江西省南昌市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

南昌一中2024-2025学年度下学期高三开学考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（    ） A．3 B． C． D． 4．已知函数的定义域为，，是偶函数，，有，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数则（    ） A． B． C． D． 6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的半径为（    ） A．2 B． C． D．3 7．已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（   ） A．这14天日促销量的众数是214 B．这14天日促销量的中位数是196 C．这14天日促销量的极差为195 D．这14天日促销量的第80百分位数是243 10．函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得到函数的图象 11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 13．已知盒中有大小相同的3个红球和2个白球，若每次不放回的从盒中取一个球，一直到取出所有白球时停止抽取，则停止抽取时恰好取到两个红球的概率为 ． 14．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．记锐角三角形的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 16．如图，三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面ABC； (2)直线与平面所成角的正弦值为， 求平面与平面夹角的余弦值. 17．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败. (1)当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望； (2)当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 19．已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 高三开学考 数学试卷 第6页，共1页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$