专题01 不等式求解（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 不等式求解（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 1 题型三、分式不等式 2 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 3 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 3 题型六、一元二次不等式有解问题 3 题型七、一元二次不等式与实际问题 4 题型八、绝对值不等式 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．一元二次不等式的解集为 . 2．不等式的解集为 ． 3．不等式的解集为 . 4．不等式的解集为 5．解不等式的解集为 ． 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 6．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 7．当时，关于的不等式的解集为 （用含的式子表示）. 8．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 9．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 10．已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 题型三、分式不等式 11．不等式的解集是 . 12．不等式的解集为 ． 13．不等式 的解集是 14．解下列不等式： (1)； (2)． 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 16．已知不等式的解集为，则实数 ． 17．不等式的解集为，则 ． 18．已知关于的不等式的解集为，则 . 19．若的解集是，则 . 20．已知方程的解集为，则 ． 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 21．已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 22．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 23．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 24．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 25．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 题型六、一元二次不等式有解问题 26．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 27．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 28．若，满足不等式，求实数的取值范围 . 29．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 . 30．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 题型七、一元二次不等式与实际问题 31．某厂家生产某种产品的总成本（元）与产量（个）之间的关系为，若该产品的售价为200元/个，要使厂家盈利，则至少需要出售该产品 个． 32．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    33．如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为 m.    34．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价的取值范围应是 . 题型八、绝对值不等式 35．不等式的解集为 . 36．设，不等式的解集为 ． 37．不等式的解集为 ． 38．不等式的解集为 ． 39．不等式的解集为 ． 1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 2．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 . 3．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 6．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高一上·上海嘉定·期中）研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案： 解：由，令，则， 所以不等式的解集为. 参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 8．（24-25高一上·上海·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 9．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 不等式求解（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 2 题型三、分式不等式 5 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 8 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 9 题型六、一元二次不等式有解问题 10 题型七、一元二次不等式与实际问题 13 题型八、绝对值不等式 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【分析】直接解不含参的一元二次不等式即可得解. 【详解】. 故答案为：. 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 3．不等式的解集为 . 【答案】{或}. 【分析】直接利用一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】原不等式等价于不等式组， 解第一个不等式得或， 解第二个不等式得. 故原不等式的解集为{或}. 故答案为：{或}. 4．不等式的解集为 【答案】 【分析】将左式分解因式，借助于二次函数图象的性质即可求得. 【详解】，即，解得， 则其解集为. 故答案为：. 5．解不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】借助一元二次不等式的解法解出即可得. 【详解】，则或， 即该不等式的解集为或. 故答案为：或. 题型二、解含参数的一元二次不等式（重点） 6．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 7．当时，关于的不等式的解集为 （用含的式子表示）. 【答案】 【分析】先求出一元二次不等式的取值范围，再根据，即可求解. 【详解】已知，整理得， 令，解得，， 因为，所以，则原不等式的解集为. 故答案为：. 8．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【详解】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. 9．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 10．已知函数. (1)当时，求时的取值范围； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式； 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可. （2）由一元二次不等式恒成立求出的范围. （3）分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，时，则，解得， 所以的取值范围是. （2）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时，的解集为，即的解集为， 则有，即，解得. 所以的取值范围是. （3）不等式， 即，即， 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，得或， ①当，又，得时，即时，有， 则解不等式，得或； ②当，即时有， 解不等式，得， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型三、分式不等式 11．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 12．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解． 【详解】，即， 解得：或， 故不等式的解集为：， 故答案为：． 13．不等式 的解集是 【答案】 【分析】通过移项，通分，分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由可得， 等价于，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 14．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即可； （2）移项通分得到即可求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为或； （2）由，得， 解得， 所以不等式的解集为. 题型四、一元二次不等式求参数问题（常考点） 16．已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【分析】根据韦达定理可求参数的值，从而可得它们的乘积. 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 17．不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求出即可. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 18．已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，由韦达定理得出方程组可解得，得出结果. 【详解】根据不等式的解集为可得： 和6是方程的两个实数根，可得，解得； 因此. 故答案为： 19．若的解集是，则 . 【答案】 【分析】根据是方程的解，可求的值，即可求解. 【详解】由题意：是方程的解， 所以，所以. 故答案为： 20．已知方程的解集为，则 ． 【答案】-9 【分析】根据根与系数关系求得正确答案. 【详解】依题意，解得， 所以， 故答案为：. 题型五、一元二次不等式恒成立问题（难点） 21．已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 22．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 23．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 24．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 25．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型六、一元二次不等式有解问题 26．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 27．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 28．若，满足不等式，求实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】将问题转化为有解问题，再分类讨论、与三种情况，结合判别式与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为，满足不等式，即有解， 当时，不等式可化为，显然有解，满足题意； 当时，则，解得或； 当时，由二次函数的性质可知必有解， 综上，或. 故答案为：或. 29．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离参数可得在区间上有解，转化为求函数的最小值即可求. 【详解】, 不等式，即在区间上有解. 设，， 则， 令， 设，, ，则在区间上单调递增， 故，即. 故要使在区间上有解，则. 即实数的取值范围是. 故答案为：. 30．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型七、一元二次不等式与实际问题 31．某厂家生产某种产品的总成本（元）与产量（个）之间的关系为，若该产品的售价为200元/个，要使厂家盈利，则至少需要出售该产品 个． 【答案】16 【分析】根据已知得求解，即可得. 【详解】因为该产品的售价为200元个， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以至少需要出售该产品16个才能盈利. 故答案为：16 32．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 33．如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/m2；在四个空角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/m2.若要使总造价不高于24000元，则正方形周长的最小值为 m.    【答案】4 【分析】设正方形边长为，根据题设求出正方形、矩形阴影部分、三角形的面积，进而列出总造价关于的表达式，解不等式求边长最小值，即可得答案. 【详解】设正方形边长为(m)，则矩形的长、宽分别为(m)、(m)， 所以，，， 所以，总造价，且， 所以，则，可得， 故(m)，即正方形周长的最小值为4(m). 故答案为：4 34．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价的取值范围应是 . 【答案】 【分析】根据题意得到总利润关于售价的表达式，从而求得售价为90元时的利润，进而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设总利润元，因为每个售价为元，则根据题意可得 ， 现在商家的售价为90元，将其代入解析式得： ， 要使商家总利润有所增加，则要满足， 即，则， 所以，解得， 所以售价的取值范围应是. 故答案为：. 题型八、绝对值不等式 35．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，先去掉绝对值，化为与之等价的不等式来计算可得. 【详解】由不等式，解得：，即. 故答案为：. 36．设，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由或即可求解. 【详解】由， 可得：或， 解得：或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 37．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先由得到或；再将分式不等式转化为一元二次不等式，求解，即可得出结果. 【详解】由可得或， 即或； 等价于或， 解得或； 即原不等式的解集为： 故答案为： 38．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用因式分解可求不等式的解集. 【详解】因为，故且， 故，解得，故原不等式的解集为， 故答案为：. 39．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意得或，再一元二次不等式即可. 【详解】由，得或， 由，解得， 由，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 2．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 . 【答案】 【分析】解一元二次方程，结合的定义写出集合，再利用集合的交集运算求. 【详解】由得，解得或， 又因为表示不大于的最大整数， 所以由得，由得， 所以，所以. 故答案为： 3．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得或，结合充分不必要条件列不等式求参数范围. 【详解】由，得或， 又是的充分不必要条件， 所以，解得. 故答案为： 4．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 5．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 【答案】0 【分析】分，和三种情况求出满足成立时的取值范围，再时均有成立确定的值． 【详解】当时，显然成立，此时； 当时，由成立，得成立， ，， 当时，由成立，得成立， ，， 时均有，． 故答案为：0． 6．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海嘉定·期中）研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案： 解：由，令，则， 所以不等式的解集为. 参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可. 【详解】由得，， 令，因为，所以. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； （2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 9．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解； （2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求． 【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立， 又恒成立， 所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，又恒成立， 不等式可化为， 即， 当时，， 当时，不等式可化为， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，解得或； 当时，； 当时，解得或， 故当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$