第十四章全等三角形单元质量检测培优卷2025-2026学年人教版（2024）八年级数学 上册

2025-2026人教版（2024）八年级上册数学第十四章单元质量检测培优卷 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 第Ⅰ卷 客观题 阅卷人 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 得分 1．已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（　　） A．2 B．2或 C． 或 D．2或 或 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，如果存在点，使和全等，则下列选项中不符合题意的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝10，AC＝6，则AD的取值范围是（　　） A．4＜AD＜16 B．2＜AD＜8 C．4＜AD＜10 D．8≤AD≤16 4．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上的一点，点、分别在轴的负半轴和正半轴上，，点为第二象限内一动点，点在的延长线上，交于点，且．下列结论：①；②平分；③平分；④若，则．其中结论正确的有(　　) A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 5．如图所示，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，则AC的长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 6．如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（　　） A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α 7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论： ①∠AOB＝90°+ ∠C； ②AE+BF＝EF； ③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点； ④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab． 其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 8．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数(　　) ①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°； ③∠CAB=2∠CPB； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，是的角平分线，点在上，过点作于点，延长至，使，连接交于点，平分，交的延长线于点，连接，，，若．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④ 10．数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，是的中点，平分，求证：． 小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式． ①过点作交于点； ②作，交于点； ③在上取一点，使得，连接； 上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 得分 11．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝　 　︒ 12．在中，，，分别是，边上一点，，，，，，则的长　 　．（用含，，的式子表示） 13．如图，在中，和的平分线相交于点交于交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填序号） 14． 如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 　 　． 15．三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是　 　. 第Ⅱ卷 主观题 阅卷人 三、解答题：本大题共8小题，共75分. 得分 16．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO． （1）求证：AC=BC； （2）如图2，点C的坐标为(4，0)，点E为AC上一点，且AD= DE，求BC+EC的长； （3）在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 17．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） （2）如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 18． （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE. （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点. 19． 问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，求BC边上的中线的取值范围． 小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8，则1<AD<4．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． （1）请你用小华的方法证明AB+AC>2AD； （2）由第(1)问方法的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，求证：AC=2AE； （3）如图3，在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，连接AD，点M为AD中点，连接OM，请你直接写出的值． 20．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． （1）如图，若，，求点的坐标； （2）如图，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； （3）如图，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 21．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分．点A为OM上一点，过点A作，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据ASA证明，则，（即点C为AB的中点）． （1）问题探究：如图2，中，，，CD平分，，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论： （2）拓展延伸：如图3，中，，，点D在线段BC上，且，于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论． 22．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC； （2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点； （3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是　 　． 23．综合与实践，如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点． （1）若平分平分，则　 　； （2）若，则　 　； （3）将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）； （4）若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数　 　（用含的代数式表示）． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】25 12．【答案】 13．【答案】①② 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】（1）证明： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD. ∵∠AOB=∠AOC=90'，∠CAO= 90°-∠BDO， ∵∠DBO= 90°-∠BDO. ∴∠CAO=∠DBO. 在△ACD和△BCD中， ∴△ACD≌△BCD(AAS). ∴ AC=BC. （2）解：如图2， 过点D作DM⊥AC于M， ∵CD平分∠ACB，OD⊥BC， ∴DO= DM. 在△BOD和△AMD中， ∴△BOD≌△AMD(AAS)， ∴OB =AM. 在Rt△DOC和Rt△DMC中， ∴Rt△DOC≌Rt△DMC(HL)， ∴OC=MC. ∵AD=DE，且DM⊥AC， ∴AM=EM， ∴OB=EM. ∵ C(4，0)， ∴OC=4 ， ∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8. （3）解： GH = OG+ FH. 证明：如图3， 在GO的延长线上取一点N，使ON=FH， ∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC， ∴DO=DF. 在△DON和△DFH中， ∴△DON≌△DFH(SAS)， ∴DN=DH， ∠ODN=∠FDH. ∵∠GDH =∠GDO+∠FDH， ∴∠GDH =∠GDO+∠ODN =∠GDN 在△DGN和△DGH中， ∴△DGN≌△DGH (SAS)， ∴GH=GN. ∵ON=FH. ∴GH=GN=OG+ON=OG+FH. 17．【答案】（1） （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：．证明：如图中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．【答案】（1）证明：如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：DE＝BD+CE. 如图2， 证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中. . ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE （3）解：如图3， 过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N. ∴∠EMI＝GNI＝90° 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN ∴EM＝GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点. 19．【答案】（1）解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE， 则：AE=2AD， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 在△EBD和△ACD中， ∴△EBD≌△ACD（SAS）， ∴BE=AC， 在△ABE中， ∴AB+BE＞AE=2AD； ∴AB+AC＞2AD. （2）证明：如图，延长AE至点F，使得EF=AE，连接DF，则AF=2AE， ∵E是BD中点， ∴DE=BE， 在△EBA和△EDF中， ∴△EBA≌△EDF（SAS）， ∴DF=AB=CD，∠B=∠EDF，∠F=∠EAB， ∵∠CDA=∠B+∠BAD，∠ADF=∠BDA+∠EDF，∠BDA=∠BAD， ∴∠ADC=∠ADF， 在△AFD和△ACD中， ∴△AFD≌△ACD（SAS）， ∴AC=AF， ∴AC=2AE． （3）解：=2 20．【答案】（1）解：如图，作轴于点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 则； （2）如图，作轴于点，并延长交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 点的纵坐标为； （3）解：如图，连接，作于点，于点， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ． 21．【答案】（1）解：，理由如下： 延长BE交CA延长线于F， ∵CD平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 证明：过点D作，交BE的延长线于点G，与AE相交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴. 22．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE+∠AEC＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠CAE+∠FAG＝90° ∴∠FAG＝∠AEC， ∵FG⊥AC， ∴∠FGA＝90°＝∠ACE， 在△AGF和△ECA中， ， ∴△AGF≌△ECA（AAS）； ∴AG＝EC； （2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D， ∵AC＝4，AG＝3， ∴CG＝4﹣3＝1， 由（1）可知，△FAD≌△AEC， ∴CE＝AD，FG＝AC＝BC， 在△FDG 和△BCG中， ， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG＝GC＝1， ∴CE＝AD＝2， ∴BE＝BC﹣CE＝2， ∴CE＝EB，即E点为BC中点； （3） 23．【答案】（1） （2） （3）解：∵， ， ， （4）或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$