1.3 公式法导学案 2025-2026学年湘教版（2024） 数学八年级上册

1.3 第1课时 用平方差公式分解因式 素养目标 1.会用平方差公式分解因式. 2.会综合应用提公因式法和平方差公式进行因式分解. 3.通过对公式的正向、逆向应用的探究,理解公式法分解因式的意义,提高逆向思维能力和推理能力. 重点 会运用平方差公式对多项式进行因式分解. 【自主预习】 1.列举几个能用平方差公式分解的式子. 2.将x4-1分解因式为(x2-1)(x2+1)正确吗?若不正确,请写出正确的结果. 1.下列各式中,能用平方差公式分解的是 (　　) A.x2+x B.x2+8x+16 C.x2+4 D.x2-1 2.64-x2分解因式正确的是 (　　) A.(8-x)2 B.(8-x)(8+x) C.(x-8)(x+8) D.(32+x)(32-x) 3.分解因式:4a2-b2=　　　　.  【合作探究】 知识点：用平方差公式进行因式分解 阅读课本本课时的内容,回答下列问题. 1.计算(x+2)(x-2)=　　　　,(y+3)(y-3)=　　　　.这种变形是因式分解吗?  2.如果把上面的式子反过来,得到x2-4=　　　　,y2-9=　　　　,这种变形是因式分解吗?  3.前面我们所学到的平方差公式可以表示为　　　　,把等号左右两边交换位置后,得到　　　　,这一过程是　　　　的过程.  4.把乘法公式从右到左使用,就可以把某些形式的多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫作　　　　.  5.“做一做”中要将　　　　和　　　　看作一个整体,再用平方差公式进行因式分解.  6.“例2”中两次运用平方差公式进行因式分解,有同学认为x4-y4用平方差公式分解为(x2+y2)(x2-y2)就行了,你认为这样做对吗?为什么? 7.“例3”的多项式有公因式　　　　,应先　　　　,再利用　　　　公式进行因式分解.  【方法归纳】两个数的平方差,等于这两个数的　　　　与这两个数的　　　　的　　　　,即a2-b2=　　　　　　.  分解因式. (1)-x2+16;(2)9(m+n)2-(m-n)2; (3)x5-81x. 【方法归纳】分解因式时,有公因式的要先　　　　,再用　　　　分解因式,并且要进行到每一个因式都　　　　为止.  用平方差公式分解因式的应用 例　给出下列算式: 32-1=8×1,52-32=16=8×2,72-52=24=8×3,92-72=32=8×4,…… (1)观察上面一系列算式,你能够发现什么规律?用代数式表示这个规律. (2)利用上面的结论计算:2 0272-2 0252. 变式训练　计算: (1)25×2 0202-1 9802×25; (2)-. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.例如x2-4,a2-4b2等. 2.不正确,正确的结果为(x-1)(x+1)(x2+1). 自学检测 1.D　2.B 3.(2a+b)(2a-b) 【合作探究】 知识生成 知识点 1.x2-4　y2-9　解:不是. 2.(x+2)(x-2)　(y+3)(y-3)　解:是. 3.(a+b)(a-b)=a2-b2　a2-b2=(a+b)(a-b)　因式分解 4.公式法 5.x+y　x-y 6.解:不对,x2-y2还可以继续分解. 7.x3　提公因式　平方差 【方法归纳】 和　差　积　(a+b)(a-b) 对点训练 解:(1)原式=-(x2-16)=-(x+4)(x-4). (2)原式=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=4(2m+n)(m+2n). (3)原式=x(x4-81)=x(x2+9)(x2-9)=x(x2+9)(x+3)(x-3). 【方法归纳】 提公因式　公式法　不能再分解 题型精讲 例 解:(1)设两个连续的奇数为(2n+1)和(2n-1),其中n是正整数,用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n(n为正整数). (2)设2 027=2n+1,得n=1 013,所以2 0272-2 0252=8×1 013=8 104. 变式训练 解:(1)原式=25×(2 0202-1 9802)=25×(2 020+1 980)×(2 020-1 980)=25×4 000×40=4 000 000. (2)原式=×=10×5=55. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 第2课时 用完全平方公式分解因式 素养目标 1.会用完全平方公式分解因式. 2.能灵活利用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式. 3.通过完全平方公式的逆向变形,进一步提高观察、归纳能力和语言表达能力. 重点 运用完全平方公式分解因式. 【自主预习】 1.列举几个能用完全平方公式分解的式子. 2.若代数式4x2+kxy+9y2能用完全平方公式进行因式分解,则k的值是多少? 1.把多项式x2-6x+9分解因式,结果正确的是 (　　) A.(x-3)2 B.(x-9)2 C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9) 2.分解因式:4m2+4m+1=　　　　.  3.分解因式: (1)-4x2+12xy-9y2; (2)4-12(y-x)+9(y-x)2. 【合作探究】 知识点：用完全平方公式进行因式分解 阅读课本本课时的内容,回答下列问题. 1.将乘法公式中的完全平方公式反过来,就可以得到因式分解中的完全平方公式:a2+2ab+b2=　　　　,a2-2ab+b2=　　　　.  2.说说多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么共同特点. 3.用完全平方公式因式分解的结果是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方,当中间的乘积项与首末两项的符号相同时,是　　　　的平方;当中间的乘积项与首末两项的符号相反时,是　　　　的平方.  4.在“例5”中,　　　　相当于公式中的a,　　　　相当于公式中的b,直接用完全平方公式分解即可.  5.在“例6(1)”中,因为两个平方项的符号都是负的,所以要先提取“　　　　”号,再利用完全平方公式分解因式.在“例6(2)”中,应先提取公因式　　　　,再利用完全平方公式分解因式.  6.在“例7”中,要将x4化成　　　　,再利用完全平方公式分解因式,还综合应用了　　　　公式.  7.在“做一做”中将　　　　看作一个整体,再利用完全平方公式分解因式.  　　把一个多项式因式分解时,首先观察这个多项式的各项是否有　　　　,若有,则先　　　　,然后观察分解后的另一个因式是否还能继续利用　　　　进行分解.当多项式的首项系数为负数时,应先　　　　　　.  分解因式. (1)(x-2)2-2(x-2)+1; (2)-4a2+4ab-b2; (3)x4-8x2y2+16y4. 【方法归纳】因式分解的一般步骤:一提　　　　,二用　　　　.  因式分解的应用 例　已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x2-6xy+9y2的值. 变式训练　利用因式分解简便计算. (1)482+48×24+122; (2)6.234 52+0.234 52-6.234 5×0.469. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.例如x2-4x+4,9a2+6ab+b2等. 2.±12. 自学检测 1.A 2.(2m+1)2 3.解:(1)原式=-(4x2-12xy+9y2) =-(2x-3y)2. (2)原式=[2-3(y-x)]2 =(2-3y+3x)2. 【合作探究】 知识生成 知识点 1.(a+b)2　(a-b)2 2.解:它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍. 3.和　差 4.3x　1 5.-　x　 6.(x2)2　平方差 7.x+y 归纳总结　公因式　提公因式　公式法　提取负号 对点训练 解:(1)原式=(x-2-1)2=(x-3)2. (2)原式=-(4a2-4ab+b2)=-(2a-b)2. (3)原式=(x2-4y2)2=(x-2y)2(x+2y)2. 【方法归纳】 公因式　公式 题型精讲 例 解:因为x2+y2-4x+6y+13=(x-2)2+(y+3)2=0, 所以x-2=0,y+3=0,即x=2,y=-3, 则原式=(x-3y)2=112=121. 变式训练 解:(1)482+48×24+122 =(48+12)2 =3 600. (2)6.234 52+0.234 52-6.234 5×0.469 =6.234 52+0.234 52-2×6.234 5×0.234 5 =(6.234 5-0.234 5)2 =36. 学科网（北京）股份有限公司 $$