精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

南江县实验中学高2025届2023年秋学期入学考试数学卷 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ）条件． A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 既不充分也不必要 D. 充要 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. . 5. 已知实数a，b，c满足条件，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式的解为一切实数，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4题，每题5分，共20分） 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图(如图)： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是( ) A. 该地农户家庭年收入低于5.5万元的农户比率估计为16% B. 该地农户家庭年收入的中位数约为8.2万元 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值为7.68万元 10. p是q的必要条件的是（ ） A. B. C. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D. ，q：关于x的方程有唯一解 11. 下列说法正确的是（     ） A. B. 第一象限的角是锐角 C. 1弧度的角比1°的角大 D. 锐角是第一象限的角 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC是钝角三角形 C. 若，，则△ABC面积的最大值是 D. 若，则△ABC为直角三角形 三、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13. 计算：_____． 14. 若向量，满足，，，则与的夹角为_________. 15. 已知⊙O的半径为1，A，B为圆上两点，且劣弧AB的长为1，则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为__________． 16. 的最小值为_________. 四、解答题 17. 如图，已知正方体ABCDA′B′C′D. （1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ （2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 18. 已知函数 （1）求的定义域和值域； （2）写出)的单调区间，并用定义证明在所写区间上的单调性 19. 经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足 （1）求该商场的日收入（千元）与时间t（天）的函数关系式； （2）求该商场日收入的最小值（千元）. 20. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 21. 中，内角的对边分别为，. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 22. 若函数对于其定义域内的某一个数，有，则称是的一个好点．已知函数 （1）当时，求函数的好点； （2）若对任意的实数b，函数恒有两个好点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点A，B的横坐标是函数的好点，且A，B的中点C在函数的图象上，求b的最大值． 参考公式：的中点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江县实验中学高2025届2023年秋学期入学考试数学卷 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集、补集运算即可. 【详解】因为，集合，集合， 所以， 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ）条件． A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 既不充分也不必要 D. 充要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接得出结果. 【详解】若，则，所以“”是“”的充分条件； 若，则或，所以“”不是“”的必要条件； 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则得到，进而求出模长. 【详解】因为，所以，故. 故选：D 4. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. . 【答案】C 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定，可直接写出结果. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选C 【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型. 5. 已知实数a，b，c满足条件，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用对数函数的性质即可比较的大小，再根据中间量即可得出答案. 【详解】解：， 由，可得， 则，， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 6. 若关于x的不等式的解为一切实数，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对二次项系数进行分类讨论，分为和两种情形，结合判别式与0的关系即可得结果. 【详解】当即时，恒成立，满足题意； 当时，不等式的解为一切实数， 所以，解得， 综上可得实数的取值范围是， 故选：C. 【点睛】本题主要考查含有参数的一元二次不等式恒成立问题，正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的性质是解题的关键，属于基础题. 7. 已知函数，且，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分段函数的定义计算． 【详解】，所以，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查分段函数，根据自变量的不同取值范围选择不同的表达式计算是解题关键．本题考查了三角函数的计算，对数的概念．属于中档题． 8. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出定义域，然后根据复合函数单调性得出结论． 【详解】，解得，在上递增，在上递减， 又在时是减函数， 所以函数的单调增区间为． 故选：B． 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内） 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、多选题（共4题，每题5分，共20分） 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图(如图)： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是( ) A. 该地农户家庭年收入低于5.5万元的农户比率估计为16% B. 该地农户家庭年收入的中位数约为8.2万元 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值为7.68万元 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：计算频率分布直方图内前三个小矩形面积和即可判断； B：前五组小矩形面积刚好为0.5，则中位数即为7.5； C：计算4.5到8.5之间四组小矩形的面积即可判断； D：频率分布直方图每一组的中间值乘以各自频率，然后求和即可得平均数. 【详解】对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率为 0.02＋0.04＋0.10＝0.16＝16%，∴比率估计为16%，故A正确； 对于B，∵0.02＋0.04＋0.10＋0.14＋0.20＝0.5，∴该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B不正确； 对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率为0.10＋0.14＋0.20＋0.20＝0.64＞0.5，∴估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C正确； 对于D，该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68，故D正确． 故选：ACD． 10. p是q的必要条件的是（ ） A. B. C. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D. ，q：关于x的方程有唯一解 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项解出不等式即可得到关系；B选项举出反例即可判定；CD说法满足题意. 【详解】对于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件； 对于B，；当时，满足但q推不出p，故p是q的充分不必要条件； 对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”； 反之，若“四边形是正方形”成立“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件； 对于D，关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件. 故选：CD. 11. 下列说法正确的是（     ） A. B. 第一象限的角是锐角 C. 1弧度的角比1°的角大 D. 锐角是第一象限的角 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据象限角的定义来判断. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误； 对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确； 对于D：根据象限角的定义，可得D正确. 故选：ACD. 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC是钝角三角形 C. 若，，则△ABC面积的最大值是 D. 若，则△ABC为直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，由正弦定理得， 在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确. B选项，当时，由正弦定理得， 所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确. C选项，由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以三角形面积的最大值是，C选项正确. D选项，若，则， ，所以D选项错误. 故选：ABC 三、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13. 计算：_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据指数幂运算和对数运算的公式计算即可. 【详解】． 故答案为：. 14. 若向量，满足，，，则与的夹角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式直接求解即可. 【详解】， 夹角为， 故答案为：. 15. 已知⊙O的半径为1，A，B为圆上两点，且劣弧AB的长为1，则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】弦AB与劣弧AB所围成的图形面积即扇形的面积与的面积之差，根据扇形面积公式和三角形面积公式可得所求. 【详解】∵ 劣弧AB的长为1，圆O的半径为1， ∴ 劣弧AB与OA,OB所围成的扇形面积, 的面积， ∴ 弦AB与劣弧AB所围成的图形面积为， 故答案为： 16. 的最小值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用把原式转化成，整理后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】因为 所以 当且仅当时，等号成立，即：时，等号成立． 所以的最小值为 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值及“1”的用法，考查转化能力及观察能力，属于中档题． 四、解答题 17. 如图，已知正方体ABCDA′B′C′D. （1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ （2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′ 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可； （2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角； （3）根据正方体的性质即可判断． 【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线； （2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°； （3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题． 18. 已知函数 （1）求的定义域和值域； （2）写出)的单调区间，并用定义证明在所写区间上的单调性 【答案】（1）定义域；值域； （2）函数的单调递减区间为， 证明：设，且， ， ∵，且， ∴， ∴ ∴在上为减函数； 同理可证，在上也为减函数. 【解析】 【分析】（1）先将函数化为，由即可得出定义域；再由分类常数法结合不等式性质即可求出结果； （2）用定义证明单调性即可. 【小问1详解】 ∵，∴定义域为． 或 或，或 （或由 或） 所以，函数的值域为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查函数的单调性、定义域、值域等，熟记函数性质即可，属于常考题型. 19. 经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足 （1）求该商场的日收入（千元）与时间t（天）的函数关系式； （2）求该商场日收入的最小值（千元）. 【答案】（1） （2）最小值为（千元） 【解析】 【分析】（1）根据商场日顾客人数和人均消费可得日收入； （2）根据日收入的函数关系式分别求最小值后再比较即可. 【小问1详解】 由题可得，该商场日收入的函数关系式为 所以 【小问2详解】 由（1）可得 ①当时，，当且仅当，即时取等号， ②当，当且仅当，即时取最小值为， 综合①②可得，该商场的日收入的最小值为（千元）. 20. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 21. 中，内角的对边分别为，. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及诱导公式可得，进而即得； （2）由余弦定理可得得，再由面积公式即得. 【小问1详解】 , 在中，， ，， ， 又， ； 【小问2详解】 ， 由余弦定理知， ，即， ， ∴. 22. 若函数对于其定义域内的某一个数，有，则称是的一个好点．已知函数 （1）当时，求函数的好点； （2）若对任意的实数b，函数恒有两个好点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点A，B的横坐标是函数的好点，且A，B的中点C在函数的图象上，求b的最大值． 参考公式：的中点坐标． 【答案】（1）或4. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，令，解方程求不动点即可； （2）由有两个不动点，即有两个不等实根，可通过判别式大于0得到关于参数，的不等式，不等式恒成立转化为即可． （3）可以先设出两点的坐标分别为，，，，可以得到，根据根与系数的关系，题设中的条件转化为，化为，至此，求参数的问题转化为求关于的函数最小值的问题． 【小问1详解】 解：，由，解得或， 所以所求的好点为或4； 【小问2详解】 解：函数恒有两个好点，所以有两个根， 即恒有两个不等实根．所以， 即恒成立，所以，故； 【小问3详解】 解：设，中点在函数的图象上． 所以，∴ 而是方程的两个根，所以， 即∴，∴ 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $