第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、选择题 下列方程中，关于 的一元二次方程是 A． B． C． D． 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数及常数项分别是 A． ，， B． ，， C． ．， D． ，， 用配方法解方程 时，配方正确的是 A． B． C． D． 方程 的解是 A． B． C． 或 D． 若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的非负整数值是 A． B． ， C． ， D． ，， 已知一元二次方程 有一个根为 ，则 的值为 A． B． C． D． 某钢铁厂 月份生产某种钢材 万吨， 月份生产这种钢材 万吨，设平均每月增长的百分率为 ，则根据题意可列方程为 A． B． C． D． 某学校准备修建一个面积为 平方米的矩形花圃，它的长比宽多 米，设花圃的宽为 米，则可列方程为 A． B． C． D． 二、填空题 写出一个以 和 为根的一元二次方程： ． 关于 的方程 是一元二次方程，则 ． 若 是方程 的一个根，则该方程的另一个根是 ． 设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ． 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 ． 若一个等腰三角形的三边长满足方程 ，则此三角形的周长为 ． 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，若设每轮传染中平均每人传染了 人，那么可列方程为 ． 有一间长 ，宽 的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 ，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为 ． 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且满足 ，则 的取值范围是 ． 如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 ，则道路的宽为 ． 三、解答题 解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1) 求 的取值范围； (2) 若 为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出 个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为 的门，总共用去篱笆 ． (1) 为了使这个长方形 的面积为 ，边 的长度应为多少米？ (2) 用这些篱笆，能使围成的长方形 面积是 吗？说明理由． 如图，矩形 中，，，动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达点 为止，点 以 的速度向点 移动． (1) ， 两点从出发开始，经过几秒时，四边形 的面积为 ？ (2) ， 两点从出发开始，经过几秒时，点 和点 的距离为 ？ 某电商对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件 元出售，一个月可卖出 件，通过市场调查发现，售价每件每降低 元，月销售件数就增加 件． (1) 已知该农产品的成本是每件 元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ (2) 小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件 元，买五送一，在（）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买 件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？ ， 是一元二次方程 的两个实数根，若满足 ，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1) 通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”： ① ； ② ． (2) 已知关于 的方程 是“差根方程”，求 的值． (3) 若关于 的方程 （， 是常数，）是“差根方程”，请探索 与 之间的数量关系式． 答案 一、选择题（共8题） 1. 【答案】A 2. 【答案】C 【解析】方程整理得：， 则二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 3. 【答案】B 【解析】方程整理得：， 配方得：， 即 ． 4. 【答案】C 5. 【答案】A 【解析】由题意得，根的判别式为 ， 由方程有实数根，得 ，解得 ， 由于一元二次方程的二次项系数不为零， ， 的取值范围为 且 ， 即 的非负整数值为 ． 6. 【答案】B 【解析】把 代入方程得 ， 解得 ． 7. 【答案】C 8. 【答案】D 【解析】 花圃的长比宽多 米，花圃的宽为 米， 长为 米， 花圃的面积为 ， 可列方程为 ． 二、填空题（共10题） 9. 【答案】 （答案不唯一） 【解析】一元二次方程根的形式为 ， 根为 和 ，则 ， 其中 不唯一，符合即可． 10. 【答案】 【解析】 是方程二次项，即 解得：． 11. 【答案】 12. 【答案】 【解析】 方程 ， 是方程 的两个实数根， ，， ． 13. 【答案】 且 【解析】 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 解得： 且 ． 14. 【答案】 或 或 【解析】 ， ，， 分情况讨论： 当三边的边长为 ，，，不能构成三角形； 当三边的边长为 ，， 能构成三角形，三角形的周长为 ； 当三边都是 时，三角形的周长是 ； 当三角形的三边都是 时，三角形的周长是 ． 故此三角形的周长为 或 或 ． 15. 【答案】 【解析】设每轮传染中平均每人传染了 人， 则第一轮传染中有 人被传染，第二轮则有 人被传染， 故可列方程：． 16. 【答案】 【解析】设留空宽度为 ，根据题意得 ， 整理得 ， ， 解之得 ，（不合题意，舍去）， 所以留空宽度为 ． 17. 【答案】 【解析】因为 有两个实数根， 所以 ， 所以 ， 由韦达定理得 ，， 所以 ， ， ， ， 综上， 的取值范围是 ． 18. 【答案】 【解析】假设道路的宽度为 ， 依题意可得 ， 化简可得 ， 解得：，， 不符合题意，应该舍去． 三、解答题（共6题） 19. 【答案】 (1) ，． (2) ，． (3) ，． (4) ，． 20. 【答案】 (1) 由题意得 ， ． (2) 由（）可知 ， 此时方程为 ． 这里 ，，， ， ， 即 ，． 21. 【答案】 (1) 设边 的长度为 ，则 ． 由题意，得解得当 时，，符合题意； 当 时，，符合题意． 当 的长度为 或 时，长方形 的面积为 ． (2) 假设长方形 的面积为 ， 由题意，得整理，得 该方程无实数根，即长方形 的面积不能为 ． 22. 【答案】 (1) 设经过 时，四边形 的面积为 ． 根据题意，得 ． 解得 ． 经过 时，四边形 的面积为 ． (2) 设经过 时，点 和点 的距离为 ． 根据题意，得 ． 解得 ，． 经检验， 和 均符合题意． 经过 或 时，点 和点 的距离为 ． 23. 【答案】 (1) 当售价为 元时，月利润为 （元）． 设售价应定为 元，则每件的利润为 元，月销售量为 件． 依题意，得整理，得解得 要尽快销售完毕， 售价应定为 元． (2) 线上购买所需费用为 （元）； 线下购买，买五送一， 线下超市购买只需付 件的费用， 线下购买所需费用为 （元）． ， 应选择在线上购买． 24. 【答案】 (1) ① ， 方程有两个不相等的实数根． 设 ， 是一元二次方程 的两个实数根， ，， ． 方程 不是“差根方程”． ② ， 方程有两个不相等的实数根． 设 ， 是一元二次方程 的两个实数根， ，， ， 方程 是“差根方程”． (2) ． 分解因式，得 ． 解得 ，． 关于 的方程 是“差根方程”， ，即 ． (3) 设 ， 是一元二次方程 （， 是常数，）的两个实数根， 则 ，． 关于 的方程 （， 是常数，）是“差根方程”， ， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$