第2章 等式与不等式（单元测试·基础卷）数学沪教版2020必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则 （从“”中选择一个填空）． 2．不等式的解集是 ． 3．已知，则函数的最小值为 ． 4．一元二次不等式的解集为 . 5．已知方程的两个根为和，则 . 6．设，，则的范围是 . 7．已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 8．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 9．若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 11．已知，，，则的最小值为 . 12．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 16．若关于x的不等式在上无解，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 19、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则 （从“”中选择一个填空）． 2．不等式的解集是 ． 3．已知，则函数的最小值为 ． 4．一元二次不等式的解集为 . 5．已知方程的两个根为和，则 . 6．设，，则的范围是 . 7．已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 8．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 9．若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 11．已知，，，则的最小值为 . 12．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 16．若关于x的不等式在上无解，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 19、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、 3、 7 4、 5、 6、 7、必要不充分 8、 9、 10、 11、 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 D A A D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为不等式的解集为，（1分） 则是方程的两根，（3分） 所以，（5分） 故，此时；（6分） （2），（10分） 解得：或，（12分） 所以不等式的解集为或.（14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）方法一：作差法． ．（3分） 因为，所以，所以，（5分） 所以．（6分） 方法二：作商法． 因为，所以，（2分） 两式作商可得，（5分） 所以．（6分） （2）方法一：作差法． ．因为且，所以．（9分） 又因为，所以，则（11分） 又因为，所以，即．（14分） 方法二：作商法． 因为，所以，（9分） 两式作商可得，（11分） 因为，由倒数法则可知，（12分） 又，所以由不等式的性质得，（13分） 则由同向可加性得知， 则，即．（14分） 19、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 【详解】（1）由已知得，解得.（4分） （2）由已知得，（5分） 由整理得：，（7分） 的两根为.（9分） 当时，，解得；（10分） 当时，不等式为，的解集为；（11分） 当时，，解得.（12分） 综上， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）当，，设，（1分） 则，根据基本不等式得，（2分） ，当且仅当，即时，等号成立，（3分） 所以面积的最大值是；（4分） （2）（i）沿折叠使点到点位置，交于点，（5分） 所以，所以，（7分） 所以，（8分） 所以的周长；（10分） （ii）设，则，（1分）1 由（i）知，，（12分） 在中，有，（13分） 解得，（14分） 则，（15分） 根据基本不等式得，（16分） 当且仅当，即时，等号成立，（17分） 所以的面积存在最大值，此时.（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个“上位点”坐标为， 一个“下位点”坐标为．（4分） （2）点是点的“下位点”．（5分） 证明如下：点是点的“上位点”，．（6分） 又均大于0，，， （7分） ，即， 点是点的“下位点”．（8分） （3）若点是点的“上位点”，可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． （9分） 证明如下：点是点的“上位点”，，（10分） 均大于0，，， ，（11分） 即，点是点的“上位点”．（12分） 同理可得，即，（14分） 点是点的“下位点”．（15分） 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 要使点是的“上位点”，则，解得，（16分） 所以当时，点是的“上位点”， 根据题意知，点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对恒成立，（17分） 根据上述结论可知，当，时，满足条件． 故．（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则 （从“”中选择一个填空）． 【答案】 【分析】应用作差法比较代数式的大小. 【详解】由，故. 故答案为： 2．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由分式不等的解法，可得或，然后解不等式组即可. 【详解】或得． 故答案为： 3．已知，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 4．一元二次不等式的解集为 . 【答案】 【分析】直接解不含参的一元二次不等式即可得解. 【详解】. 故答案为：. 5．已知方程的两个根为和，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理，结合配方法来求解即可. 【详解】因的两个根为， 则， 所以. 故答案为： 6．设，，则的范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可得. 【详解】由，则， 由，则， 故，即. 故答案为：. 7．已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意，利用充分，必要条件的判定方法，结合特例和不等式的性质，即可求解. 【详解】当，时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之，若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立， 所以甲是乙的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 8．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，只需结合二次函数的性质解决问题即可. 【详解】当时，，不等式恒成立； 当时，，解得． 综上，． 故答案为：. 9．若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】首先根据韦达定理求的关系，再代入，转化为不含参的一元二次不等式求解. 【详解】由题意可知，，得，， 即，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 11．已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，当且仅当时取等号， 即，时，有最小值. 故答案为：. 12．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式可得，结合的概念可得不等式的解集. 【详解】由得，，解得， 所以或，故，所以原不等式的解集为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例即可判断ABC，根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于AB，当时，，故AB错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D. 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后根据充分条件、必要条件求解. 【详解】因为， 且，但推不出， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 15．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 16．若关于x的不等式在上无解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于x的不等式在上无解，则，再根据绝对值三角不等式求出即可. 【详解】关于x的不等式在上无解， 则， 而，当时，等号成立， 所以， 所以. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； （2）， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【详解】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 19、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由根的性质列方程求参数值即可； （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）由已知得，解得. （2）由已知得， 由整理得：， 的两根为. 当时，，解得； 当时，不等式为，的解集为； 当时，，解得. 综上， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）5（ii）的面积存在最大值，此时 【分析】（1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. 【详解】（1）当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； （2）（i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值，此时. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，并证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为； (2)是，证明见解析； (3)，理由见解析. 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个“上位点”坐标为，一个“下位点”坐标为． （2）点是点的“下位点”． 证明如下：点是点的“上位点”，． 又均大于0，，， ，即， 点是点的“下位点”． （3）若点是点的“上位点”，可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 证明如下：点是点的“上位点”，， 均大于0，，， ， 即，点是点的“上位点”． 同理可得，即， 点是点的“下位点”． 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 要使点是的“上位点”，则，解得，，所以当时，点是的“上位点”， 根据题意知，点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对恒成立， 根据上述结论可知，当，时，满足条件． 故． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$