2.5 可化为一元一次方程的分式方程导学案 2025-2026学年湘教版（2024） 数学八年级上册

2.5 第1课时 解分式方程 素养目标 1.回顾方程的概念,知道分式方程的定义. 2.知道将分式方程转化为整式方程,会解可化为一元一次方程的分式方程. 3.知道方程无解的概念及产生的原因,会检验解的合理性. 重点 解可化为一元一次方程的分式方程. 【自主预习】 1.请你写出一个可化为一元一次方程的分式方程. 2.如何检验分式方程的解? 1.下列是分式方程的是 (　　) A.+ B.+=0 C.(x-2)=x D.+1=0 2.将分式方程=化为整式方程时,方程两边可以同时乘 (　　) A.x-3 B.x C.3(x-3) D.x(x-3) 【合作探究】 知识点一：分式方程的概念 阅读课本本课时“思考”之前的内容,回答下列问题. 1.旧知回顾:形如x-1=2-3x的等式,等号左右两边都是整式,称为　　　　方程,若整式中只有一个未知数,且未知数的次数是1,称为　　　　方程.  2.揭示概念:课本“做一做”中,形如-=4的等式,分母中含有未知数的方程,称为　　　　方程.  1.下列方程中,不是分式方程的是 (　　) A.= B.3+=2 C.-= D.=7 知识点二：解分式方程 阅读课本本课时“思考”至“例3”的内容,回答下列问题. 1.分式方程与一元一次方程的关系: (1)方程是指含有未知数的等式,分式方程是否符合等式的性质? (2)结论:将分式方程去分母后,分式方程就化为　　　　方程,若化为一元一次方程,则解一元一次方程即可.  2.分式方程无解: (1)我们知道=是不成立的,但是×0=×0是否成立? (2)对于方程=-2,若不存在x使得等号两边的代数式相等,则称该分式方程　　　　.即使无解,如果等号左右两边同时乘0,那么可得　　　　.  (3)课本“例1、例2、例3”中求得分式方程的解之后,为什么要检验? 【方法点拨】解分式方程的一般步骤:(1)去分母(确定最简公分母);(2)转化为整式方程;(3)解整式方程;(4)检验整式方程的解,不能使得最简公分母为0,否则,原方程无解. 2.解下列方程:(1)=1-; (2)+=. 【易错警示】将分式方程化为一元一次方程,去分母时不要漏乘整式项. 利用分式方程无解求字母的值 例　已知关于x的分式方程=-3. (1)当m=1时,求这个分式方程的解. (2)若此分式方程无解,求m的值. 变式训练　嘉淇准备完成题目“解分式方程=2-”时,发现数字◆印刷不清楚. (1)嘉淇把“◆”猜成5,请你解方程:=2-. (2)嘉淇妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.如:-=4等. 2.将分式方程的解代入最简公分母,判断其值是不是0. 自学检测 1.D　2.D 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.整式　一元一次 2.分式 对点训练 1.A 知识点二 1.(1)符合. (2)整式 2.(1)成立. (2)无解　0=0 (3)该解有可能使分式方程的最简公分母的值为0. 对点训练 2.解:(1)=1-,-=1,=1,x-5=2x-5,x=0, 经检验x=0是原方程的解,所以x=0. (2)无解. 题型精讲 例 解:(1)当m=1时,原方程为=-3, 去分母,得3=x-3+3x, 解得x=1.5. 检验:当x=1.5时,1-x≠0. 故x=1.5是原方程的解. (2)原方程去分母,得3=mx-3+3x, 整理,得(m+3)x=6, 当m+3=0,即m=-3时,0=6不成立, 则m=-3符合题意; 当x=1时,原分式方程无解, 则m+3=6,解得m=3. 综上所述,m的值为±3. 变式训练 解:(1)方程整理得=2+, 去分母,得x=2(x-3)+5, 解得x=1. 检验:x=1是分式方程的解. (2)设原题中“◆”是a, 方程变形,得=2+, 去分母,得x=2(x-3)+a, 由分式方程无解,得x=3, 把x=3代入整式方程,得a=3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 第2课时 分式方程的应用 素养目标 1.会列分式方程解应用题,对比整式方程与分式方程解应用题的异同. 2.能用分式方程解决工程进度问题,行程问题. 3.提高分析问题和解决问题的能力,增强运用数学的意识. 重点 列分式方程解决实际问题. 【自主预习】 1.说一说路程、速度、时间的等量关系. 2.说一说列分式方程解应用题的步骤. 1.为了践行“绿色生活”的理念,甲、乙两人每天骑自行车出行,甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同.已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米,设甲每小时骑行x千米,根据题意列出的方程正确的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 2.甲、乙两班学生参加植树造林活动,已知甲班每天比乙班多植5棵树,甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等,若乙班每天植树x棵,则根据题意列出的方程是　　　　.  【合作探究】 知识点一：工程进度问题 阅读课本本课时“思考”的内容,回答下列问题. 讨论:(1)若设A种机器人一小时搬运x kg,则B种机器人一小时搬运　　　　kg;由于A种机器人搬运量为10 000 kg,则搬运的时间为　　　　小时.  (2)由于B种机器人搬运量为8 000 kg,则搬运的时间为　　　　小时.  (3)该问题中的等量关系为　　　　,可得分式方程　　　　.  　　列分式方程解应用题的解题步骤,应先根据要求的量设出　　　　;再寻找等量关系,列出　　　　;解出方程;对根进行　　　　,并写出解答.  1.新安街道某段道路改造工程由甲、乙两个工程队合作30天可完成,若单独施工,甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍.乙工程队单独完成此项工程需要多少天? 知识点二：行程问题 阅读课本本课时“例4”至“做一做”的内容,回答下列问题. 1.讨论:(1)设走线路一的平均车速为x km/h,则所需时间为　　　　h;  (2)走线路二的平均车速为　　　　km/h,则所需时间为　　　　h;  (3)等量关系为　　　　　　　　,可得分式方程　　　　　　　　　.  2.思考:(1)解上面的方程可得x=　　　　,检验方程的解,　　 　与　 　　的值都不为0.  (2)若x与1.5x的值为负数,是原问题的解吗? ·学法指导· 　　利用分式方程解决实际问题时,不仅仅要检验方程的解是不是分式方程的解,还要检验方程的解是否符合实际问题的要求. 2.某人往返甲、乙两地,去时先步行2 km,再乘汽车行10 km;回来时骑自行车,来去时间一样.已知汽车每小时比步行多行16 km,骑自行车每小时比步行多行8 km,求这个人的步行速度. 方案选择问题 例　某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造,为响应城市建设的需要,需在一个月内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程,经调查知道,乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍,若甲、乙两工程队合作只需12天完成. (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天? (2)若甲工程队每天的工程费用是4万元,乙工程队每天的工程费用是3万元,现提供以下三种方案,请你选择其中一种方案,既能按时完工,又能使工程费用最少. 方案一:甲工程队单独完成. 方案二:乙工程队单独完成. 方案三:甲、乙工程队合作完成. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.路程=速度×时间. 2.设未知数,列方程,解方程,检验解的合理性,答. 自学检测 1.A 2.= 【合作探究】 知识生成 知识点一 (1)(x-200)　 (2) (3)A型机器人搬运10 000 kg所用的时间与B型机器人搬运8 000 kg所用的时间相等　= 归纳总结 未知数　方程　检验 对点训练 1.解:设乙工程队单独完成此项工程需要x天,则甲工程队单独完成此项工程需要2x天. 由题意得+=,解得x=45. 经检验,x=45是原方程的解. 答:乙工程队单独完成此项工程需要45天. 知识点二 1.(1) (2)1.5x　 (3)走线路一的时间-走线路二的时间= h -= 2.(1)30　x　1.5x (2)不是,实际问题中,速度不可能是负数. 对点训练 2.解:设步行的速度为x km/h,由题意,得+=,解得x=4,经检验x=4是原方程的解. 答:这个人的步行速度为4 km/h. 题型精讲 例 解:(1)设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队单独完成该工程需1.5x天, 根据题意得+=1, 解得x=20, 经检验,x=20是原方程的解,且符合题意, 所以1.5x=1.5×20=30. 答:甲工程队单独完成该工程需20天,乙工程队单独完成该工程需30天. (2)因为甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成, 所以有如下三种方案: 方案一:甲工程队单独完成,所需费用为4×20=80(万元). 方案二:乙工程队单独完成,所需费用为3×30=90(万元). 方案三:甲、乙两队合作完成,所需费用为(4+3)×12=84(万元). 因为90>84>80, 所以选择甲工程队承包该项工程,既能按时完工,又能使工程费用最少. 学科网（北京）股份有限公司 $$