个部分，则该等腰三角形的底边长等于 ． 12．如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 13．如图，中，，，顶角，则 ， ． 三、解答题 14．如图，，和，和是对应边，点E在边上，与交于点F．写出图中所有与相等的角，并说明理由． 15．直角三角形的直角顶点C置于直线l上，，现过两点分别作直线l的垂线，垂足分别为． (1)请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程； (2)若，，求出的长． 16．如图，点O是直线l上一点，点A，B位于直线l的两侧，且，，分别过A，B两点作于点C，于点D．求证： (1)； (2)． 17．已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接，，，．当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形    18．如图，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点P．若，． (1)求证：平分； (2)如图，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据三角形不同线段交点的性质，判断出到三个顶点距离相等的点的位置．本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 选项A三条角平分线的交点是内心，到三边的距离相等，A项错误； 选项B三边中线的交点是重心，与到顶点距离无关，B项错误； 选项C三边上高所在直线的交点是垂心，C项错误； 到三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点，D项正确； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键，根据全等三角形的性质直接得出结论即可． 【详解】解：， 与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边， 则与是对应边是错误的， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理； 证明，可得，求出，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 6．C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：C． 7．B 【详解】题目主要考查因式分解的应用，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 根据平方差公式和提取公因式即可得，再由三角形三边关系得出，得，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴，     ∴， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：在和中 ∴． 故答案为：． 10．①③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形面积；根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形面积相等判断出①正确，根据题意只能证出，不能得到，所以不一定相等；判断②；利用“边角边”证明，判断③；全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行判断④；根据全等三角形对应边相等可得，只有当时，，判断⑤即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵点A到的距离相等， ∴和面积相等，故①正确； ∵是的中线，只能证出， 不能得到 ∴不一定相等；故②错误； 在△BDF和△CDE中， ∴，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴只有当时，； 故⑤不一定正确， 故答案为：①③④． 11．7或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论． 【详解】解：根据题意， ①当15是腰长与腰长一半时，，解得， 所以底边长； ②当12是腰长与腰长一半时，，解得， 所以底边长． 所以底边长等于7或11． 故答案为：7或11． 12．/60度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质和三角形全等的判定是解题的关键． 根据对称得出，根据全等三角形判定的“”定理即可证得，得出，求出，根据对称得出，代入求出即可． 【详解】解：与是关于的轴对称图形， ， 在和中， ， ， ， ， 与是关于的轴对称图形， ， 即， 故答案为：． 13． 40 50 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质． 先根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数；根据等腰三角形三线合一的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴． 故答案为：40，50． 14．，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，由全等三角形的性质得到，，根据角的和差即可得到，根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：与相等的角有，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 即． ∵， ， ∴． 15．(1)，见解析 (2)9 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1），由，，得到，且，由，又由，得到，则结论得证； （2）由，得到，， 则，即可得到答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，然后根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，然后代入即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， （2）证明∵， ∴，， ∴． 17．见解析 【分析】根据轴对称的性质得到，．根据等边三角形的性质得到，．求得．根据等边三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点D，E关于直线对称， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 18．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形外角性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平分，则，由外角性质可得，，则有，从而求证； （）连接，过点作于，证明，则，，再证明，故有，通过即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：如图，连接，过点作于， 由（）可知平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$