第十二章全等三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材华东师大版

第十二章 全等三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 命题、定义、定理与证明 1.1 命题 像这样表示判断的语句叫做命题。 示例：”三角形的内角和等于180°““如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”“直角都相等”都是命题。 1.2 命题的条件和结论 许多命题是由条件和结论两部分组成的。条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。这样的命题通常可写成”如果……，那么……“的形式，用”如果”开始的部分就是条件，用”那么”开始的部分就是结论。 示例：命题”如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”中，“两个角是对顶角”是条件，“这两个角相等”是结论。 1.3 真命题与假命题 如果条件成立，那么结论一定成立。像这样的命题，叫做真命题。 当条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立。像这样的命题，叫做假命题。 示例：”两直线平行，同位角相等”是真命题；“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题。 1.4 举反例 要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了。在数学中，这种方法称为举反例。 示例：要说明”一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举一个反例：锐角 30° 与钝角 100° 的和是 130°，不等于 180°。 1.5 定义 我们用”在同一平面内不相交的两条直线”来说明”平行线”所包含的意义。这样的语句叫做这些名词的定义。 示例：”在同一平面内不相交的两条直线”就是”平行线”的定义。 1.6 基本事实 通过七年级的学习，我们已经知道如下各命题都是正确的，即都是公认的真命题：两点确定一条直线；两点之间线段最短；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点。 1.7 定理 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 示例：”两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”是一条定理。 1.8 证明 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。 1.9 推论 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论。 示例：”两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理”两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的推论。 2. 三角形全等的判定 2.1 全等三角形 通过轴对称、平移和旋转这些变换，能够完全重合的两个三角形是全等三角形，并且全等三角形的对应边、对应角分别相等。 示例： 与 全等时，有 ，。 2.2 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简写成”边角边”或 。（基本事实） 示例：在 和 中，若 ，，，则 与 全等。 2.3 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简写成”角边角”或 。（基本事实） 示例：在 和 中，若 ，，，则 与 全等。 2.4 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简写成”角角边”或 。（定理） 示例：在 和 中，若 ，，，则 与 全等。 2.5 边边边 三边分别相等的两个三角形全等。简写成”边边边”或 。（基本事实） 示例：在 和 中，若 ，，，则 与 全等。 2.6 斜边直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写成”斜边直角边”或 。（定理） 示例：在 和 中，若斜边 ，直角边 ，则 与 全等。 3. 等腰三角形 3.1 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 示例： 中 ，则 、 是腰， 是底边， 是顶角，、 是底角。 3.2 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等。简写成”等边对等角“。 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合。简写成”等腰三角形的三线合一“。 示例： 中 ，则 ；若 是底边 上的高，则 同时也是 的中线和顶角 的平分线。 3.3 等边三角形的定义与性质 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°。等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形。 示例：等边三角形 中，，。 3.4 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形。简写成”等角对等边“。 示例： 中若 ，则 。 3.5 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 示例： 中若 ，则 是等边三角形；若 且 ，则 也是等边三角形。 4. 逆命题和逆定理 4.1 互逆命题、逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 示例：”两直线平行，内错角相等”与”内错角相等，两直线平行”互为逆命题。 4.2 互逆定理、逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 示例：”两直线平行，内错角相等”与”内错角相等，两直线平行”都是定理，它们互为逆定理。 4.3 线段垂直平分线的性质定理与逆定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 示例：点 在线段 的垂直平分线上，则 ；反之，若 ，则点 在线段 的垂直平分线上。 4.4 角平分线的性质定理与逆定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 示例：点 在 的平分线上，、，则 ；反之，若 内部的点 到两边距离相等，则点 在 的平分线上。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 全等三角形的对应线段相等 两个三角形全等时，对应边、对应角分别相等；对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线也分别相等。要证两条线段（或两个角）相等，常先证它们所在的两个三角形全等。 1.2 “三线合一”的互推 等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；一条线段若是”高与中线”“高与顶角平分线”“中线与顶角平分线”中任意两条，则它也是第三条。如 ， 为 的中点，则 ，且 平分 。 【使用提醒】”三线合一”只对等腰三角形成立，且必须是”底边上的高、底边上的中线”和”顶角的平分线”三者的组合，不适用于一般三角形或腰上的高、中线。 1.3 等边三角形的判定 等腰三角形中有一个角等于 60°，它就是等边三角形；有两个角都等于 60° 的三角形也是等边三角形。 1.4 三角形三边的垂直平分线交于一点；三条角平分线交于一点 三角形三边的垂直平分线交于一点，该点到三个顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等。 【使用提醒】垂直平分线的交点到”三个顶点”距离相等，角平分线的交点到”三边”距离相等，两者不要记混。 1.5 垂直平分线、角平分线的正用与逆用 线段垂直平分线的性质定理与判定定理互为逆定理：正用证”到线段两端距离相等”，逆用证”点在线段垂直平分线上”；角平分线的性质定理与判定定理同理，正用证”到两边距离相等”，逆用证”点在角平分线上”。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明两个三角形全等的规范步骤 先”找条件”：把两个三角形中已知相等或可推出的对应边、对应角找全（含公共边、公共角、对顶角等隐含条件）；再”判方法”：按条件选 、、、、 中的一种；最后”写过程”：按”在 …与 …中，列出三个条件，得两个三角形全等”的顺序书写。 2.2 证明线段（角）相等的常用方法 要证两条线段或两个角相等，先把它们放到两个可能全等的三角形中，证得全等后，由”全等三角形的对应边（角）相等”得出结论。如证 ，可证 、 所在的 与 全等。 2.3 全等判定方法的选择 已知两边相等，找它们的夹角（）或第三边（）；已知两角相等，找它们的夹边（）或其中一角的对边（）；直角三角形有斜边和一条直角边相等时，优先用 。注意：只有一组或两组对应元素分别相等，不能判定全等。 2.4 构造全等三角形（添加辅助线） 当图形中没有现成的全等三角形时，可添加辅助线构造：作角平分线、作高（垂线）、倍长中线、连结公共点等，把分散的条件集中到一对三角形中。如证等腰三角形两底角相等时，添加顶角的平分线。 3. 证明小技巧 技巧 要点 示例 隐含条件 公共边、公共角、对顶角相等，是找全等条件的首选 证 与 全等时， 是公共边 等量代换 由已知推出的相等关系可代换使用，作为推理依据 由 、 得 “边边角”不可用 两边及其中一边的对角分别相等，不能判定全等 已知 、、（）可能作出两个不同的三角形 的使用 先确认是直角三角形，且是”斜边和一条直角边”对应相等 与 中 （斜边）、 三线合一证垂直、中点、角平分 等腰三角形中，知”高、中线、顶角平分线”其一，即得另外两个结论 ， 为 中点，则 且平分 4. 常见考试模型 4.1 倍长中线模型 模型：遇”中点”常倍长中线构造全等。 中 为 中点，延长 至 使 ，连结 ，则 与 全等（），得 、，把 边转移到 中。 示例：如已知 是 的中线，可利用倍长中线把 、、 集中到同一个三角形中，再比较大小或证等量关系。 4.2 角平分线 + 垂线模型 模型：角平分线上的点向角两边作垂线段，两条垂线段相等（角平分线的性质定理）。证”点到两边的距离相等”常用此模型。 平分 ， 在 上， 于 ， 于 ，则 。 示例：如已知 在 的平分线上，、，直接得 。 4.3 平移、旋转、轴对称构造全等模型 模型：利用平移、旋转、轴对称等图形变换，把图形变换后与另一部分重合，得到全等三角形，从而找到相等的线段和角。这是”动态”视角下判定全等的方法。 示例：如将 绕点 逆时针旋转 90° 得到 ，则 与 全等，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”边边角”（两边及其中一边的对角）当成全等判定 典例：已知 与 中，，，（其中 、 分别是边 、 的对角），能否判定 与 全等？ 错解：能。由”两边及其中一边的对角分别相等”（边边角）可判定这两个三角形全等。 正解：不能。“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，边边角不能作为判定全等的依据。符合”、、“这一组条件的三角形可以作出两个形状不同的三角形。 原因：概念理解错误。学生把”两边一角”笼统地理解为”只要有两边和一个角分别相等就能判定全等”，忽略了”两边及其夹角”（）与”两边及其中一边的对角”（）的本质区别：只有”夹角”被两条边固定时，三角形的形状才唯一确定；“一边的对角”不能固定夹这两条边的角，三角形形状不唯一。凡遇”边边角”都必须警惕，它不能判定全等。 易错点 2：误认为”三角分别相等”能判定全等 典例：已知 与 中，，，，能否判定 与 全等？ 错解：能。三个角分别相等，所以这两个三角形全等。 正解：不能。三个角分别相等的两个三角形形状相同、大小不一定相同，不一定是全等三角形；没有”角角角”这种判定全等的方法。 原因：概念理解错误。学生把”全等”与”形状相同（相似）“混为一谈。全等要求形状和大小都完全相同，三个角分别相等只能保证形状相同，不能保证大小相等。判定三角形全等至少需要一组”边”对应相等——、、、、 中都含有边。 易错点 3：把 用到非直角三角形上 典例：在 和 中，，，（、 均为锐角），某同学用”“判定 与 全等，这种做法对吗？ 错解：对。有两边对应相等，用 可以判定全等。 正解：不对。 只适用于直角三角形，即”斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”。本题没有说明两个三角形是直角三角形，、 也不是直角，不能使用 ；而且这两条边也不是”两边及其夹角”，故也不构成 。 原因：条件遗漏。学生把 误当成”任意三角形有两边相等即可判定全等”的一般方法，忽略了它的前提是”两个直角三角形”且是”斜边和一条直角边”对应相等。使用任何判定方法前都要先核对它的适用前提。 易错点 4：“三线合一”漏掉”等腰三角形”的前提 典例：已知 中， 是边 上的中线，且 ，能否由”三线合一”直接得到 平分 ？ 错解：能。由”三线合一”， 既是中线又是高，所以 也平分 。 正解：不能直接由”三线合一”得到。“三线合一”是等腰三角形的性质，本题没有说明 是等腰三角形（即没有 ），不能套用。应先证明 （例如由 垂直平分 ，用线段垂直平分线的性质或证全等得到 ），再用”三线合一”得到 平分 。 原因：条件遗漏 + 思维定势。学生记住了”三线合一”的结论，却忽略了它的前提”等腰三角形”。使用性质定理前必须验证前提是否满足，“高、中线、顶角平分线重合”只在等腰三角形中成立。 易错点 5：等边三角形判定漏掉”等腰三角形”的前提 典例：判断：“有一个角等于 60° 的三角形是等边三角形。”这句话对吗？ 错解：对。有一个角等于 60°，另外两个角也一定等于 60°，所以是等边三角形。 正解：不对。正确的是”有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形”。只说”有一个角等于 60°“，另外两个角不一定相等，也不一定等于 60°，例如三个角分别为 60°、70°、50° 的三角形就不是等边三角形。 原因：条件遗漏 + 概念混淆。学生把”有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形”漏掉了”等腰三角形”这一关键前提。一个角为 60° 只能确定另外两个角的和为 120°，不能确定它们相等；只有再加上”等腰三角形”（保证两底角相等），才能推出三个角都等于 60°。 易错点 6：误以为”真命题的逆命题一定是真命题” 典例：判断：“如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题。”这句话对吗？ 错解：对。原命题正确，它的逆命题当然也正确。 正解：不对。原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题”对顶角相等”的逆命题是”相等的角是对顶角”，这个逆命题是假命题（相等的两个角不一定是同一组对顶角）。 原因：思维迁移错误。学生把命题与它的逆命题之间的逻辑关系误认为是等价关系，误以为条件和结论互换后真假不变。实际上，命题与它的逆命题的真假没有必然联系；只有”一个定理的逆命题也是定理”时，两者才互为逆定理。 学科网（北京）股份有限公司 $