2.3二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程不等式 （第2课时） 题型一：根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 1.设集合，.若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3.已知集合，，则有 A． B． C． D． 4.若，则实数的一个取值为 . 题型二：由一元二次不等式的解确定参数 1.若关于的不等式的解集为，则（    ） A．或1 B．1 C．或1 D．或或1 2.若不等式的解集为，则等于（    ） A．-18 B．8 C．-13 D．1 3.已知命题：对任意实数，有；命题：存在实数使，若为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知不等式 ​的解集为​, 则不等式​的解集为 （     ） A．​或​ B．​ C．​ D．​或​ 题型三 解含有参数的一元二次不等式 1.不等式的解集可能是（    ） A．或 B．R C． D． 2.二次函数的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式的解集是 A． B． C． D． 3.不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 4.关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型一：一元二次不等式的实际应用 1.用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 3.国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农副产品吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为减少农民负担，制定积极收购政策，根据市场规律，税率降低个百分点（），收购量增加个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，则的取值范围为 . 4.某公司的笔记本电脑的生产成本（万元）与产量（台）之间的关系为，每台电脑的售价为5000元，则最少售出多少台笔记本电脑才能使公司盈利（    ） A．141 B．151 C．161 D．171 题型二：解不含参数的一元二次不等式 1.不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 2.使式子有意义的实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 3.已知p：，q：，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 一元二次方程根的分布问题 1.若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ） A．15 B．17 C． D．18 3.已知方程在区间中有且只有一解，则实数k的取值范围是 . 4.关于的方程有两个正根，下列结论错误的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 题型四：解含有参数的一元二次不等式 1.关于的不等式的解集中有且只有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 3.关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 4.集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1.（2007·重庆·高考真题）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 3.“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次函数与一元二次方程不等式 （第2课时） 题型一：根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 1.设集合，.若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求得集合，根据两个集合的交集为空集列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由解得，由于，故.所以本小题选C. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集为空集的知识的运用，属于基础题. 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】试题分析：由中不等式变形得，且，解得：，即；由中不等式解得：，即，所以分两种情况考虑：当时，，即；当时，则有或，即，综上，则实数的取值范围为，故选C． 考点：1、集合的表示；2、集合的交集及其应用． 3.已知集合，，则有 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，得出集合，再对四个选项的命题进行验证． 【详解】解不等式，得或，则集合， 所以，，，，，故选A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集、并集计算以及集合间的包含关系，解出集合是解本题的关键，另外在处理无限数集相关的问题时，可适当利用数轴来强化理解． 4.若，则实数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意. 【详解】因为， 且当时，即时，， 当时，即时，才有可能使得， 所以的解集为的子集， 则，所以，所以实数的一个取值可以为. 故答案为: 题型二：由一元二次不等式的解确定参数 1.若关于的不等式的解集为，则（    ） A．或1 B．1 C．或1 D．或或1 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】将和5代入方程，求解即可. 【详解】解：由题意知方程的实数根为和5， 代入得，解得. 故选：B. 2.若不等式的解集为，则等于（    ） A．-18 B．8 C．-13 D．1 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由题可得为方程的两根，代入列方程解出即可. 【详解】不等式的解集为， 为方程的两根， 则根据根与系数关系可得， ，则. 故选：C 【点睛】本题主要考查二次不等式和二次方程的关系，是基础题. 3.已知命题：对任意实数，有；命题：存在实数使，若为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据或且非的真假求参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据含有逻辑连接词的否定，由题意可得为真命题，解不等式组即可得解. 【详解】由为假命题可得“”为真命题， 所以，解得， 故选：C 4.已知不等式 ​的解集为​, 则不等式​的解集为 （     ） A．​或​ B．​ C．​ D．​或​ 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式 ​的解集为​, 因此 ​的两根为​, 且，即​, 解得​， 所以不等式 ​化为​, 其解集为​或​. 故选： A 题型三 解含有参数的一元二次不等式 1.不等式的解集可能是（    ） A．或 B．R C． D． 【答案】A 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据判别式结合二次函数图象可以判断. 【详解】因为，所以函数的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集在两根之外，不可能是B、C、D选项. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次函数的关系，属于基础题. 2.二次函数的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据表中数据，确定二次函数的零点，得到二次函数解析式，再由特殊点代入，求出，进而即可得出结果. 【详解】由表知，当或时，， ∴二次函数可化为. 又∵当 时， ，∴. 不等式的解集为. 故选D. 【点睛】本题主要考查求一元二次不等式的解集，熟记一元二次不等式的解法即可，属于常考题型. 3.不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】因式分解求解即可. 【详解】即，解得或 故选：B 4.关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】先求出对应方程的根，比较两根大小，再结合二次函数的图象写出解集即可. 【详解】方程的两根分别为 ， 又，所以，故此不等式的解集为. 故选：C 【点睛】本题主要考查了含参的一元二次不等式的求解，属于基础题. 题型一：一元二次不等式的实际应用 1.用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 2.某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 3.国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农副产品吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为减少农民负担，制定积极收购政策，根据市场规律，税率降低个百分点（），收购量增加个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【解析】求出原计划税收和税率降低个百分点后的税收，根据题意列不等式可解得结果. 【详解】原计划税收为：， 税率降低个百分点后的税收为， 依题意可得， 整理得，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次不等式的实际应用，考查了阅读理解能力，属于基础题. 4.某公司的笔记本电脑的生产成本（万元）与产量（台）之间的关系为，每台电脑的售价为5000元，则最少售出多少台笔记本电脑才能使公司盈利（    ） A．141 B．151 C．161 D．171 【答案】B 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】由题意用销售总额减去列不等式求出即可； 【详解】由题意，每台电脑的售价为0.5万元， 则， 解得， 故最少售出151台才能盈利. 故选：B. 题型二：解不含参数的一元二次不等式 1.不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意可知-1、2是关于x的二次方程的两根，利用韦达定理可求得a、b的值，进而可求得不等式的解集． 【详解】由题意可知：-1、2是关于x的二次方程的两根，由韦达定理可得，解得， 不等式即为，解得或． 因此，不等式的解集为或． 故选：A． 2.使式子有意义的实数的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由根式、分式的性质，列不等式组求x范围即可. 【详解】由题设,，解得且. 故选：D 3.已知p：，q：，如果p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式，写出命题p，q所对集合，再由集合的包含关系即可列式求解. 【详解】解不等式得：或， 记命题p所对集合，命题q所对集合， 由p是q的充分不必要条件得：AB，于是得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B 4.集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U＝R，求出A的补集即可． 【详解】依题意，，故， 故选：C. 【点睛】此题考查了补集的运算及一元二次不等式的解法，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 题型三 一元二次方程根的分布问题 1.若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】作出函数大致的图象，由图象得出和处对应的函数值小于0，列出不等式求解即可. 【详解】令，作出函数大致的图象如图所示， .由图象知，当时；，解得； 当时，，解得. 综上可得，，故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的根分布问题，属于中档题. 2.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ） A．15 B．17 C． D．18 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】本题实际考查二次方程的两根的关系，可利用韦达定理转化为含参数的方程来解决问题． 【详解】设的方程有两个实数根为，， ，， 这两根的平方和比两根的积大21， ， 即：， ， 解得：或， △， 解得：．故舍去， ． 故选：C. 【点睛】在解决关于二次方程这类问题时，一定要注意对于判别式的讨论，以免造成不必要的失误． 3.已知方程在区间中有且只有一解，则实数k的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】设，建立不等式组或，可得答案. 【详解】设，因为方程在内恰有一解， 则需或，解得或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布，常常从相应的二次函数中的特殊点的函数值的正负、对称轴、根的判别式等方面建立不等式组，属于中档题. 4.关于的方程有两个正根，下列结论错误的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用二次函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用 【分析】根据方程有两正根，由二次方程根的分布问题，求出的取值范围，引出对应的二次函数， 对于A选项，根据零点存在定理，判断A正确； 对于B选项，由零点存在定理，判断B正确； 对于C选项，根据韦达定理，消元得到关于的分式函数，分离常数，结合的取值范围及分式函数性质，求出其范围，判断C正确； 对于D选项，根据韦达定理，消元得到关于的二次函数，结合的取值范围，求出其值域，判断D错误. 【详解】由有两不相等实数根， 得，解得, 令， 对于A选项，由，，所以，故A正确； 对于B选项，由，，所以，故B正确； 对于C选项，因为，所以的取值范围是，故C正确； 对于D选项，由 所以取值范围是，故D错误. 故选：D. 题型四：解含有参数的一元二次不等式 1.关于的不等式的解集中有且只有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 【解析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 【详解】不等式化为， 时，不等式无解， 时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解． 2.设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 3.关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：C. 4.集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】化简集合，由题意知，是的真子集，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围. 故选：A 1.（2007·重庆·高考真题）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 2.已知不等式的解集是，则的值是（    ）. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是，利用根与系数的关系求得，得到不等式，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 可得，且方程的两个根分别为，， 则，，解得，， 所以，即为，可得， 所以不等式的解集为. 故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得的值，再利用一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】充分条件、必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先根据不等式恒成立得出.比较，即可得出答案. 【详解】当时，对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则应有，解得. 综上所述，的取值范围为. 显然“”包含的范围包含于“”包含的范围， 所以，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 4.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果. 【详解】由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$